具有磁芯的無(wú)線(xiàn)電能傳輸系統(tǒng)非線(xiàn)性分析與控制

吳 雨，周 洪，程遠(yuǎn)鋒，朱 傲，褚 平，鄧其軍

(武漢大學(xué) 電氣與自動(dòng)化學(xué)院，湖北 武漢 430072)

0 引言

隨著大功率電動(dòng)汽車(chē)的普及，磁諧振式無(wú)線(xiàn)電能傳輸(wireless power transmission，WPT)的發(fā)展也突飛猛進(jìn)[1-2]。但應(yīng)用在電動(dòng)汽車(chē)上的WPT系統(tǒng)存在著許多亟待解決的技術(shù)難點(diǎn)，例如電能傳輸過(guò)程中傳輸效率和傳輸功率低的問(wèn)題。為了降低系統(tǒng)損耗[3-4]，提高系統(tǒng)傳輸效率[5-6]，增大系統(tǒng)傳輸距離[7]，文獻(xiàn)[8-9]在磁耦合結(jié)構(gòu)中加入磁芯。然而，由于磁芯材料的磁導(dǎo)率會(huì)跟隨線(xiàn)圈電流變化，使線(xiàn)圈的電感隨線(xiàn)圈電流動(dòng)態(tài)變化[10-11]，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的傳輸特性發(fā)生改變，甚至出現(xiàn)非線(xiàn)性現(xiàn)象。

非線(xiàn)性現(xiàn)象的存在會(huì)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和安全性造成影響。為了讓系統(tǒng)穩(wěn)定地運(yùn)行，需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。當(dāng)前，對(duì)于混沌控制的研究已經(jīng)比較成熟，針對(duì)不同類(lèi)型的非線(xiàn)性系統(tǒng)有不同的控制方法。經(jīng)典的控制方法主要有參數(shù)擾動(dòng)方法[12]、滑模變結(jié)構(gòu)控制方法[13]和反饋線(xiàn)性化控制方法[14]等。參數(shù)擾動(dòng)方法在應(yīng)用時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入到受控狀態(tài)所需要的時(shí)間長(zhǎng)，控制效率低?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制方法多用于離散系統(tǒng)，由于含磁芯的WPT系統(tǒng)離散過(guò)程極其復(fù)雜，因此該方法不適用。反饋線(xiàn)性化控制方法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)不確定性極其敏感，在實(shí)際的系統(tǒng)中應(yīng)用具有局限性。因此，本文提出了一種自適應(yīng)控制方法，基于拉塞爾(LaSalle)不變?cè)碓O(shè)計(jì)控制器，使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

本文首先對(duì)加入平板磁芯的線(xiàn)圈進(jìn)行分析，利用有限元分析法對(duì)具有平板磁芯的線(xiàn)圈建立仿真模型，得到線(xiàn)圈的非線(xiàn)性電感的數(shù)學(xué)模型。然后，在空線(xiàn)圈WPT系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，建立具有非線(xiàn)性電感的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程。使用數(shù)值分析法對(duì)建立的模型進(jìn)行非線(xiàn)性分析，利用MATLAB軟件對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程建立Simulink框圖，進(jìn)行系統(tǒng)的非線(xiàn)性特性分析。最后，考慮到非線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)方程是非自治的系統(tǒng)方程，提出了一種自適應(yīng)控制方法。根據(jù)函數(shù)中的平衡點(diǎn)，用一個(gè)負(fù)反饋增益的環(huán)節(jié)使系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡點(diǎn)周?chē)?，系統(tǒng)的輸出量由不規(guī)則振蕩變?yōu)橹芷谡袷帯?/p>

1 具有平板磁芯的WPT系統(tǒng)電路模型

1.1 WPT系統(tǒng)電路建模

WPT系統(tǒng)及其簡(jiǎn)化模型如圖1所示。該系統(tǒng)主要由電源、高頻逆變、發(fā)射、接收、高頻整流和負(fù)載6個(gè)部分組成，發(fā)射線(xiàn)圈和接收線(xiàn)圈組成的磁耦合機(jī)構(gòu)是整個(gè)系統(tǒng)的核心部分，通過(guò)磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)能量的轉(zhuǎn)移，當(dāng)發(fā)射線(xiàn)圈與接收線(xiàn)圈處于諧振狀態(tài)時(shí)傳輸效率最高。電源是整個(gè)系統(tǒng)的能量來(lái)源，電流經(jīng)過(guò)高頻逆變電路部分，轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)需要的高頻交流電，從發(fā)射線(xiàn)圈以電磁場(chǎng)能量的形式轉(zhuǎn)移到接收線(xiàn)圈，再經(jīng)過(guò)高頻整流電路給負(fù)載供電。WPT系統(tǒng)模型如圖1a所示。

