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    (2+1)維Sawada-Kotera方程的complexiton解

    2020-06-09 07:41:22張永麗孫艷芳張輝群
    關(guān)鍵詞:實(shí)值波解線性

    張永麗, 孫艷芳, 張輝群

    (青島大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 山東 青島 266071)

    0 引言

    由于非線性偏微分方程的精確解,有助于研究者更好地理解方程所描述的物理現(xiàn)象,因此,這方面一直是非線性領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。隨著研究的深入,研究人員已經(jīng)建立和發(fā)展了很多有效的方法[1-7]。應(yīng)用這些方法,可以得到各種形式的精確解,例如孤立波解、周期波解、lump解和complexiton解等,用于解釋原方程所表示的具有不同動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)的物理現(xiàn)象。

    Complexiton解是由指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)組合的一類特殊的精確解。文獻(xiàn)[8]應(yīng)用Wronskian技術(shù),首次得到了Korteweg-de Vries(KdV)方程的complexiton解。文獻(xiàn)[9]利用擴(kuò)展變換有理函數(shù)法得到了幾個(gè)非線性微分方程的complexiton解。文獻(xiàn)[10]應(yīng)用簡(jiǎn)化的Hirota雙線性方法給出了兩個(gè)非線性偏微分方程的complexiton解。文獻(xiàn)[11]應(yīng)用線性疊加原則給出了(3+1)維Boiti-Leon-Manna-Pempinelli(BLMP)方程的complexiton解。值得注意的是,對(duì)于(1+1)維可積系統(tǒng),如KdV系統(tǒng),大多數(shù)已知的complexiton解都是奇異的。一般地,在物理應(yīng)用方面更需要的是尋找非奇異解[12-14],因此,正complexiton解的研究具有物理應(yīng)用價(jià)值。目前,正complexiton解的求解方法是線性疊加原則和Hirota雙線性[15-16]。本文利用線性疊加原則和Hirota雙線性來(lái)研究(2+1)維Sawada-Kotera (SK)方程,獲得了方程的共振多波解、complexiton解和正complexiton解,并且利用圖像展示出解的一些動(dòng)力學(xué)特征。此外,本文給出的解不僅包含文獻(xiàn)[17]中得到的complexiton解,而且更加豐富。

    1 (2+1)維SK方程的共振多波解

    本文考慮(2+1)維SK方程:

    (1)

    (2+1)維SK方程(1)是一種B型KP模型[18],因與B型群有關(guān),也被稱為BKP方程,被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)的許多分支中,例如共形場(chǎng)理論和二維量子重力規(guī)范場(chǎng)。當(dāng)u(x,y,t)=u(x,t)時(shí),(2+1)維SK方程(1)被約化為(1+1)維SK方程[19-20]:

    (2+1)維SK方程(1)已被眾多學(xué)者研究。例如,文獻(xiàn)[21]利用Painlevé截?cái)嗾归_(kāi)法和Hirota雙線性方法,展示了方程(1)的多孤子解;文獻(xiàn)[22]研究了方程(1)的B?cklund變換和Lax對(duì);文獻(xiàn)[23]結(jié)合Hirota雙線性形式和一個(gè)一般的黎曼θ函數(shù)理論,設(shè)計(jì)了構(gòu)造方程(1)的雙周期波解的直接方法;文獻(xiàn)[24-25]利用正二次函數(shù)法,得到了方程(1)的lump解。

    根據(jù)Hirota雙線性方法,在變換u=6(lnf)xx下,(2+1)維SK方程(1)具有Hirota雙線性形式如下:

    (2)

    其中:Dx、Dy和Dt是Hirota雙線性算子[18]。

    (3)

    其中:n、m和r為任意非負(fù)整數(shù)。P是所示變量的多項(xiàng)式,滿足:

    P(0,…,0)=0。

    (4)

    對(duì)于固定的正整數(shù)N,考慮N波變量和指數(shù)波函數(shù):

    (5)

    進(jìn)而得到指數(shù)波函數(shù)的線性疊加形式為:

    (6)

    在f的雙線性恒等式條件下得到:

    (7)

    其中:1≤i,j≤N。顯而易見(jiàn),在式(6)中,指數(shù)波函數(shù)的線性疊加f是雙線性SK方程(2)的解,當(dāng)且僅當(dāng)滿足如下條件:

    (8)

    (9)

    計(jì)算式(9)得到:

    b1=-1,b2=-9。

    (10)

    進(jìn)一步得到波變量

    (11)

    最后,通過(guò)線性疊加原則得到(2+1)維SK方程(1)的共振多波解[17,26]:

    u=6(lnf)xx

    (12)

    其中:

    (13)

    2 (2+1)維SK方程的complexiton解

    當(dāng)1≤i≤N1時(shí),有線性疊加解:

    (14)

    滿足(2+1)維雙線性SK方程(2)。

    ?i,1+i?i,2,

    (15)

    其中,?i的共軛形式為

    (16)

    (17)

    再次利用線性疊加原則,得到(2+1)維SK方程(1)的復(fù)值的complexiton解:

    u=6(lnf)xx,

    (18)

    其中:

    (19)

    為了得到(2+1)維SK方程(1)的實(shí)值的complexiton解,取

    (20)

    將式(20)代入式(18)和式(19),得到(2+1)維SK方程(1)的實(shí)值的complexiton解:

    u=6(lnf)xx,

    (21)

    其中:

    (22)

    μi,νi,1,νi,2∈R,?i,1和?i,2被式(15)所確定。

    3 (2+1)維SK方程的正complexiton解

    一般地,上述得到的complexiton解(21)具有奇異性。例如,當(dāng)N1=1,N=2,?>1=0,?>2,1=0,?>2,2=2πk,其中,k1=γ2=0,δ2=2πk,k∈R,ν2,1=-1,u1、ν2,2是任意的實(shí)數(shù),在(x,y,t)=(1,0,0)處,complexiton解(21)具有奇異性。

    當(dāng)1≤i≤n時(shí),有:

    -?>i=(-ki)x-(-ki)3y-9(-ki)5t, 1≤i≤n。

    (23)

    顯然,e?i和e-?i都是雙線性SK方程(2)的解。運(yùn)用線性疊加原則得到:

    (24)

    是雙線性SK方程(2)的實(shí)值解。

    當(dāng)n+1≤i≤n+m時(shí),得到:

    (25)

    如前所述,e?i和e-?i也都是雙線性SK方程(2)的復(fù)值解。同樣運(yùn)用線性疊加原則,

    (26)

    是雙線性SK方程(2)的實(shí)值解。

    最后,通過(guò)線性疊加原則得到了(2+1)維雙線性SK方程(2)的解:

    (27)

    在式(27)中,取參數(shù)n=m=1,k1=1,k2=1,μ1=4,μ2=2,得到(2+1)維SK方程的正complexiton解:

    (28)

    (a) t=0

    (b) t=1

    (c) t=2

    圖1 (2+1)維SK方程的正complexiton解(28)在不同時(shí)間的三維圖像

    (a) t=0

    (b) t=1

    (c) t=2

    圖2 (2+1)維SK方程的正complexiton解(28)在不同時(shí)間的密度圖像

    4 結(jié)束語(yǔ)

    利用雙線性形式的(2+1)維SK方程的多指數(shù)波解的疊加,得到了(2+1)維SK方程的正complexiton解,并且通過(guò)符號(hào)計(jì)算驗(yàn)證了所有結(jié)果的正確性。構(gòu)造正complexiton解的關(guān)鍵是采用共軛的復(fù)波變量對(duì)。利用雙線性形式方程具有多波解的疊加現(xiàn)象,得到了正complexiton解。經(jīng)過(guò)研究,這一方法也可應(yīng)用于(3+1)維potential-Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程等一類非線性偏微分方程。隨著廣義雙線性方程的提出,廣義雙線性方程的complexiton解將成為下一個(gè)研究目標(biāo)。

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