帶寬化擾動(dòng)觀測(cè)復(fù)合滑模的閉鏈機(jī)構(gòu)協(xié)調(diào)控制

姚蘇華 ,高國(guó)琴 ,高志強(qiáng)

(1.江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212013;2.克利夫蘭州立大學(xué)電機(jī)工程與計(jì)算機(jī)科學(xué)系,俄亥俄州克里夫蘭市44115)

1 引言

目前汽車電泳涂裝輸送設(shè)備大多采用懸臂梁結(jié)構(gòu),為克服懸臂梁結(jié)構(gòu)承載能力不足的缺點(diǎn),本課題組將并聯(lián)機(jī)構(gòu)引入輸送機(jī),發(fā)明了一種并聯(lián)汽車電泳涂裝輸送機(jī)[1–2].輸送機(jī)包含兩個(gè)完全對(duì)稱的并聯(lián)機(jī)構(gòu),并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端通過(guò)一對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)副與一根連接桿的兩端連接,車體懸架固定在具有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的連接桿上.輸送機(jī)構(gòu)作為閉鏈機(jī)構(gòu),機(jī)構(gòu)支鏈公共端連接點(diǎn)處的彈性剛度具有一定的極限,主動(dòng)關(guān)節(jié)不協(xié)調(diào)易引發(fā)支鏈接觸處受力超出剛度允許范圍,導(dǎo)致塑性形變,輕則帶來(lái)機(jī)構(gòu)磨損,重則造成閉鏈解構(gòu),因此,從控制上保證輸送機(jī)構(gòu)每邊及兩邊主動(dòng)關(guān)節(jié)位置協(xié)調(diào)性十分關(guān)鍵;而實(shí)際系統(tǒng)受到負(fù)載變化(如車型調(diào)整)、模型不準(zhǔn)確、關(guān)節(jié)摩擦及流體阻力等內(nèi)外擾動(dòng)綜合影響,而且上述擾動(dòng)對(duì)各個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)位置輸出影響也不具有一致性,因此,在非一致的擾動(dòng)作用下,如何通過(guò)控制實(shí)施保證主動(dòng)關(guān)節(jié)位置協(xié)調(diào)性,是協(xié)調(diào)控制的核心難點(diǎn).

解決協(xié)調(diào)控制問(wèn)題,目前主要有同等控制[3]、主從控制[4]、虛擬主軸控制[5]、偏差耦合控制[6]及交叉耦合控制[7]等方案.其中交叉耦合控制由Koren Y首次提出[8],已被用于解決多軸系統(tǒng)[9–10]、移動(dòng)機(jī)器人[11]、多機(jī)器人[12–13]、多關(guān)節(jié)靈巧手[14]及并聯(lián)機(jī)構(gòu)[15–17]等協(xié)調(diào)控制問(wèn)題.而針對(duì)閉鏈機(jī)構(gòu),文獻(xiàn)[15–16]將交叉耦合控制與比例微分(proportional derivative,PD)控制或自適應(yīng)控制結(jié)合;文獻(xiàn)[17]結(jié)合相鄰交叉耦合提出同步高階PD控制等等,綜合來(lái)看,交叉耦合控制沒(méi)有明確劃分不確定問(wèn)題和協(xié)調(diào)控制問(wèn)題的界限,這說(shuō)明協(xié)調(diào)控制問(wèn)題本身只是一類特殊的不確定問(wèn)題,其特殊性在于:在擾動(dòng)對(duì)輸出影響不一致的情況下,通過(guò)控制實(shí)現(xiàn)輸出穩(wěn)定一致.

解決不確定問(wèn)題一般使用跟蹤誤差反饋,而交叉耦合控制解決協(xié)調(diào)控制這種特殊的不確定問(wèn)題也可以使用耦合誤差反饋,如文獻(xiàn)[14,17].在文獻(xiàn)[10]所定義的耦合誤差中,跟蹤誤差與同步誤差的階是一致的,因此耦合誤差可以表示為一個(gè)非奇異矩陣與跟蹤誤差向量的左積.控制直接利用耦合誤差與跟蹤誤差這一線性關(guān)系,可以通過(guò)線性變換將建?？臻g中的協(xié)調(diào)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化(描述)為耦合空間中的不確定(抗擾)問(wèn)題.由此可見(jiàn),協(xié)調(diào)控制要解決正是另一空間的不確定問(wèn)題.

