加性噪聲下網(wǎng)絡(luò)化多輸入離散系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定

陳軍勇 ,沈志萍 ,鄔依林

(1.浙江科技學院信息與電子工程學院,浙江杭州 310023;2.河南師范大學數(shù)學與信息科學學院,河南新鄉(xiāng) 453007;3.廣東第二師范學院計算機科學系,廣東廣州 510310)

1 引言

網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)(networked control system,NCSs)是系統(tǒng)和控制器通過共享網(wǎng)絡(luò)進行通信的反饋控制系統(tǒng),近年引起了極大的關(guān)注.該系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于移動傳感器網(wǎng)絡(luò)、高速公路系統(tǒng)和多智能體系統(tǒng)等[1–3].很多期刊和會議都對該主題進行過專題討論,例如文獻[4–8]等.

網(wǎng)絡(luò)化控制的一個基本問題是輸入信道信息約束下的可鎮(zhèn)定性.研究中常常采用很多不同形式的信息約束,例如數(shù)據(jù)率約束[9–10]、量化[11–12]、丟包[13–15]、量化與丟包[16]、信噪比受限[17–18]、時滯[19–20]等.利用對數(shù)量化器量化輸入信號,文獻[21]討論了多輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋均方可鎮(zhèn)定問題.基于李雅普諾夫方法,得到系統(tǒng)二次可鎮(zhèn)定下最粗糙量化密度要求,該要求可用系統(tǒng)的米勒測度表示,即不穩(wěn)定極點的乘積.文獻[13]研究發(fā)現(xiàn)基于乘性隨機輸入信道下網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)狀態(tài)反饋均方可鎮(zhèn)定的充要條件是乘性信道的均方容量超過系統(tǒng)的拓撲熵,即米勒測度的對數(shù).這些結(jié)果揭示了米勒測度或拓撲熵的重要作用,可以視為開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定度的一個度量.文獻[22]通過數(shù)據(jù)率約束信道及系統(tǒng)拓撲熵研究了可觀測性和最優(yōu)控制之間的聯(lián)系,該結(jié)論進一步支持了上述觀點.

對于多輸入系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)化鎮(zhèn)定問題較單輸入系統(tǒng)的研究變得更加復雜,網(wǎng)絡(luò)化多輸出系統(tǒng)狀態(tài)反饋均方可鎮(zhèn)定時的最小網(wǎng)絡(luò)要求條件很難得到.幸好,文獻[23–27]取得了很大的進展.例如,基于信噪比受限下獨立平行信道,文獻[26–27]討論了離散時間多輸入多輸出系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定問題,給出系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定的充分必要條件,該條件涉及到不穩(wěn)定極點的值及其方向.最近,一系列研究利用信道資源分配的思想來探尋可鎮(zhèn)定性的最小信息要求.憑借因信道資源可分配而產(chǎn)生的額外設(shè)計自由度,已經(jīng)證明多輸入網(wǎng)絡(luò)化可鎮(zhèn)定性所需的最小總?cè)萘靠捎砷_環(huán)系統(tǒng)拓撲熵刻畫.另一種方法是每個信道資源固定,而從通信理論角度借助于多輸入多輸出傳輸機制,討論網(wǎng)絡(luò)化可鎮(zhèn)定的問題,文獻[28]借助此思想,基于優(yōu)化序方法給出加性噪聲信道下均方可鎮(zhèn)定的充分必要條件.類似的方法被推廣到乘性噪聲信道及更一般信道下網(wǎng)絡(luò)化可鎮(zhèn)定[21,29].

受網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定的啟發(fā),尤其是文獻[21,28–29]中思想的啟發(fā),本文借助相應(yīng)的思想建立網(wǎng)絡(luò)化離散系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定與系統(tǒng)不穩(wěn)定度的聯(lián)系,特別是借助優(yōu)化序思想來給出信道資源不能任意分配時系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定的充分必要條件.與文獻[28]和文獻[21,29]不同之處有3點:1)本文主要討論的是離散時間系統(tǒng)下的均方可鎮(zhèn)定;2)信道容量定義不同;3)因解決不同的問題,所得結(jié)論截然不同.

