一題多解 優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)

太敬藝

【摘 要】高中數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系十分密切，一題多解要求學(xué)生對(duì)同一問題嘗試從多個(gè)不同的思考角度解答，能滿足學(xué)生多樣化學(xué)習(xí)的需要，提升其思維能力。筆者基于建構(gòu)主義理論和信息加工學(xué)習(xí)論，以一道數(shù)列題為例，根據(jù)高三學(xué)生已有的知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提出在教學(xué)中預(yù)留一題多解的空間，啟發(fā)學(xué)生打破定勢(shì)思維，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);一題多解;思維結(jié)構(gòu);數(shù)列

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2020）34-0158-02

解題課的功能是使學(xué)生在概念課、原理課的基礎(chǔ)上鞏固已學(xué)概念、原理、思想與方法，并熟練運(yùn)用它們解決問題[1]?？紤]到高三學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能掌握情況，教師應(yīng)將關(guān)注點(diǎn)放在提高學(xué)生理解、分析、解答問題的能力上。部分學(xué)生在面臨熟悉的數(shù)學(xué)情境或遇到與之前經(jīng)驗(yàn)類似的問題表征形式時(shí)，容易憑借“經(jīng)驗(yàn)與直覺”產(chǎn)生定勢(shì)思維，不利于發(fā)散性數(shù)學(xué)思維及其結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視學(xué)生的知識(shí)背景，做好學(xué)情分析，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行共同探索、交流、質(zhì)疑和評(píng)價(jià)，利用一題多解幫助學(xué)生避免“功能固著”現(xiàn)象，使學(xué)生在問題解決中完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，養(yǎng)成多角度、全方位思考問題的習(xí)慣。

1? ?一題多解

一題多解教學(xué)是指針對(duì)同一個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生從不同角度進(jìn)行解讀、探究、比較，并評(píng)價(jià)不同的解決方法。建構(gòu)主義理論指出學(xué)習(xí)者會(huì)以自己的原有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，對(duì)新信息進(jìn)行編碼，建構(gòu)自己的理解，原有知識(shí)又會(huì)因新經(jīng)驗(yàn)的進(jìn)入發(fā)生調(diào)整和改變，其中包含新舊經(jīng)驗(yàn)沖突所引發(fā)的觀念和結(jié)構(gòu)重組[2]。教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考問題，通過對(duì)題目的深入探究和評(píng)析幫助學(xué)生激活原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、技能經(jīng)驗(yàn)，并將其作為新知識(shí)、新技能、新方法的生長(zhǎng)點(diǎn)。

信息加工心理學(xué)家安德森將知識(shí)分為兩類，一類是陳述性知識(shí)，即關(guān)于事實(shí)、定義、定理、規(guī)則等方面的知識(shí);另一類是程序性知識(shí)，指如何完成具體任務(wù)的知識(shí)。在帶領(lǐng)學(xué)生探索解題方法的過程中，教師不能急于求成或包辦代替，而應(yīng)預(yù)留充足的時(shí)間帶領(lǐng)學(xué)生回顧已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)（陳述性知識(shí)），鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的解法（程序性知識(shí)）。學(xué)生只有在勇于探索、大膽試錯(cuò)、積極展示對(duì)問題的多種解讀中，才能自發(fā)地強(qiáng)化或修正本身的知識(shí)結(jié)構(gòu)和技能，完善現(xiàn)有思維結(jié)構(gòu)。

2? ?例題剖析

該例題是高三習(xí)題課中對(duì)學(xué)生來說有自主探究?jī)r(jià)值的一道數(shù)列問題。下面筆者從學(xué)生具體解答情況出發(fā)，說明一題多解是如何體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。

例題：已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，且a3=3，

a1，a2，a4成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1+2b2+3b3

+...+nbn=2an（ nN* ）。

（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;

（2）求證：。

解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a1=3-2d，a2=3-d，a3=3，a4=3+d，由（3-2d）（3+d）=（3-d）2解得d=1或d=0（舍去），所以an=n（ nN* ）。

因?yàn)閎1+2b2+3b3+...+nbn=2n（ nN* ），所以b1+2b2+

3b3+...+（n-1）bn-1=2（n-1）（n2，nN* ），兩式相減整理得。

驗(yàn)證：當(dāng)n=1時(shí)，成立，所以bn=

（ nN* ）。

本題第（1）問是常見題型，解法較為常規(guī)，易錯(cuò)點(diǎn)在于求數(shù)列{bn}時(shí)，許多學(xué)生對(duì)n的取值范圍考慮得不夠嚴(yán)謹(jǐn)，忽略了對(duì)n=1的驗(yàn)證。第（2）問的待證不等式的構(gòu)造巧妙，具有很高的探究?jī)r(jià)值，教師在講解中需循序漸進(jìn)并適時(shí)引導(dǎo)、點(diǎn)撥學(xué)生。課堂上，學(xué)生積極探索，產(chǎn)生了以下三種解法。

2.1? 數(shù)學(xué)歸納法

因?yàn)?..