解決不確定問(wèn)題的方法很多,滑?？刂凭褪瞧渲械囊环N.作為一類特殊的非線性控制,滑模控制具有響應(yīng)速度快、魯棒性好、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn),但也存在抖振問(wèn)題.文獻(xiàn)[18]提出將滑?？刂婆c非線性擾動(dòng)觀測(cè)器(nonlinear disturbance observer,NDOB)結(jié)合,通過(guò)擾動(dòng)觀測(cè)器減少不確定上界,從而減輕滑?？刂频亩墩?文獻(xiàn)[19]結(jié)合文獻(xiàn)[18],并與交叉耦合控制結(jié)合,也在一定程度上解決了并聯(lián)機(jī)構(gòu)主動(dòng)關(guān)節(jié)協(xié)調(diào)控制問(wèn)題.然而,非線性擾動(dòng)觀測(cè)器(NDOB)的主要功能是補(bǔ)償標(biāo)稱模型誤差和外部擾動(dòng),設(shè)計(jì)需要植入標(biāo)稱逆模型,當(dāng)標(biāo)稱模型較為復(fù)雜時(shí),會(huì)降低控制計(jì)算的實(shí)時(shí)性.為簡(jiǎn)化擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì),本文提出一種新型擾動(dòng)觀測(cè)器,它借用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)(extended state observer,ESO)[20]的計(jì)算結(jié)構(gòu),并使用估計(jì)誤差的比例、積分、微分(P,I,D)估計(jì)總擾動(dòng).它與滑?？刂茝?fù)合,不僅可以消除滑?？刂频亩墩?降低滑模控制對(duì)趨近率的選擇要求;更重要的還在于閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)統(tǒng)一設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn),與帶寬參數(shù)化的結(jié)合,又能有效地解決控制參數(shù)的整定問(wèn)題.

至此,本文后續(xù)安排如下:首先給出閉鏈機(jī)構(gòu)在建?？臻g和耦合空間描述;在耦合空間中提出擾動(dòng)觀測(cè)器復(fù)合滑模的控制方法;給出穩(wěn)定性證明后提出帶寬參數(shù)化整定方法;在仿真和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上給出研究結(jié)論.

2 協(xié)調(diào)控制問(wèn)題在不同空間中的描述

2.1 建模空間描述

電泳涂裝輸送機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示,文獻(xiàn)[21]通過(guò)拉格朗日法建立操作空間的動(dòng)力學(xué)模型,然后將操作空間的動(dòng)力學(xué)映射到關(guān)節(jié)空間,得到關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型

其中:D(t)為摩擦力項(xiàng),D(t)=Fcsgnx+BcFc為庫(kù)侖摩擦力矩陣,Bc為粘度系數(shù)矩陣,輸出向量為x=[x1x2x3x4?1?2]T,xi,i=1,2,3,4分別為4個(gè)平移關(guān)節(jié)在位移,?j,j=1,2分別為兩個(gè)翻轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角度,F(t)為外界干擾項(xiàng),包括空氣及槽液阻力等.

圖1 電泳涂裝輸送機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structural diagram of electro-coating conveyor

注1上述動(dòng)力學(xué)模型建立時(shí)的隱性假設(shè)為支鏈在接觸點(diǎn)處的剛度為無(wú)窮大.超出剛度允許的高階動(dòng)態(tài)無(wú)法通過(guò)模型體現(xiàn),一旦主動(dòng)關(guān)節(jié)位置不協(xié)調(diào),依據(jù)標(biāo)稱模型設(shè)計(jì)的低階控制器因難以抑制高階快變未建模動(dòng)態(tài)影響,會(huì)引起系統(tǒng)不穩(wěn)定.