在系統(tǒng)的發(fā)射線(xiàn)圈和接收線(xiàn)圈是空心線(xiàn)圈時(shí)，將WPT系統(tǒng)模型中的逆變部分、整流部分與負(fù)載簡(jiǎn)化，得到如圖1b所示的WPT系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型。

圖1 WPT系統(tǒng)及其簡(jiǎn)化模型

根據(jù)基爾霍夫(Kirchhoff)電壓電流定理，得到WPT系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型的狀態(tài)空間方程[15]：

(1)

1.2 含平板磁芯的線(xiàn)圈建模

對(duì)于磁耦合結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，線(xiàn)圈纏繞方式和線(xiàn)圈材料等因素對(duì)其傳輸性能有很大影響。綜合考慮，采用平板磁芯作為磁屏，不僅能更明顯地增大系統(tǒng)的傳輸效率，而且還能在傳輸區(qū)域產(chǎn)生更均勻的磁場(chǎng)。磁芯材料采用具有高磁導(dǎo)率的Mn-Zn鐵氧體SM-50[16]，初始磁導(dǎo)率為5 000 H·m-1。鐵氧體材料作為磁芯時(shí)，電導(dǎo)率遠(yuǎn)小于磁導(dǎo)率，本文只考慮鐵氧體的磁導(dǎo)率和厚度對(duì)電感的影響。線(xiàn)圈采用利茲(Litz)線(xiàn)，由單股直徑為0.1 mm的超細(xì)漆包線(xiàn)絞制得到，線(xiàn)圈采用單側(cè)式纏繞方式，繞制成平面方形結(jié)構(gòu)。線(xiàn)圈繞制參數(shù)如表1所示。

表1 線(xiàn)圈繞制參數(shù)

圖2 電感-電流關(guān)系曲線(xiàn)

雖然在磁耦合結(jié)構(gòu)中加入磁芯，會(huì)增強(qiáng)線(xiàn)圈所處環(huán)境的磁場(chǎng)強(qiáng)度，但是磁芯材料磁化曲線(xiàn)并不是線(xiàn)性，導(dǎo)致磁導(dǎo)率不是定值，在計(jì)算電感時(shí)存在很多問(wèn)題。即使平板磁芯的結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單，其計(jì)算公式也很復(fù)雜。為了得到具體的電感公式，采用Ansoft有限元電磁仿真軟件對(duì)平板磁芯線(xiàn)圈進(jìn)行仿真，使用麥克斯韋(Maxwell)三維線(xiàn)圈參數(shù)構(gòu)建模型，仿真得到模型在表1參數(shù)下的電感-電流關(guān)系曲線(xiàn)，如圖2所示。

由圖2可以看出：線(xiàn)圈中加入平板磁芯之后，電感隨著電流的增大而逐漸變小。電感-電流的關(guān)系可以分為3個(gè)階段：i≤30 A時(shí)，電感可視為定值；30 A

利用分段函數(shù)法[17]建立非線(xiàn)性電感的數(shù)學(xué)模型，可得到線(xiàn)圈電感與通過(guò)線(xiàn)圈電流的關(guān)系，如式(2)所示。

(2)

其中：i為線(xiàn)圈瞬時(shí)電流，A；L(i)表示線(xiàn)圈電流為i時(shí)的瞬時(shí)電感，μH；L0為線(xiàn)圈初始電感，μH；Ls0為電流足夠大時(shí)線(xiàn)圈飽和電感，μH；I0為電感剛發(fā)生變化時(shí)的電流，A；Is為電感剛好達(dá)到飽和時(shí)的電流，A。

根據(jù)仿真模型，可得數(shù)學(xué)模型中的I0=30 A，Is=120 A，L0=49.5 μH，Ls0=28.5 μH。

圖3 數(shù)學(xué)模型與仿真模型結(jié)果對(duì)比

為了分析數(shù)學(xué)模型與仿真模型的差距，利用MATLAB軟件對(duì)兩個(gè)模型進(jìn)行比較，結(jié)果如圖3所示。目前電動(dòng)汽車(chē)WPT系統(tǒng)中，線(xiàn)圈電流最大不超過(guò)80 A[18]，根據(jù)圖3可知：當(dāng)i≤80 A時(shí)，數(shù)學(xué)模型與仿真模型基本一致。因此，可以用數(shù)學(xué)模型代替仿真的電感電流變化關(guān)系。

將式(2)代入到簡(jiǎn)化WPT系統(tǒng)的狀態(tài)方程(1)中，得到含有平板磁芯的WPT系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

