關(guān)于流體力學(xué)黏滯及伯努利方程演示實(shí)驗(yàn)

路峻嶺 顧 晨 秦聯(lián)華 任乃敬 馬泊一

(清華大學(xué)物理系,北京 100084)

1 關(guān)于流體力學(xué)的相關(guān)知識(shí)[1，2]

1.1 問題的提出——伯努利方程的適用條件以及達(dá)朗貝爾佯謬

我們知道，物理學(xué)是研究自然界物質(zhì)的基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律的。為了突出主要矛盾，人們往往設(shè)定一些理想物理模型，如質(zhì)點(diǎn)，剛體，理想氣體等等。在這里涉及的理想物理模型是理想流體。理想流體的主要特征指的是不可壓縮和沒有粘滯性，所謂不可壓縮指的是流體中任意一定體積的流體團(tuán)無論其壓強(qiáng)、位置、形狀如何變化總是保持體積不變；所謂沒有粘滯性指的是流體中一部分流體相對(duì)于相鄰流體流動(dòng)時(shí)它們之間沒有相互作用力(或：固體球或棒在理想流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)不受阻力)。

在設(shè)定流體為理想流體，且在作定常流動(dòng)時(shí)，即流體中任一點(diǎn)的流速不隨時(shí)間變化時(shí)，按照歐拉法，可用速度場表示流體，其中的場線就是流線，流線上任一點(diǎn)的切線就表示該點(diǎn)的流速。由流線圍成的閉合細(xì)管稱為流管。由于設(shè)定流體為理想流體，沒有粘滯性，流動(dòng)過程中沒有能量損耗，機(jī)械能守恒。再由質(zhì)點(diǎn)系的功能原理，把流管中的一段流體體元作為質(zhì)點(diǎn)系，當(dāng)它在流管中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外力功等于體元的機(jī)械能的變化。由此得到伯努利方程

(1)

其中，ρ為流體的密度；v為流體元的速度；g為重力加速度；h為流體元的高度；p為流體在流體元處的壓強(qiáng)；C為常量，它表示流體元中單位體積的機(jī)械能。

實(shí)驗(yàn)表明，幾乎一切流體都具有黏滯性。在物理學(xué)史上，先輩們對(duì)流體物理圖像的理解曾經(jīng)經(jīng)歷過曲折的過程。在20世紀(jì)之前，人們研究流體力學(xué)的興趣和精力都集中在無黏滯假設(shè)下一個(gè)又一個(gè)優(yōu)美的數(shù)學(xué)解上。馮·諾埃曼(John von Neumann)意識(shí)到這些研究中的問題，他認(rèn)為這些研究丟掉了流體的一個(gè)基本性質(zhì)——黏滯，故它們是與實(shí)際流體不相干的。1869年，開爾文(Thomson.W.Kelvin)給出了一條定理，即在均質(zhì)理想流體內(nèi)，沿任一閉合曲線，流體速度的環(huán)量不隨時(shí)間變化，換言之，理想流體中的速度環(huán)量守恒。1906年，茹科夫斯基(N.E.Zhukoskii)在研究飛機(jī)機(jī)翼升力時(shí)得到升力公式，公式表明，機(jī)翼升力與流體密度、飛機(jī)速度和流體繞機(jī)翼的速度環(huán)量成正比。這就引出了一個(gè)矛盾，即按照開爾文定理，理想流體中的速度環(huán)量守恒，如果原來沒有環(huán)量，環(huán)量就產(chǎn)生不出來，則理想流體對(duì)在其中作勻速運(yùn)動(dòng)的固體物體不會(huì)施加任何力，既沒有阻力也沒有橫向升力。也就是說，如果把空氣看作理想氣體，則飛機(jī)就飛不起來了。這個(gè)結(jié)論與實(shí)驗(yàn)事實(shí)嚴(yán)重不符，稱為達(dá)朗貝爾佯謬(d’Alembert paradox)。它提醒我們，早年馮·諾埃曼的告誡是有道理的。1880年前后，雷諾(O.Reynolds)做了大量實(shí)驗(yàn)，研究流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。他發(fā)現(xiàn)，影響流體運(yùn)動(dòng)的不僅僅有黏滯系數(shù)η，而且更重要的是被后世(索末菲起始)稱為雷諾數(shù)的無量綱組合參量Re。

(2)

