基于雙邊閉環(huán)Lyapunov泛函的采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定新判據(jù)

曾紅兵翟正亮王 煒

(1.湖南工業(yè)大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院,湖南株洲 412007;2.電傳動(dòng)控制與智能裝備湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖南株洲 412007)

1 引言

在過去的幾十年中,由于數(shù)字控制器的快速發(fā)展及其在安裝使用中具有方便可靠的優(yōu)勢(shì),采樣控制系統(tǒng)受到了廣泛的關(guān)注[1–9].在衡量采樣控制系統(tǒng)的性能時(shí),采樣周期是一個(gè)十分重要的性能指標(biāo).采樣周期越大對(duì)采樣系統(tǒng)的通信速率,容量及帶寬要求就越低,對(duì)系統(tǒng)硬件設(shè)備的要求也就越低.因此,在保證采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下,獲得盡可能大的采樣周期具有極大的實(shí)用價(jià)值.

近年來,許多用于采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的方法被提出,例如:離散時(shí)間方法[10]、脈沖系統(tǒng)方法[11]和輸入時(shí)滯方法[12].由于沒有充分考慮采樣控制系統(tǒng)中時(shí)延的鋸齒波結(jié)構(gòu)特征,上述方法所得結(jié)果仍然具有較大保守性.為充分利用采樣控制系統(tǒng)的鋸齒波結(jié)構(gòu)特征,一些學(xué)者基于輸入時(shí)滯方法提出了區(qū)間依賴的Lyapunov泛函方法[13].

由于基于Lyapunov泛函方法計(jì)算的結(jié)果具有一定的保守性,因此,許多方法被用來減小估算值和實(shí)際值之間的差距.例如:自由權(quán)矩陣方法[14]、積分不等式方法[15]和凸組合方法[16]等.這些方法從界定Lyapunov泛函的導(dǎo)數(shù)方面降低了所得穩(wěn)定性條件的保守性.

從構(gòu)造Lyapunov泛函的角度,文獻(xiàn)[7]中提出了時(shí)間依賴離散型Lyapunov泛函方法,文獻(xiàn)[17]利用自由矩陣積分不等式構(gòu)造時(shí)間依賴離散型Lyapunov泛函,在此基礎(chǔ)上到了保守性較小的穩(wěn)定性判據(jù).文獻(xiàn)[9]提出了一種閉環(huán)Lyapunov泛函方法,由于這種閉環(huán)型Lyapunov泛函只要求在采樣點(diǎn)大于零,放寬了Lyapunov泛函的限定條件,因而具有更小的保守性.因此,這一方法被廣泛應(yīng)用于采樣控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中.例如,文獻(xiàn)[3]采用閉環(huán)型Lyapunov泛函研究了變周期采樣系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性問題.由于文獻(xiàn)[3]只考慮區(qū)間tk到t的信息,因而所得到的條件存在較大的保守性.最近,文獻(xiàn)[1]提出了一種雙邊閉環(huán)型Lyapunov泛函,這種泛函考慮了區(qū)間tk到t和t到tk+1的信息,因而可以顯著降低穩(wěn)定性分析的保守性.

自從完全時(shí)滯分割法在文獻(xiàn)[18]中被用來分析時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性以來,只有少量的學(xué)者將這種分割方法用到采樣混沌同步控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和設(shè)計(jì)[19].但是,文獻(xiàn)[19]只是對(duì)區(qū)間tk到t進(jìn)行了分割處理,并沒有考慮區(qū)間t到tk+1之間的信息,所以得到的結(jié)論具有較大的保守性.另一方面,盡管完全時(shí)滯分割法可以顯著降低穩(wěn)定性分析結(jié)果的保守性.但是,隨著時(shí)滯分割段數(shù)的增多,計(jì)算復(fù)雜度將大大增加,所以這也給分割算法的推廣形成巨大的阻力.