2 基于平板磁芯的WPT系統(tǒng)傳輸性能分析

含有平板磁芯的WPT系統(tǒng)是復(fù)雜的非自治系統(tǒng)，其解析解難以直接求得，故系統(tǒng)的穩(wěn)定性等性能分析相當(dāng)復(fù)雜?？衫肕ATLAB軟件數(shù)值法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析[19]，得到發(fā)射端和接收端在不同輸入電壓下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)圖，進(jìn)一步研究加入磁芯之后整個(gè)系統(tǒng)的非線(xiàn)性特性。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有的WPT系統(tǒng)設(shè)備，可以得到WPT系統(tǒng)的仿真參數(shù)，如表2所示。

表2 仿真參數(shù)

輸入不同電壓時(shí)，發(fā)射線(xiàn)圈電流is的時(shí)間響應(yīng)曲線(xiàn)如圖4所示。不斷改變輸入電壓US，發(fā)射線(xiàn)圈的電流波形隨著輸入電壓幅值的增大逐漸變化。當(dāng)輸入電壓幅值較小(300 V)時(shí)，整個(gè)電路正常振蕩，如圖4a所示；當(dāng)輸入電壓幅值增加至850 V時(shí)，電路處于不正常振蕩，出現(xiàn)諧波, 如圖4b所示。

(a) US=300 V

(b) US= 850 V圖4 輸入不同電壓時(shí)，發(fā)射線(xiàn)圈電流的時(shí)間響應(yīng)曲線(xiàn)

經(jīng)過(guò)上述仿真可以發(fā)現(xiàn)：在系統(tǒng)中加入磁芯之后，由于非線(xiàn)性電感的存在，基波電流發(fā)生畸變，產(chǎn)生諧波[20]。線(xiàn)圈的電感是影響諧振頻率的關(guān)鍵因素，電感的變化會(huì)引起系統(tǒng)的自諧振頻率偏離系統(tǒng)的工作頻率，從而使線(xiàn)圈出現(xiàn)諧波，造成傳輸效率下降。

諧波的存在對(duì)整個(gè)系統(tǒng)會(huì)造成極大的干擾，表明能量發(fā)生了泄露，影響系統(tǒng)的工作效率。其次，諧波會(huì)使電路中的元件產(chǎn)生諧波損耗，降低系統(tǒng)的效率，引起電器元件過(guò)熱，由于線(xiàn)圈的趨膚效應(yīng)，會(huì)增大線(xiàn)圈的有效電阻，增加系統(tǒng)的功率損耗。諧波的存在，影響電器元件的正常工作，使電器元件發(fā)生過(guò)熱，會(huì)加速電路元件的老化。

為了更方便地看出系統(tǒng)是否出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，采用上述同樣的參數(shù)，仿真得到發(fā)射線(xiàn)圈在不同輸入電壓幅值下的混沌吸引子相圖，如圖5所示。

當(dāng)輸入電壓幅值為300 V時(shí)，輸入線(xiàn)圈側(cè)電壓電流關(guān)系如圖5a所示，系統(tǒng)軌道為圓周期1軌道；當(dāng)輸入電壓幅值逐漸增加到850 V時(shí)，輸入線(xiàn)圈側(cè)電壓電流關(guān)系如圖5b所示，系統(tǒng)的軌道變大，周期軌道超過(guò)20個(gè)，出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

(a) Us=300 V

(b) Us=850 V

圖5 不同輸入電壓幅值下輸入線(xiàn)圈側(cè)電壓電流關(guān)系

3 基于平板磁芯的WPT系統(tǒng)的控制

3.1 自適應(yīng)控制理論

根據(jù)上述分析，在輸入電壓幅值達(dá)到850 V時(shí)，無(wú)線(xiàn)電能傳輸系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象。傳統(tǒng)的控制方法與系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型緊密相關(guān)，控制目的是穩(wěn)定混沌吸引子的不穩(wěn)定軌道。但是，許多情況下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置是未可知的，在這種情況下，需要自適應(yīng)定位系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置。本文基于具有可變反饋增益的閉環(huán)控制器，利用LaSalle不變性原理，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)反饋控制器[21-22]，達(dá)到了控制系統(tǒng)穩(wěn)定的效果。

從穩(wěn)定性分析的角度來(lái)介紹自適應(yīng)控制的基本方法?？紤]非線(xiàn)性系統(tǒng)：

(3)

|fi(x)-fi(y)|≤kmax|xj-yj|;

?x,y∈Rn,i=1,2,…,n,j=1,2,…,n。

(4)