其中，ρ為流體密度，v為流體與運(yùn)動(dòng)物體的相對(duì)速度，d為圓管直徑(或運(yùn)動(dòng)物體的線度)，η為流體的黏滯系數(shù)。當(dāng)雷諾數(shù)Re很小時(shí)，流體的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為層流和穩(wěn)流，隨雷諾數(shù)Re的由小變大，流體的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為由層流漸漸變?yōu)橥牧?。如果我們把注意力集中到運(yùn)動(dòng)流體中的某一體元上，它的運(yùn)動(dòng)決定于周圍流體對(duì)它的作用，同時(shí)它也有力的作用施加于周圍的流體上。在考慮到黏滯時(shí)，運(yùn)動(dòng)中的流體元與其相鄰流體有切向相互作用。每一個(gè)流體元都是在這些相互作用下運(yùn)動(dòng)著。如果這些相互作用未能改變流體宏觀速度場的形態(tài)，則流體流動(dòng)表現(xiàn)為層流；如果這些相互作用改變了流體宏觀速度場的形態(tài)，流速場出現(xiàn)了許多局域突變，則流體流動(dòng)表示為出現(xiàn)了湍流。

實(shí)際上，研究對(duì)象某一個(gè)參量的連續(xù)變化，引起其運(yùn)動(dòng)方式出現(xiàn)突變的例子比比皆是。例如我校六教展廳中的小孔泄漏實(shí)驗(yàn)、水中落沙實(shí)驗(yàn)和圓柱狀剛體平面平行運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)都是其典型實(shí)例。

小孔泄漏實(shí)驗(yàn)中，在一個(gè)玻璃杯的中部設(shè)置一個(gè)中間有一小圓孔的水平隔板，杯的上下部分別注入相互可以完全溶混的溶液(例如上部注入濃鹽水或濃糖水下部注入純凈水)，在物理勢(shì)和化學(xué)勢(shì)的共同作用下，兩種液體將通過小孔進(jìn)行溶混。如果小孔的直徑足夠小，則小孔只允許某一種液體以層流的方式通過，溶混過程表現(xiàn)為兩種液體輪流通過的振蕩過程；如果小孔的直徑很大，則小孔可讓兩種液體以湍流的方式迅速溶混，沒有振蕩過程出現(xiàn)。如果令小孔直徑由小到大連續(xù)變化，則溶混過程表現(xiàn)為由層流振蕩變?yōu)橥牧魅芑斓陌腚S機(jī)過程。

水中落沙實(shí)驗(yàn)中，先在一段玻璃管中放入一把細(xì)沙，再注滿純水，并密封之。實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)者手持此玻璃管豎直放置，水中細(xì)沙在重力的作用下慢慢地沉到底部。然后，實(shí)驗(yàn)者突然轉(zhuǎn)動(dòng)玻璃管到一定角度并停止住，觀察玻璃管中細(xì)沙的下落過程。若實(shí)驗(yàn)者轉(zhuǎn)動(dòng)180度即停止住，則細(xì)沙將從玻璃管的頂端(上端)慢慢下落，每一個(gè)沙粒都獨(dú)立地在水中下落；若實(shí)驗(yàn)者轉(zhuǎn)動(dòng)135度后即停止住，則細(xì)沙將從傾斜著的玻璃管的上端迅速下落，眾細(xì)沙將團(tuán)結(jié)為一個(gè)整體滾動(dòng)下落，且后者的下落比前者快得多。如果實(shí)驗(yàn)者連續(xù)改變轉(zhuǎn)動(dòng)停止住的角度，則水中細(xì)沙下落過程將從顆顆細(xì)沙單獨(dú)下落方式逐漸變?yōu)槁?lián)合為一體滾動(dòng)下落方式。

圖1 單參量連續(xù)變化引起運(yùn)動(dòng)方式突變實(shí)例

圓柱狀剛體平面平行運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)中，用細(xì)絲線繞在線軸狀剛體的細(xì)軸上，單調(diào)改變拉線傾角會(huì)引起剛體的不同形式的運(yùn)動(dòng)。三個(gè)實(shí)驗(yàn)都是改變一個(gè)因素而使物理過程發(fā)生突變的實(shí)例。

現(xiàn)在看來，把黏滯系數(shù)為零作為理想流體的基本條件是有很大局限性的，即理想流體作為物理學(xué)研究對(duì)象的適用范圍是很小的?，F(xiàn)在的問題是，如果考慮了流體的粘滯性，如何演示流體的粘滯性和流體力學(xué)中的伯努利方程呢？