為解決信息受限下多輸出網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定問題,本文的特色:當信道資源不能分配,利用編碼和解碼矩陣將問題轉(zhuǎn)化成編碼和控制器聯(lián)合設(shè)計問題.為達到均方可鎮(zhèn)定,編碼和控制器要適當設(shè)計.本文給出用優(yōu)化序表示的充分和必要條件,表明最小網(wǎng)絡(luò)要求與循環(huán)分解子系統(tǒng)的米勒測度有緊密聯(lián)系.

值得指出的是,不管是信道/控制器聯(lián)合設(shè)計還是編碼/控制器聯(lián)合設(shè)計問題,都可看成是通信資源供需平衡問題.控制一個網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),每一個輸入需要一定數(shù)量的通信資源.供需平衡可以通過兩方面不同設(shè)計.信道/控制器聯(lián)合設(shè)計是調(diào)節(jié)供應(yīng)來滿足需求,而編碼/控制器聯(lián)合設(shè)計則相反,即調(diào)節(jié)需要來滿足供應(yīng).

2 問題描述

考慮如圖1所示網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),其中離散時間多輸入線性時不變系統(tǒng)描述為

其中:xk為系統(tǒng)狀態(tài);uk是控制輸入;假設(shè)(A,B)不穩(wěn)定但可鎮(zhèn)定.設(shè)狀態(tài)xk可用來做狀態(tài)反饋.如果控制器和系統(tǒng)之間的通信網(wǎng)絡(luò)是理想的,即uk=vk,則容易設(shè)計狀態(tài)反饋控制器vk=Fxk使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.然而,當通信網(wǎng)絡(luò)不是理想的,即uk為vk的失真后的信息,因系統(tǒng)可鎮(zhèn)定性依賴于通信網(wǎng)絡(luò)傳輸精度,該狀態(tài)反饋設(shè)計將面臨著新的問題.

圖1 網(wǎng)絡(luò)化反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 State feedback via communication network

文獻[15,30]借用網(wǎng)絡(luò)資源可分配的思想討論了多輸入網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定時的最小信道容量,但該討論基于總的資源可在任意平行信道中分配的假設(shè).如果總的資源是不能分配的,該問題面臨著新的挑戰(zhàn).針對這一問題,本文針對離散時間多輸入網(wǎng)絡(luò)化線性系統(tǒng),借助于編碼控制聯(lián)合設(shè)計思想來解決這一問題.即將通信網(wǎng)絡(luò)建模為一編碼矩陣T,加性高斯白噪聲平行信道和一解碼矩陣R,如圖2所示.

圖2 加性高斯白噪聲及編碼解碼信道Fig.2 Communication channels with encoding and decoding

信道描述:通信信道建模成加性白高斯噪聲,信道輸入信號qi是具有容許功率Pi的靜態(tài)過程,即

信號傳輸被具有零均值功率譜密度為Ni的白高斯噪聲干擾.比值稱為信噪比,記為SNRi.本文考慮無限帶寬加性高斯白噪聲這一理想情況.該高斯白噪聲信道容量定義為[30]

總的信道容量為C=C1+C2+…+Cl.因提前設(shè)定容許功率,則信道容量是固定的且不能任意分配與資源可任意分配[15,30]相反.然而,編碼解碼矩陣的設(shè)計可以代替資源不可分配產(chǎn)生的設(shè)計局限.特別的,假設(shè)編碼和解碼矩陣受以下約束:

問題提出:當網(wǎng)絡(luò)資源不可任意分配時,如何實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)化離散時間系統(tǒng)可鎮(zhèn)定? 本文的目的有兩個:1)聯(lián)合設(shè)計編碼控制使得可鎮(zhèn)定可以實現(xiàn);2)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定時各信道容量與系統(tǒng)拓撲熵需滿足什么關(guān)系?