在系統(tǒng)(3)的狀態(tài)方程的等式右邊添加控制律uj，則系統(tǒng)方程為：

(5)

自適應(yīng)控制律uj的設(shè)計(jì)需要保證輸出無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。在無(wú)法知道系統(tǒng)穩(wěn)定點(diǎn)位置時(shí)，可以構(gòu)建一個(gè)無(wú)反饋擾動(dòng)，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)預(yù)測(cè)與穩(wěn)定固定點(diǎn)，這個(gè)功能設(shè)計(jì)方式如下：

(6)

對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)設(shè)計(jì)的自適應(yīng)反饋控制器如下：

(7)

3.2 基于平板磁芯的WPT系統(tǒng)自適應(yīng)控制

利用自適應(yīng)反饋控制方法對(duì)具有平板磁芯線(xiàn)圈的系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行控制。為了方便測(cè)量控制狀態(tài)變量，本文選取x=(UC1UC2isir)T為狀態(tài)變量，發(fā)射端線(xiàn)圈電流is為輸出量y，占空比d為控制變量，加入控制項(xiàng)uj之后，受控表達(dá)式為：

(8)

圖6 自適應(yīng)控制系統(tǒng)框圖

根據(jù)狀態(tài)方程，得到施加控制后系統(tǒng)的框圖，如圖6所示。圖6中，LPT表示低通濾波器，由控制器uj通過(guò)實(shí)際信號(hào)的輸出量與LPT濾波的差值得到，同時(shí)與可變控制強(qiáng)度εj有關(guān)。

根據(jù)上述加入控制項(xiàng)的系統(tǒng)模型，利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值仿真分析，此時(shí)同樣采用表2的仿真參數(shù)。

當(dāng)輸入電壓幅值設(shè)置為850 V時(shí)，設(shè)置控制器的初始值為λ1=0，λ2=0，γ1=0，γ2=0。由原始系統(tǒng)狀態(tài)方程可知此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。采用同樣的仿真參數(shù)，改變控制器的參數(shù)為λ1=1，γ1=2，λ2=0.05，γ2=0.05，設(shè)置仿真步長(zhǎng)為0.000 01 s，發(fā)射端電流穩(wěn)定后的狀態(tài)如圖7所示。

根據(jù)圖7可以看出：當(dāng)US=850 V時(shí)，施加控制，發(fā)射端電流達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電流波形為正弦波形，無(wú)分岔現(xiàn)象，峰值與圖4b中最大值相同，控制效果顯著。

為了更方便地看出系統(tǒng)是否出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，采用同樣的系統(tǒng)參數(shù)與控制參數(shù)，仿真可得到US=850 V時(shí)輸入線(xiàn)圈側(cè)電壓電流關(guān)系，見(jiàn)圖8。

對(duì)比圖5b與圖8控制前后輸入線(xiàn)圈側(cè)電壓電流相圖可知：輸入電壓US=850 V時(shí)，在添加控制器之前，系統(tǒng)的輸出量表現(xiàn)為無(wú)規(guī)則振蕩，出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。而在添加自適應(yīng)反饋控制器后，系統(tǒng)的輸出量快速收斂至周期振蕩狀態(tài)，系統(tǒng)的混沌與波動(dòng)最終穩(wěn)定，系統(tǒng)的周期軌道從超過(guò)20個(gè)控制到1個(gè)，系統(tǒng)恢復(fù)到正常運(yùn)行狀態(tài)，說(shuō)明設(shè)計(jì)的控制器具有良好的混沌振蕩抑制效果?？刂魄昂笙到y(tǒng)的狀態(tài)對(duì)比，如表3所示。

圖7 US=850 V時(shí)施加控制，發(fā)射端電流穩(wěn)定狀態(tài)

圖8 當(dāng)US=850 V時(shí)施加控制，輸入線(xiàn)圈側(cè)電壓電流關(guān)系

表3 施加控制器前后系統(tǒng)對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種針對(duì)平板磁芯線(xiàn)圈的電動(dòng)汽車(chē)無(wú)線(xiàn)充電系統(tǒng)的控制策略，解決非線(xiàn)性電感導(dǎo)致的WPT系統(tǒng)非線(xiàn)性問(wèn)題。利用有限元分析方法，建立了含有平板磁芯線(xiàn)圈的非線(xiàn)性電感模型，進(jìn)一步利用數(shù)值分析方法分析了系統(tǒng)的非線(xiàn)性特性，給出了系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的條件。針對(duì)系統(tǒng)出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)反饋控制器。仿真驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器對(duì)加入平板磁芯的WPT系統(tǒng)具有良好的控制效果。