1.2 具有黏滯性的流體的運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)粘滯性流體在圓形管道內(nèi)作定常流動(dòng)(層流或穩(wěn)流)，設(shè)想在流體中隔離出一個(gè)圓筒狀薄流體層，如圖2所示，其幾何尺寸亦見圖2所示。

圖2 柱坐標(biāo)中圓筒狀流體薄層的受力分析

按照牛頓(內(nèi)摩擦)黏滯定律，其內(nèi)外側(cè)面(圓柱側(cè)面)受到的粘滯力(水的黏滯系數(shù)與溫度有關(guān)，0℃時(shí)為1.79×10-3Pa·s,20℃時(shí)為1.01×10-3Pa·s,50℃時(shí)為0.55×10-3Pa·s,100℃時(shí)為0.28×10-3Pa·s)(z方向)為

(3)

圓筒狀薄流層受到的粘滯力合力(沿流線方向z方向)

在定常流動(dòng)情況下，此力與圓筒狀薄流層上下游的壓強(qiáng)差提供的力(z方向)相平衡，

(4)

(5)

體積流量

(6)

平均流速

(7)

在流體內(nèi)部，半徑為r=αR(0≤α≤1)的小圓形流管中的平均速度

(8)

當(dāng)α→0時(shí)，

(9)

當(dāng)α→1時(shí)

(10)

從內(nèi)摩擦引起機(jī)械能損耗出發(fā)，由(3)式可知，即使是水平管道，要保持在一定長度的管道上有一定的流速也一定要有壓強(qiáng)差，這是與理想流體完全不同的。李復(fù)老師根據(jù)功能原理，研究黏滯流體穩(wěn)流(層流)情況下的伯努利方程，得出考慮了內(nèi)摩擦的伯努利方程為

(11)

式中w12(>0)為流體元從位置1沿流線流動(dòng)到位置2時(shí)，單位體積的流體克服黏滯阻力所做的元功。若通過水平細(xì)直玻璃管道演示黏滯現(xiàn)象，則位置1和位置2對(duì)應(yīng)的流速、高度均相同，則由(11)式可得

p1=p2+w12→p1-p2=w12>0

(12)

即可知：沿著流動(dòng)方向(水平方向)流體的壓強(qiáng)是逐漸降低的，即可通過粘滯性流體沿水平方向流動(dòng)時(shí)，壓強(qiáng)的逐漸降低來演示黏滯現(xiàn)象。

2 用水作為黏滯流體來演示黏滯現(xiàn)象

2.1 黏滯現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)裝置介紹

把水作為黏滯流體來演示黏滯現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)裝置的示意圖如圖3所示。一個(gè)大圓筒形容器，橫截面積為S0，底部連接一個(gè)水平圓形細(xì)管，長度為L，橫截面積為S1，且S0?S1。在水平圓形細(xì)管上等間距地均布4根豎直(垂直于水平面)的細(xì)管，作為壓強(qiáng)指示器。

圖3 用水作為黏滯流體來演示黏滯現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)時(shí)，先堵住水平細(xì)管的出口，往大圓筒形容器中注入清水，然后令水平細(xì)管的開口開啟，讓水自行流出，觀察各個(gè)豎直細(xì)管(壓強(qiáng)指示管)中水柱高度的分布。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，水沿水平細(xì)管往下游流動(dòng)時(shí)各個(gè)豎直細(xì)管中(壓強(qiáng)指示管)的水柱高度依次降低，各水柱的上端都在同一條直線上。由于大圓筒形容器橫截面積比水平橫細(xì)管的大得多，大圓筒形容器中的水面高度下降得很慢，所以可以很容易地看到相對(duì)穩(wěn)定的實(shí)驗(yàn)圖像。

2.2 黏滯現(xiàn)象演示實(shí)驗(yàn)的定量分析[2]

(13)

在水平細(xì)管中應(yīng)用泊肅葉流量公式(6)和平均流速公式(7)，則得

(14)

再，由于流體不可壓縮，水平細(xì)管流出的流體(體積)等于大圓筒形容器流體的減少，則

(16)

(14)與(15)式等價(jià)，解(13)(14)聯(lián)立方程組(H0為設(shè)定值)，把(14)式代入(13)得

(17)

解此關(guān)于H1的一元二次方程組，可得其大于零的解(H1大于零才有意義)

(18)

將(18)式代入(14)式可得

(19)

2.3 大圓筒形容器中水面高度H0隨時(shí)間t的變化

把(16)代入(19)式，可得關(guān)于水面高度H0的微分方程

(20)

設(shè)初始條件為

H0(0)=H00

(21)