3 預備知識

本節(jié)給出一些基本知識,包括H2補靈敏度、循環(huán)分解和優(yōu)化序理論等.

循環(huán)分解:一般來說,對于任意方陣,總能進行如下循環(huán)分解:

引理1[31]對每個可鎮(zhèn)定線性系統(tǒng)[A,B],其中則存在非奇異矩陣P和Q使得

優(yōu)化序理論:一些有用的引理如下:

引理2[32]優(yōu)化序不等式成立,等價于存在一向量z使得xz(x>z),且

上述引理刻畫了優(yōu)化序和弱優(yōu)化序之間的關(guān)系.

引理3[32]存在具有特征值λ1,λ2,…,λn和對角元素d1,d2,…,dn的實對稱矩陣X的充分必要條件是

當引理3中條件滿足,有很多方法計算期望實矩陣X,可參考文獻[33],更多關(guān)于優(yōu)化序知識可參考文獻[32].

最優(yōu)補靈敏度:考慮圖2所示網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),假設(shè)信道暫時是理想的,則系統(tǒng)的補靈敏度函數(shù)(從信道噪聲dk到信道輸入qk的傳遞函數(shù))為

引理4[30]假設(shè)(A,B)可鎮(zhèn)定,則有

對于單輸入情形,即m=1,可參考文獻[34].

4 主要結(jié)論

現(xiàn)有很多文獻主要考慮了總的資源可分配到各平行信道中,實際上是調(diào)節(jié)供應(yīng)以滿足需求.然而,有時可能會碰見諸如網(wǎng)絡(luò)設(shè)備提前分配但不能任意分配的情況,此種情況下,各個信道資源Ci提前給定但不能分配.接下來的問題是能否借助其它設(shè)計方式來補償資源分配的缺失.答案是明確的,可借助設(shè)計傳輸/接收矩陣T和R,進而控制器設(shè)計問題轉(zhuǎn)化成控制器和傳輸聯(lián)合設(shè)計問題.給出主要結(jié)論前,我們從供需平衡角度來分析傳輸器設(shè)計機制.因為每個信道的信道容量提前固定,即供應(yīng)方不能再操作.而利用合適的線性傳輸矩陣T,每個信道傳輸所有輸入的信號線性組合信號,實際上是調(diào)節(jié)了信道需求以滿足供應(yīng).這剛好是現(xiàn)有方法的反面.

本節(jié)主要考慮信道模型為加性白高斯噪聲下,討論存在合適的編碼解碼矩陣T和R以及反饋控制增益矩陣F使得閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定(所有信號的分布指數(shù)趨于靜態(tài)分布)的充分必要條件.根據(jù)系統(tǒng)模型,總的噪聲d=[d1d2… dl]′為白高斯噪聲向量,其功率譜密度為N=diag{N1,N2,…,Nl}.補靈敏度函數(shù)(從信道噪聲dk到信道輸入qk的傳遞函數(shù))為

則qi的功率譜密度為{T(ejw)NT(ejw)?},進而qi的功率可表示為

其中{·}ii表示矩陣的第i個對角元素.因此,輸入功率受限(2)可轉(zhuǎn)化為

考慮到式(3),此約束可進一步轉(zhuǎn)化為

本節(jié)的目的是找到對信道容量Ci(i=1,2,…,l)的要求,通過聯(lián)合設(shè)計編碼/控制使得網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)在約束條件(2)下達到網(wǎng)絡(luò)化可鎮(zhèn)定.同時也提出一個編碼/控制協(xié)同設(shè)計的程序.