設(shè)6個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)(4個(gè)平移關(guān)節(jié)和2個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié))的位置跟蹤誤差為

式中:xid(t),xi(t)分別為第i個(gè)平移關(guān)節(jié)在t時(shí)刻的期望位置和實(shí)際位置;?jd(t),?j(t)分別為第j個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)在t時(shí)刻的期望位置和實(shí)際位置.

在建?？臻g中,協(xié)調(diào)控制問(wèn)題可以描述為通過(guò)控制實(shí)現(xiàn)目標(biāo)即實(shí)現(xiàn)4個(gè)平移關(guān)節(jié)和2個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的跟蹤誤差分別一致收斂.

2.2 耦合空間描述

根據(jù)式(3)的協(xié)調(diào)控制目標(biāo),根據(jù)文獻(xiàn)[21],可將4個(gè)平移關(guān)節(jié)和2個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)視為2組智能體,每組智能體之間可以相互通信,因此,首先畫出兩組智能體的強(qiáng)連通圖,如圖2所示.

圖2 平移關(guān)節(jié)及旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的連通圖Fig.2 Connected graphs of translational and rotational joints

圖2對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣(Laplacian matrix)為

定義同步誤差向量

其中:e=[ex1ex2ex3ex4e?1e?2]T,同步傳遞矩陣T=diag{Tx,T?}.考慮式(3)中的ex2和ex4取負(fù)號(hào),為保證

成立,應(yīng)該滿足

定義耦合誤差[14]

結(jié)合式(5)得

其中:kε=diag{kε1I4,kε2I2},kε1,kε2均為正的常數(shù),I表示單位矩陣.

定義耦合傳遞矩陣

由式(10)知Ts可逆,耦合誤差與跟蹤誤差滿足

線性關(guān)系.

其中:r1=Tsr,x1=Tsx.

由式(1)得

將式(14)代入式(13)后兩邊左乘Ts得

利用耦合傳遞矩陣Ts,主動(dòng)關(guān)節(jié)協(xié)調(diào)控制問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為解決耦合空間動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(15)的不確定問(wèn)題,協(xié)調(diào)控制的目標(biāo)就轉(zhuǎn)換為:通過(guò)設(shè)計(jì)τ1,使e1→0.

3 擾動(dòng)觀測(cè)復(fù)合滑?？刂?/h2>

針對(duì)耦合空間的不確定問(wèn)題,首先將式(15)轉(zhuǎn)化為積分串聯(lián)型

設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器

估計(jì)d2,使→d2.與文獻(xiàn)[15]采用觀測(cè)誤差積分估計(jì)總擾動(dòng)不同,式(19)使用觀測(cè)誤差的非線性PID估計(jì)總擾動(dòng),擾動(dòng)觀測(cè)器增益與ESO中3個(gè)反饋增益一致,對(duì)擾動(dòng)信號(hào)的要求為:擾動(dòng)及其擾動(dòng)信號(hào)的導(dǎo)數(shù)有界[23].將代入式(17)得

針對(duì)式(21),定義滑模面

然后設(shè)計(jì)滑模控制律

其中ks=diag{ks1,…,ks6}.綜上可知,擾動(dòng)觀測(cè)復(fù)合滑?？刂坡蔀?/p>

其中η0.

4 穩(wěn)定性證明

擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器關(guān)于z1的狀態(tài)方程等價(jià)于非線性微分方程

其中eo=e1?z1.將式(25)代入式(19)得

聯(lián)立式(22)–(23)得

聯(lián)立式(17)(23)得

聯(lián)立式(19)(27)–(28)得

其中:

式(29)等價(jià)于

比較式(29)(33)得

注2滑模控制的切換增益ηO,放寬了滑?？刂魄袚Q增益一般要求ηsup|d|的條件,同時(shí),切換項(xiàng)兩重積分的平滑作用是滑模抖振得以消除的根本原因.

注3式(30)揭示了擾動(dòng)觀測(cè)復(fù)合滑?？刂频淖钥箶_本質(zhì)[22].