為了求解此微分方程，令

則微分方程(20)式化為

兩邊積分，可得

(22)

其中，C為積分常數(shù)，由初始條件確定。 為了使結(jié)果易讀且明顯，可記H0=x，當(dāng)t=0時(shí)，x(0)=H0(0)=H00，由此得

則把它代入(22)式得最后結(jié)果

(23)

這就是流體黏滯實(shí)驗(yàn)中，流水時(shí)間t隨大圓筒形容器中水面高度H0的變化關(guān)系式。

3 用水作為黏滯流體來演示伯努利方程實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)思路

在大學(xué)物理教學(xué)中，為了演示伯努利方程，常常選用一根直玻璃圓管作流管(見圖4)，水平放置以消除高度的影響，在玻璃圓管的不同位置設(shè)置若干個(gè)膨大區(qū)(制作時(shí)設(shè)置若干氣泡區(qū))，以使其內(nèi)徑不同。流體在其中流動(dòng)時(shí)，內(nèi)徑小的流管處的橫截面積小，內(nèi)徑大的流管處的橫截面積大。在層流前提下，沿流線的各個(gè)橫截面上的流量相同，內(nèi)徑小的地方流速快，內(nèi)徑大的地方流速慢。按照伯努利方程，內(nèi)徑小的地方流速快則壓強(qiáng)應(yīng)該小，內(nèi)徑大的地方流速慢則壓強(qiáng)應(yīng)該大。若能夠演示出這些壓強(qiáng)的變化，即表示演示出了伯努利方程。

圖4 用水作為黏滯流體來演示伯努利方程的實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)際實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象亦如圖4所示。但伯努利方程是建立在理想流體的基礎(chǔ)上的，而通常人們所見到的流體都是黏滯流體，考慮黏滯后如何演示伯努利方程？或者說，考慮黏滯后又如何利用伯努利方程的概念來解釋圖4所示的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象呢？

3.2 粘滯流體在水平圓形管道中流動(dòng)時(shí)其橫截面上的壓強(qiáng)分布

本實(shí)驗(yàn)的標(biāo)示參量是流管中一點(diǎn)的壓強(qiáng)，如圖6所示，在水平直玻璃圓管的正上方側(cè)面上設(shè)置豎直側(cè)枝管，以側(cè)枝管中水柱的高度表示流管中流體的壓強(qiáng)。現(xiàn)在的問題是：每一根側(cè)枝管中水柱的高度表示流管中哪一點(diǎn)的壓強(qiáng)？在粗細(xì)流管側(cè)面設(shè)置的兩個(gè)不同側(cè)枝管中水柱的高度所表示的壓強(qiáng)有沒有可比性？

以圓形流管的水平中心線(向右為正)為z軸，以豎直線(向上為正)為y軸建立直角坐標(biāo)系，同時(shí)以流管的水平中心線(向右為正)為z軸，建立柱坐標(biāo)系。

設(shè)在某時(shí)刻，在流體中分割出一個(gè)立方體形微元，考慮到它的各個(gè)面上受到的正壓力、黏滯力以及微元所受的體積力(與體積有關(guān)的力)，列出牛頓第二定律方程?？紤]到均質(zhì)、不可壓縮，得到如下納維-斯托克斯方程[2-4]

(24)

式中，ρ為流體的密度；為流體元的速度；η為流體的黏滯系數(shù)；p為流體元處的壓強(qiáng)；f為單位體積的流體所受到的體積力(與體積有關(guān)的力)。具體到我們現(xiàn)在用水作為流體，其體積力就是重力，f的大小等于重力加速度，方向是豎直向下。式(24)實(shí)質(zhì)上是牛頓第二定律在流體力學(xué)中的具體形式。

當(dāng)水在水平流管中作穩(wěn)定流動(dòng)(即層流)時(shí)，若忽略了流管橫截面上各點(diǎn)的重力引起的壓強(qiáng)差(細(xì)流管近似)時(shí)，流管中的流速如下式所示[1]，

它只有沿流線方向z的分量，且不隨時(shí)間變化。因此，流體元的加速度為零，(24)式化為如下(25)式。

p=η2+ρf

(25)

具體到本實(shí)驗(yàn)，(25)式的右邊兩項(xiàng)分別只有z方向和-y方向的分量，故它的分量形式為

圖5 以玻璃圓管中心線為中心線的細(xì)流管

(26)