（ nN* ）

（1）當(dāng)n=1時(shí)，成立。

（2）當(dāng)n=k時(shí)，成立。

下面證明n=k+1時(shí)，不等式仍然成立。

因?yàn)椋?/p>

要證明n=k+1時(shí)不等式仍然成立，只需證明

，

化簡(jiǎn)后得（*）

即證，當(dāng)時(shí)，此不等式顯然成立。

由（1）（2）可知，原不等式對(duì)一切正整數(shù)n成立，

證畢。

數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中的一種重要的演繹推理法，通常用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立，反映由特殊推導(dǎo)出一般的思維過程。筆者觀察到部分學(xué)生在進(jìn)行到步驟（*）時(shí)卡殼，沒有清晰的化簡(jiǎn)方向，只完成了對(duì)數(shù)學(xué)歸納法基本步驟的簡(jiǎn)單模仿。此處的關(guān)鍵點(diǎn)在于啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，然后順利進(jìn)行因式分解。從信息加工理論的角度來看，如果學(xué)生不能將新學(xué)的知識(shí)與原有數(shù)學(xué)概念或規(guī)律聯(lián)結(jié)，則在單一情境中獲得的知識(shí)是單薄、孤立的，不能對(duì)輸入的信息進(jìn)行有效加工，進(jìn)而產(chǎn)生思維障礙，導(dǎo)致解題受阻。

2.2? 基本不等式

將待證不等式移項(xiàng)得

由多元基本不等式

得

當(dāng)且僅當(dāng)n=0時(shí)，等號(hào)成立，故

對(duì)一切正整數(shù)n成立。

部分學(xué)生觀察到了左邊不等式前后兩項(xiàng)分子分母的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并由此聯(lián)想到了多元基本不等式：對(duì)于m個(gè)正數(shù)t1，t2，...，tm，其算術(shù)平均值不小于其幾何平均值，然后類比數(shù)列中的“累乘法”，利用基本不等式將冗長(zhǎng)的不等式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化。

2.3? 構(gòu)造函數(shù)不等關(guān)系

從函數(shù)角度引導(dǎo)學(xué)生后，學(xué)生聯(lián)想到了常見函數(shù)不等關(guān)系：由x > lnx+1（x≠1）得。

為證明原不等式，需證明，即證，由x > lnx+1知其成立，故原不等式得證。

數(shù)列的本質(zhì)是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，所以學(xué)生可巧妙利用函數(shù)的不等關(guān)系、對(duì)數(shù)式運(yùn)算法則對(duì)不等式結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，而這正能體現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)列的本質(zhì)屬性的深刻理解.

問題解決是一種重要的思維活動(dòng)，是學(xué)習(xí)者運(yùn)用知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)解決問題的過程[3]。數(shù)學(xué)解題靈活性的關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，如本例中數(shù)列、函數(shù)、不等式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中，陳述性知識(shí)是網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，程序性知識(shí)則是聯(lián)系節(jié)點(diǎn)的“通道”。學(xué)生通過重復(fù)記憶和大量練習(xí)可以暫時(shí)掌握陳述性知識(shí)，但因缺乏對(duì)概念來源和技巧應(yīng)用的本質(zhì)理解，當(dāng)問題表征發(fā)生變化時(shí)，難以成功建立相關(guān)陳述性知識(shí)的聯(lián)結(jié)，對(duì)程序性知識(shí)的掌握不夠牢靠，從而導(dǎo)致出現(xiàn)聽課易、解題難的

現(xiàn)象。

日常教學(xué)中，教師應(yīng)保持課堂良好的學(xué)習(xí)交流氛圍，信任學(xué)生的獨(dú)立探究能力，培養(yǎng)其創(chuàng)新精神，避免學(xué)生將數(shù)學(xué)問題的解決等同于基本概念、公式、定理的生搬硬套。此外，課堂教學(xué)中，教師應(yīng)促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)輸出，逐步克服思維惰性，并在學(xué)生給出好的問題切入角度時(shí)給予及時(shí)評(píng)價(jià)和認(rèn)可，調(diào)動(dòng)其主觀能動(dòng)性，使學(xué)生自發(fā)地將單一知識(shí)點(diǎn)之間的“通道”打通，使整個(gè)數(shù)學(xué)思維網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)更高效、穩(wěn)固。

【參考文獻(xiàn)】

[1]朱清波，曹廣福.例談探究式解題課教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020（2）.

[2]劉曉明，王麗榮.學(xué)習(xí)理論的新發(fā)展及對(duì)現(xiàn)代教學(xué)的啟示[J].外國(guó)教育研究，2000（2）.

[3]吳增強(qiáng).論有效教學(xué)的心理學(xué)支持[J].教育發(fā)展研究，2011（4）.