5 帶寬參數(shù)化整定

解決滑?？刂茀?shù)ks和擾動(dòng)觀測(cè)器參數(shù)ki(i=1,…,3)的整定問(wèn)題,是獲得高性能協(xié)調(diào)控制性能關(guān)鍵.由于本文新型擾動(dòng)觀測(cè)器使用了fal型函數(shù),fal作為分段函數(shù),其第1段是線性的,第2段是非線性分?jǐn)?shù)指數(shù)冪函數(shù)(使用大誤差小增益原理引入的類飽和保護(hù)行為[23],以防止系統(tǒng)超出執(zhí)行限制).在平衡點(diǎn)附近,擾動(dòng)觀測(cè)器通常工作在第一段(線性區(qū)).由式(29)可知,系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

當(dāng)η0,且式(35)滿足Hurwitz,則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定.

為解決參數(shù)整定問(wèn)題,不妨先設(shè)η=0,將式(22)代入式(35)并化簡(jiǎn)得

由式(36)知系統(tǒng)各個(gè)通道的閉環(huán)特征多項(xiàng)式均為

注4為區(qū)分式(22)變量,需要強(qiáng)調(diào)式(37)中的s是拉普拉斯算子.

結(jié)合帶寬參數(shù)化[24]得

其中ωc,ωo分別為滑?？刂破鲄?shù)和擾動(dòng)觀測(cè)器的帶寬.

求解式(38)得

注5滑?？刂破鲄?shù)ks=ωc意味滑模面的增益參數(shù)具有帶寬的物理意義,這也說(shuō)明:在實(shí)際系統(tǒng)中使用滑模控制時(shí),滑模面的設(shè)計(jì)應(yīng)尊重有限帶寬[25]這一根本系統(tǒng)限制.

當(dāng)η >0,等速趨近律滑模切換項(xiàng)迫使?fàn)顟B(tài)趨向滑模面的趨近速率保持恒定,其代價(jià)在于控制量的幅值隨之增加.在實(shí)際系統(tǒng)中控制量一般受飽和約束,因此滿足η 0是實(shí)際系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定運(yùn)行的必要條件.

6 仿真及實(shí)驗(yàn)

在MATLAB/Simulink環(huán)境下進(jìn)行系統(tǒng)仿真,步長(zhǎng)取0.001 s,離散化采用ode1,仿真時(shí)間為16 s;為方便比較,與文獻(xiàn)[16]所設(shè)置的干擾保持一致,其中粘性系數(shù)矩陣、庫(kù)倫摩擦力矩陣、外部干擾及建模誤差分別取

將式(39)代入式(24),并取控制參數(shù)

式(41)中θi(i=1,2,3)取值根據(jù)文獻(xiàn)[20]直接得到,而δ的選擇在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)執(zhí)行器飽和限制條件取適當(dāng)?shù)闹?本文仿真取δ=1.

選不同的η,檢驗(yàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和滑模抖振情況.由于任意關(guān)節(jié)控制量輸出曲線特征相似,為便于描述,本文僅給出平移關(guān)節(jié)1在t∈[0,8]取不同η時(shí)的控制量曲線.為進(jìn)一步評(píng)價(jià)系統(tǒng)末端執(zhí)行精度和主動(dòng)關(guān)節(jié)同步精度,選擇跟蹤誤差的均方根誤差TRSME和同步誤差的均方根誤差SRSME分別用于評(píng)價(jià)跟蹤和同步性能[17].

如圖3所示,取η0時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,控制量幅值隨η增大而增大,控制量平滑性好,控制量曲線中無(wú)明顯的云狀抖振區(qū)域.