在這兒，由(26)式的前兩式可見，流管中任一橫截面上的壓強(qiáng)分布，如同一桶靜水中的一個(gè)豎直平面內(nèi)的壓強(qiáng)分布一樣，靜水內(nèi)部的壓強(qiáng)僅與其深度(參量為y)有關(guān)。水深處(y值較小)的壓強(qiáng)大，水淺處(y值較大)的壓強(qiáng)小。

(27)

這就說明，流管中任一橫截面上的一點(diǎn)處，壓強(qiáng)沿流線方向的壓強(qiáng)梯度，就是維持粘滯流體穩(wěn)定流動(dòng)所需要的壓強(qiáng)逐漸降低的變化率。

總之，若在水平直玻璃圓管中有水在作穩(wěn)定流動(dòng)(層流)時(shí)，管中處處流線都平行于水平直玻璃圓管的中心線；在垂直于流線的橫截面上，平面內(nèi)任一點(diǎn)的壓強(qiáng)，均如同靜水中一樣，僅與其深度相關(guān)，待測點(diǎn)的位置越低深度越深壓強(qiáng)越大；壓強(qiáng)在沿流線方向上是逐漸降低的，壓強(qiáng)沿流線方向的壓強(qiáng)梯度，就是維持粘滯流體穩(wěn)定流動(dòng)所需要的壓強(qiáng)逐漸降低的變化率。由于圖4中粗細(xì)兩段流管的中心線是同一條直線，直線上的點(diǎn)都在同一水平上，因此兩個(gè)側(cè)枝管中的水柱高度差就表示在粗細(xì)部兩段流管中心線上兩側(cè)枝管處的壓強(qiáng)差。

3.3 用水作為黏滯流體進(jìn)行伯努利方程演示實(shí)驗(yàn)的物理圖像

由于圖4所示復(fù)合玻璃圓管的中心線為一條水平直線，直線上各點(diǎn)的壓強(qiáng)具有可比性，故我們研究以此水平線為中心線的細(xì)流管中流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，如圖5所示。

在細(xì)流管中，於a1位置和a2位置分別作流管的橫截面，細(xì)流管的截面積分別為SB和SA。設(shè)經(jīng)歷一微小時(shí)間間隔Δt，SB從a1移動(dòng)到b1，SA從a2移動(dòng)到b2，由于流體不可壓縮，則左端流入的體積等于右端流出的體積，即SBΔB=SAΔA=ΔV。對(duì)a1到a2這段流體運(yùn)用機(jī)械能守恒定律。由于其中從b1到a2段的一段里雖然流體更換了，但由于流動(dòng)是穩(wěn)流(層流)，是定常的，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)沒有改變。所以只需考慮兩個(gè)流體元段SBΔB、SAΔA運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和機(jī)械能的變化。若不考慮黏滯，則機(jī)械能守恒，據(jù)此可以得到伯努利方程。若考慮黏滯，則必須考慮機(jī)械能損耗，黏滯阻力做負(fù)功，這一負(fù)功為流管上下游壓強(qiáng)差所做正功所抵消，以使流體保持穩(wěn)流狀態(tài)。

如圖5所示，在以玻璃圓管中心線為中心線的細(xì)流管中，在粗部，由黏滯阻力做負(fù)功與壓強(qiáng)差所作的正功相等，可得

(28)

所以，fB=(PB-PB′)SB，即：黏滯阻力等于兩端壓強(qiáng)差與橫截面積的乘積，黏滯阻力功等于兩端壓強(qiáng)差與體積流量的乘積。

在中心細(xì)流管的細(xì)部，按照類似思路和步驟亦可得到類似的結(jié)果

(PA′SA-PASA)ΔA=(PA′-PA)SAΔA=(PA′-PA)ΔV=fAΔA和fA=(PA′-PA)SA，即：黏滯阻力等于兩端壓強(qiáng)差與橫截面積的乘積，黏滯阻力功等于兩端壓強(qiáng)差與體積流量的乘積。注意到這一結(jié)果與截面直徑無關(guān)，可以想見，上述結(jié)果也適用于過度段，或者包含過度段的流管。由此可知，由機(jī)械能變化規(guī)律得到的伯努利方程在考慮到黏滯后必須修改為[2]

式中w12(>0)為流體從位置1沿流線流動(dòng)到位置2時(shí)，單位體積的流體克服黏滯阻力所做的功。若通過水平粗細(xì)直復(fù)合玻璃管道演示伯努利原理，則位置a1和位置a2對(duì)應(yīng)的流量、高度均相同，則由上式可得

(29)

即

(30)