為了鎮(zhèn)定網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng),每個控制輸入要求一定通信資源用來傳輸.因此,控制輸入可看成通信資源的需求方,而通道可看成供應(yīng)方.通道的供應(yīng)容量由其信道容量刻畫.問題是信道容量提前給定,一般情況下供需不一定平衡.為解決這種供需不平衡,引入編碼矩陣T,用來從不同的控制輸入產(chǎn)生混合輸入需求.考慮到這一點,一個有趣的想法是合理利用編碼機制,以便在混合之后,需求將被合適地重新塑造以匹配供應(yīng).與文獻[15,30]中采用的信道資源分配完全相反,即調(diào)節(jié)供應(yīng)以滿足需求.請注意,需求塑造是經(jīng)濟學中非常普遍的原則.它在工程領(lǐng)域也引發(fā)了許多成功的故事,如電力系統(tǒng)[35]、交通運輸[36]和數(shù)據(jù)網(wǎng)絡(luò)[37]等.

接下來作者將利用弱優(yōu)化序關(guān)系解決編碼/控制協(xié)同設(shè)計問題,給出一個充分條件和一個必要條件.

定理1基于高斯白噪聲信道下的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng),通過編碼控制聯(lián)合設(shè)計均方可鎮(zhèn)定的充分條件是

必要條件為

證為簡潔起見,假設(shè)A的所有特征根在單位環(huán)外.該假設(shè)合理性可參考文獻[15,30].

首先證必要條件(12)成立:注意到信道總可以重新排列使得其信道容量按非增次序.因此,不失一般性,假設(shè)各信道容量關(guān)系如下,即非增順序

假設(shè)存在一狀態(tài)反饋增益F和一對傳輸接收矩陣{T,R}使得網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)在信噪比約束下是均方穩(wěn)定的.

根據(jù)引理1中的關(guān)系αi+1(λ)|αi(λ),易知的譜總包含于的譜,因此不等式

恒成立.優(yōu)化序(12)等價于下列不等式:

由文獻[30]定理3,信噪比約束的均方可鎮(zhèn)定表明總的信道資源要大于系統(tǒng)開環(huán)拓撲熵,即

不等式(14)可寫成如下對數(shù)形式:

對式(15)進行變形并取指數(shù)函數(shù)得

為了討論j=2情形,本文首先對系統(tǒng)[A|BR]中關(guān)于BR的第1列進行能控性分解.換句話說,存在一個非奇異矩陣和一個狀態(tài)變換zk=P?1xk使得輔助系統(tǒng)的動態(tài)方程變?yōu)?/p>

對上述方程取拉普拉斯變換,有

其中:

上述方程兩邊同時求和,可得

模仿上述的過程,很容易驗證當j=3,4,…,k時,式(13)也成立.必要條件(12)得證.

其次證明充分條件(11)成立:為證充分條件(12)成立,需設(shè)計一傳輸矩陣T,一個接收矩陣R和一狀態(tài)反饋增益矩陣F,使得閉環(huán)系統(tǒng)達到信噪比約束下均方穩(wěn)定.不失一般性,假設(shè)[A|B]已是循環(huán)分解形式,其中每個循環(huán)子系統(tǒng)是維數(shù)為ni的可鎮(zhèn)定系統(tǒng).對每個子系統(tǒng)可設(shè)計狀態(tài)反饋增益為使得其中

由此,A+BF是穩(wěn)定的.特別地,設(shè)傳輸和接收矩陣為

η是一正的小實數(shù).令

則有

其中

類似式(10),有

其中:

由引理3,總可構(gòu)造一酉矩陣U使得

當η取足夠小的實數(shù),有即信噪比約束滿足,充分條件(11)得證. 證畢.

注1從弱優(yōu)化條件(11)–(12),可以推斷,在某些情況下,甚至可以用比控制輸入數(shù)量少的通道來鎮(zhèn)定網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng).實際上,鎮(zhèn)定所需的最小通道數(shù)等于從循環(huán)分解(5)得到的不穩(wěn)定循環(huán)子系統(tǒng)的數(shù)量.這與文獻中的早期研究[38]鎮(zhèn)定線性系統(tǒng)所需的最小控制輸入數(shù)量一致.