基于上述討論,本文基于雙邊閉環(huán)型Lyapunov泛函的基本框架,只對(duì)區(qū)間[tk,t]和[t,tk+1]分別進(jìn)行二分處理.在此基礎(chǔ)上,構(gòu)造新的雙邊閉環(huán)型Lyapunov泛函并引入新的系統(tǒng)狀態(tài)方程,應(yīng)用自由矩陣積分不等式方法得到了改進(jìn)的穩(wěn)定性判據(jù).不同于文獻(xiàn)[18],本文通過引入分割系數(shù)α1和α2實(shí)現(xiàn)對(duì)采樣區(qū)間的非均勻分割,這樣的分割方式更加靈活,而且計(jì)算復(fù)雜度并不會(huì)隨著分割系數(shù)的大小而改變.最后,通過數(shù)值實(shí)例對(duì)所提的方法進(jìn)行了驗(yàn)證,計(jì)算的結(jié)果表明,本文的方法可以有效地減小穩(wěn)定性分析的保守性.

本文采用如下標(biāo)號(hào):上標(biāo)“?1”和“T”分別表示矩陣的逆和轉(zhuǎn)置;Rn表示n維歐幾里得空間;代表n×m維的實(shí)矩陣;P >0 表示矩陣是正定的;diag{…}表示塊對(duì)角矩陣;I和0分別代表合適維度單位矩陣和零矩陣;“?”表示對(duì)稱矩陣中的對(duì)稱項(xiàng);He{X}=X+XT.

2 問題描述

考慮如下線性系統(tǒng):

式中:x(t)∈n是系統(tǒng)狀態(tài)以及u(t)∈是控制輸入,是已知的系統(tǒng)矩陣.令tk,k=0,1,2…表示采樣的更新時(shí)間,滿足

式中:hk是采樣的周期,h1和h2分別為采樣周期的下界和上界.

采用如下狀態(tài)反饋控制器:

本論文的主要目標(biāo)是獲得保證閉環(huán)系統(tǒng)(4)穩(wěn)定的最大允許采樣周期,從而降低采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的保守性.

3 穩(wěn)定性判據(jù)

為了降低穩(wěn)定性條件的保守性,本文引入分割系數(shù)α1,α2∈(0,1)將區(qū)間[tk,t]和[t,tk+1]分別分割為[tk,t?α1τ(t)]∪[t?α1τ(t),t]和并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建新的雙邊閉環(huán)型Lyapunov泛函.為簡化描述,首先定義以下符號(hào):

由于采樣控制系統(tǒng)具有在兩個(gè)連續(xù)采樣點(diǎn)之間控制信號(hào)保持不變的特性.為進(jìn)一步降低穩(wěn)定判據(jù)的保守性,本文引入如下兩個(gè)分割后的系統(tǒng)狀態(tài)方程:

引入的系統(tǒng)方程(5)–(6)的作用將在定理1和推論1的比較中凸顯出來,首先給出以下穩(wěn)定性判據(jù).

那么閉環(huán)系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的.

證首先,構(gòu)造如下雙邊閉環(huán)型Lyapunov泛函:

對(duì)泛函(9)求導(dǎo)得

應(yīng)用文獻(xiàn)[1]中引理1給出的自由矩陣積分不等式對(duì)J1–J4進(jìn)行界定,可得

類似于文獻(xiàn)[1],對(duì)系統(tǒng)(4)從tk到t ?α1τ(t),t?α1τ(t)到t,t到t+α2ˉτ(t)以及t+α2ˉτ(t)到tk+1分別進(jìn)行積分,并引入自由矩陣Yi(i=1,2,3,4),可以建立以下零等式:

同理,對(duì)式(10)–(13)從tk到t ?α1τ(t),t ?α1τ(t)到t,t到t+α2(t)以及t+α2(t)到tk+1分別進(jìn)行積分,并引入合適維數(shù)矩陣Yi(i=5,6,7,8),可以構(gòu)造出如下零等式:

若?1<0和?2<0,則˙W(t)<0,由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知,系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.由Schur補(bǔ)引理可知,LMI(7)–(8)分別等價(jià)于?1<0 和?2<0. 證畢.

注1在泛函(9)中,注意到Vi(tk)=Vi(tk+1)=0,i=1,2,3,4,因而V(t)=Vj(t)滿足閉環(huán)函數(shù)條件[9].在構(gòu)造閉環(huán)函數(shù)V(t)的過程中,由于同時(shí)考慮了區(qū)間[tk,t]和[t,tk+1]信息,因而本文把這一泛函稱之為雙邊閉環(huán)型Lyapunov泛函.