圖3 平移關(guān)節(jié)1的控制量曲線Fig.3 Control curve of the first translational joint

表1列出η=0,5,10對(duì)應(yīng)兩個(gè)指標(biāo)的仿真數(shù)據(jù),η=0時(shí),跟蹤精度最高,隨著η的提高,跟蹤精度有所下降,但同步性能幾乎不變,這說(shuō)明新型擾動(dòng)觀測(cè)器復(fù)合滑模的方案可以很好解決閉鏈機(jī)構(gòu)主動(dòng)關(guān)節(jié)位置協(xié)調(diào)控制問(wèn)題,與文獻(xiàn)[19]選擇傳統(tǒng)的非線性擾動(dòng)觀測(cè)器結(jié)合雙冪次趨近律的滑模控制的仿真結(jié)果對(duì)比后發(fā)現(xiàn),不僅兩項(xiàng)指標(biāo)均獲得明顯提升,而且參數(shù)整定也更加簡(jiǎn)便.

表1 同步與跟蹤性能指標(biāo)Table 1 Synchronization &tracking performance indexes

結(jié)合圖1和表1可以看出,在同等條件下,當(dāng)滑模切換增益為零時(shí),系統(tǒng)幾乎以最小的能量代價(jià)獲得了最佳的性能.這一方面說(shuō)明了擾動(dòng)估計(jì)器具有優(yōu)越的擾動(dòng)估計(jì)能力;而從另一方面來(lái)看,切換控制量的引入由于增加了擾動(dòng)估計(jì)器的估計(jì)負(fù)擔(dān),因而切換的存在并不一定有利于性能的提升.

為了驗(yàn)證本文算法的有效性,在電泳輸送樣機(jī)平臺(tái)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),結(jié)合帶寬參數(shù)化法整定,實(shí)驗(yàn)獲得的主動(dòng)關(guān)節(jié)跟蹤誤差曲線如圖4所示,實(shí)驗(yàn)取η=0的情形.在圖4中,前4張圖顯示的是4個(gè)主動(dòng)平移關(guān)節(jié)的跟蹤誤差,最后兩張圖顯示的是翻轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的跟蹤誤差.平移關(guān)節(jié)和反轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)跟蹤精度等級(jí)分別達(dá)到10?3m與10?2rad.4個(gè)平移關(guān)節(jié)跟蹤誤差曲線除粗細(xì)存在細(xì)微差別之外(關(guān)節(jié)傳感器測(cè)量噪聲不一致性是造成跟蹤誤差曲線在粗細(xì)有所差別的主要原因),誤差曲線的形狀基本保持一致,由此可見(jiàn)主動(dòng)關(guān)節(jié)的協(xié)調(diào)控制性能較好.

圖4 6個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)跟蹤誤差Fig.4 Tracking errors of six active joints

7 結(jié)論

本文根據(jù)閉鏈機(jī)構(gòu)特點(diǎn),利用耦合誤差與跟蹤誤差間的線性關(guān)系,將閉鏈機(jī)構(gòu)協(xié)調(diào)控制問(wèn)題描述為耦合空間中不確定問(wèn)題,并在耦合空間中設(shè)計(jì)了帶寬化擾動(dòng)觀測(cè)復(fù)合滑模的控制算法.本文主要工作如下:

1)提出了一種新型非線性擾動(dòng)觀測(cè)器,它保留非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(NESO)的計(jì)算結(jié)構(gòu),并使用觀測(cè)誤差的P,I,D估計(jì)擾動(dòng);

2)結(jié)合穩(wěn)定性證明,研究擾動(dòng)觀測(cè)復(fù)合滑模的閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特征;

3)結(jié)合帶寬參數(shù)化法解決參數(shù)整定問(wèn)題.

仿真和實(shí)驗(yàn)表明,擾動(dòng)觀測(cè)復(fù)合滑模的控制方案不但可以有效解決閉鏈機(jī)構(gòu)的協(xié)調(diào)控制問(wèn)題,還具有參數(shù)整定容易的優(yōu)點(diǎn),因而還具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值.

擾動(dòng)觀測(cè)復(fù)合滑模、PID、自抗擾控制都具有狀態(tài)擴(kuò)張能力,直接表現(xiàn)為對(duì)系統(tǒng)升階.系統(tǒng)的抗干擾能力強(qiáng)弱與控制對(duì)系統(tǒng)升階次數(shù)之間是否存在某種必然聯(lián)系,這是本文下一步要討論的問(wèn)題.