注2由充分性條件式(11)和必要性條件式(12)可以看出,若充分性條件成立,則必要性條件一定成立,但反之未必成立.當系統(tǒng)循環(huán)子系統(tǒng)個數(shù)與信道個數(shù)一致時,弱優(yōu)化條件(11)–(12)一致,即充要條件,見下面推論1–2.

由定理1,進一步可推導如下兩個推論:

推論1如果循環(huán)分解(A,B)有l(wèi)個不穩(wěn)定循環(huán)子系統(tǒng),則基于加性白高斯噪聲信道的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)(A,B),可通過編碼控制聯(lián)合設(shè)計可鎮(zhèn)定的充分必要條件為

證當(A,B)有l(wèi)個不穩(wěn)定循環(huán)分解系統(tǒng),弱優(yōu)化條件(11)–(12)分別變?yōu)?/p>

則由優(yōu)化序性質(zhì)式(30)等價于式(31),即充分和必要條件一致. 證畢.

易知,當l=1時,即系統(tǒng)只有一個傳輸信道,也就沒有信道分配問題了,該結(jié)論與文獻[30]中結(jié)論一致,要求總?cè)萘看笥谙到y(tǒng)開環(huán)拓撲熵,與如何分配各個渠道的能力是不相關(guān)的.

推論2如果循環(huán)分解(A,B)有l(wèi)個不穩(wěn)定循環(huán)子系統(tǒng),且則基于加性白高斯噪聲信道的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)(A,B),可通過編碼控制聯(lián)合設(shè)計可鎮(zhèn)定的充分必要條件為

證當弱優(yōu)化條件(11)–(12)分別變?yōu)?/p>

則此充分必要條件即為

推論2表明,相同容量的通信信道可以很好地幫助彼此傳輸信號.同時,當l=1時,即系統(tǒng)只有一個輸入信道,該結(jié)論與文獻[30]中結(jié)論一致,要求總?cè)萘看笥谙到y(tǒng)開環(huán)拓撲熵.

5 仿真研究

本節(jié)中,給出一個數(shù)值示例來說明如何通過通道控制器協(xié)同設(shè)計來鎮(zhèn)定網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng).考慮一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)[A|B]:

初始條件x0=[1 1 1]′.顯然,[A|B]可鎮(zhèn)定.進一步[A|B]已是循環(huán)分解形式,循環(huán)子系統(tǒng)為

其中A1=diag{4,2}和A2=2.系統(tǒng)的拓撲熵為

對于控制器設(shè)計問題,通過求解兩個子系統(tǒng)[A1b1]和[A2b2]的H2最優(yōu)補靈敏度函數(shù)T(z)來獲得f1=[?6.5625 1.3125]和f2=?1.5.令

至于編碼器設(shè)計問題,盡管C1

因此,由定理1,系統(tǒng)可聯(lián)合設(shè)計編碼控制器,取γ1=48和γ2=20,使得

顯然,當選擇合適的足夠小的正數(shù)η=0.001,U為酉矩陣,且下面矩陣對角元素趨于γ1和γ2:

進一步,編碼解碼矩陣設(shè)計為

至此,完成設(shè)計過程.利用Simulation工具仿真,狀態(tài)協(xié)方差陣的Frobenius范數(shù)為

根據(jù)以上結(jié)果,可得閉環(huán)系統(tǒng)是均方穩(wěn)定的,同時,計

6 結(jié)論

本文研究了離散時間網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的可鎮(zhèn)定問題.信道模型為加性白高斯噪聲,用于描述通信過程中的信號失真,且信道資源提前固定不可任意分配.通過優(yōu)化序理論及線性系統(tǒng)中能控性理論,結(jié)合編碼與控制聯(lián)合設(shè)計思想,用優(yōu)化序形式給出網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定的充分和必要條件,此條件建立了系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定與系統(tǒng)拓撲熵之間的關(guān)系,同時也給出設(shè)計程序.最后,給出一個數(shù)值例子來驗證結(jié)果的有效性.