注2本文應(yīng)用了文獻(xiàn)[1]中的自由矩陣積分不等式方法來處理Lyapunov泛函導(dǎo)數(shù)中出現(xiàn)的二次型積分項(xiàng).在對(duì)二次型積分項(xiàng)的逼近估計(jì)中，自由矩陣積分不等式方法具有明顯的優(yōu)勢(shì).比如說不需要考慮如文獻(xiàn)[20]中Wirtinger不等式帶來的逆凸問題,在采樣控制系統(tǒng)中的應(yīng)用也更加方便.并且與其他積分不等式相比,應(yīng)用自由矩陣積分不等式方法得出的結(jié)果也具有更小的保守性.

注3通過將采樣區(qū)間tk到t和t到tk+1分別用分割系數(shù)α1和α2分割成兩段,定理1充分利用了分割后的狀態(tài)信息和系統(tǒng)狀態(tài)信息.系統(tǒng)狀態(tài)方程(5)–(6)的引入,有效降低了采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的保守性.

為了凸顯系統(tǒng)狀態(tài)方程(5)–(6)的作用,在閉環(huán)函數(shù)的基礎(chǔ)上,如果僅利用分割后的狀態(tài)信息而忽略分割后的系統(tǒng)狀態(tài)信息,可得到以下推論.

且Γ,Πj,j=13,14,…,36,定義于定理1.

證構(gòu)造如下雙邊閉環(huán)型Lyapunov泛函:

然后,類似于定理1的推導(dǎo)過程可以得到推論1,這里不再贅述正. 證畢.

注4本文可以通過調(diào)節(jié)α1和α2來獲得盡可能大的采樣周期.為得到α1和α2的最優(yōu)值,下面,本文給出具體的搜索算法:

1)給定搜索步長?α,令α1=?α,α2=?α.然后,求解定理1中的線性矩陣不等式獲得相應(yīng)的最大采樣周期h2,并令

2)令α2=α2+?α,應(yīng)用定理1求得相應(yīng)的最大采樣周期h2.若h2>h?,則h?=h2,

3)若α2>1,則α2=0,α1=α1+?α;否則,跳轉(zhuǎn)到第2)步;

4)若α1<1,則跳轉(zhuǎn)到第2)步;否則,輸出分割系統(tǒng)的最優(yōu)值以及相應(yīng)的最大采樣周期h?.

3.1 數(shù)值實(shí)例

本文通過以下兩個(gè)數(shù)值例子來驗(yàn)證所提方法的有效性和優(yōu)越性.

例1考慮閉環(huán)系統(tǒng)(4)具有以下的系統(tǒng)參數(shù):

在變周期采樣情況下,采用本文所提出的方法計(jì)算得出的結(jié)果和其他已有文獻(xiàn)的結(jié)果列于表1中.從表中可以看出,本文所提出的方法可以得到更大的采樣周期,這就說明本文所提出的分析方法具有更低的保守性.在和文獻(xiàn)[1]的對(duì)比中,本文可以發(fā)現(xiàn)基于分割法改進(jìn)的閉環(huán)函數(shù)的有效性.特別是系統(tǒng)狀態(tài)方程(5)–(6)的引入,有效地降低了穩(wěn)定判據(jù)的保守性.

表1 當(dāng)h1=10?5時(shí),保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最大采樣周期h2Table 1 The maximum value of h2 under aperiodic samplings with h1=10?5

例2考慮閉環(huán)系統(tǒng)(4)具有以下的系統(tǒng)參數(shù):

對(duì)于這個(gè)例子,采用本文所提出的穩(wěn)定性判據(jù)和其他現(xiàn)有方法計(jì)算得到的結(jié)果列于表2中.從表中可以看出,本文提出的穩(wěn)定性判據(jù)得到的分析結(jié)果要明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[1].此外,通過對(duì)定理1和推論1的計(jì)算結(jié)果的對(duì)比可知,對(duì)于分割后的系統(tǒng)狀態(tài)信息的有效利用可以顯著降低穩(wěn)定性分析的保守性.

表2 當(dāng)h1=10?5時(shí),保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最大采樣周期h2Table 2 The maximum value of h2 under aperiodic samplings with h1=10?5

4 結(jié)論

本文基于雙邊閉環(huán)型Lyapunov泛函討論采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.通過對(duì)采樣區(qū)間進(jìn)行分割處理,并且充分利用分割后的系統(tǒng)狀態(tài)信息和引入新的系統(tǒng)狀態(tài)方程,建立了采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文所提出的方法優(yōu)于現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)論.