(30)式表示：在中心細(xì)流管中，位置a1和位置a2處的壓強(qiáng)差與細(xì)流管橫截面積及黏滯損耗之間的關(guān)系。其中QV是水流過中心細(xì)流管中位置a1和位置a2處的體積流量。我們知道本實(shí)驗(yàn)中粗細(xì)流管處的壓強(qiáng)差是觀察參量，它與位置a1和位置a2處細(xì)流管橫截面積的關(guān)系就是我們要演示的伯努利定理。若w12=0，(30)式表示的就是理想流體的情況；若w12>0，(30)式表示的就是黏滯流體的情況。欲把水當(dāng)作近似理想流體來做實(shí)驗(yàn)，則必須使黏滯損耗w12相對(duì)于(30)式中右邊其它項(xiàng)要小得多才行，即

(31)

定性分析，欲使上式成立，須使：①玻璃管粗細(xì)部的直徑的差別大一些更好；②若粗細(xì)部的直徑比例一定時(shí)，則直徑都更大一些以使相應(yīng)的流量大一些更好；③欲使黏滯損耗小一些，表示流體壓強(qiáng)的兩個(gè)側(cè)枝玻璃管之間的距離(含過度段)盡量小一些更好。

總之，本實(shí)驗(yàn)演示的是：在具有粗細(xì)兩種直徑的復(fù)合圓直玻璃管中，在其中心線附近的細(xì)流管的流速與壓強(qiáng)的關(guān)系，即伯努利原理。玻璃管細(xì)的地方其中心細(xì)流管也細(xì)，流速大，壓強(qiáng)低；玻璃管粗的地方其中心細(xì)流管也粗，流速小，壓強(qiáng)高；壓強(qiáng)的差別通過側(cè)枝管中的水柱高低表示出來。

需要指出的是，由于黏滯的存在，流體的壓強(qiáng)總會(huì)沿流線的方向逐漸降低。為了減少它的影響，建議本實(shí)驗(yàn)裝置選取流體由玻璃管細(xì)部流向粗部方向，在粗部，伯努利原理要求它的壓強(qiáng)較高，若壓強(qiáng)真地較高，說明伯努利原理是正確的。因?yàn)轲倳?huì)使下游的壓強(qiáng)有所降低，在壓強(qiáng)有所降低的情況下，下游的壓強(qiáng)仍然較高，說明下游粗部的壓強(qiáng)確實(shí)較高，說明伯努利原理是正確的。否則，若選取流體由玻璃管粗部流向細(xì)部方向，在細(xì)部，伯努利原理要求它的壓強(qiáng)較低，若壓強(qiáng)真地較低，則不能確切地說明這是不是黏滯在起主要作用，因此不能顯然地說明伯努利原理是正確的。

3.4 伯努利方程演示實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)方案

由于黏滯流體在玻璃直圓管中定常流動(dòng)時(shí)，即便是把中心線附近的細(xì)流管作為研究對(duì)象，其壓強(qiáng)也總會(huì)沿流線方向逐漸降低，為了消除黏滯的影響，我們選擇如圖6所示改進(jìn)方案。把粗管部或細(xì)管部分為前后兩部分，

中間為比較部。流

圖6 伯努利方程演示實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)方案

線由前部流到比較部，由于黏滯的影響其壓強(qiáng)會(huì)逐漸降低，再由比較部流到后部時(shí)，其壓強(qiáng)會(huì)進(jìn)一步降低。若玻璃管的結(jié)構(gòu)對(duì)稱，則兩段過程的壓強(qiáng)降低一定相同。所以，如果以前后部圓管處的壓強(qiáng)的平均值(連接前后部壓強(qiáng)液柱頂點(diǎn)的直線交比較部壓強(qiáng)指示管對(duì)應(yīng)的壓強(qiáng)值)作為前后部圓管在比較部圓管處的壓強(qiáng)值，就消除了黏滯對(duì)前后部圓管壓強(qiáng)的影響。再與比較部圓管處的壓強(qiáng)相比較，就等效為消除了黏滯以后前后部圓管與比較部圓管的壓強(qiáng)的差值。

圖6中甲可用于演示氣體流體的伯努利方程，壓強(qiáng)的顯示通過一根與三個(gè)壓強(qiáng)顯示管相連接的連通器(注入顯示液紅墨水)來實(shí)現(xiàn)，注意其中液柱越高表示流管中壓強(qiáng)越低；圖5中乙可用于演示液體流體的伯努利方程，液體流體在相應(yīng)壓強(qiáng)顯示管中的高度，即表示流體在該處的壓強(qiáng)。