快鏈條模型下落運(yùn)動(dòng)的探究

李恩溢 高 博 金偉秋 盛裕杰

(西安交通大學(xué) 1理學(xué)院，大學(xué)物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心；2電氣學(xué)工程學(xué)院，陜西 西安 710049)

在傳統(tǒng)的下落鏈條的力學(xué)模型[1]中，認(rèn)為從一定高度釋放的鏈條的各部分均做自由落體運(yùn)動(dòng)，即認(rèn)為鏈條各部分間不存在拉力。該模型對(duì)一般概念下的鏈條有很好的解釋效果，但若拓寬對(duì)鏈條的定義，那么只要構(gòu)造的鏈條足夠特殊則傳統(tǒng)的鏈條模型將不再適用。

目前，國(guó)外已有一些研究表明了這一點(diǎn)：R.H.Plaut等人發(fā)現(xiàn)一種特殊構(gòu)造的鏈條，其下落快于自由落體，從而得出下落時(shí)鏈條懸空部分存在拉力的結(jié)論[2]，并稱(chēng)這類(lèi)鏈條為快鏈條。Rod Cross等人通過(guò)研究不同的幾何形狀的物體落地時(shí)的能量耗散，得出了一定條件下剛性桿落地后桿的機(jī)械能不守恒的結(jié)論[3]。Anoop Grewal等人亦通過(guò)理論分析給出了幾種下落速度快于自由落體的鏈條模型[4]。

但目前國(guó)外文獻(xiàn)對(duì)快鏈條下落過(guò)程進(jìn)行數(shù)學(xué)描述和計(jì)算時(shí)，一般采用連續(xù)模型對(duì)整段鏈條的下落過(guò)程進(jìn)行描述，即認(rèn)為快鏈條在下落過(guò)程中速度是連續(xù)變化的，而實(shí)際上，快鏈條在下落過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的模式是反復(fù)切換的，速度變化曲線(xiàn)也存在跳躍間斷。因此，為補(bǔ)充已有研究的不足，本文將針對(duì)一種典型結(jié)構(gòu)的快鏈條，對(duì)其下落過(guò)程的各個(gè)階段展開(kāi)分析，以得出描述快鏈條下落的一般方程，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該模型的合理性。

1 快鏈條下落過(guò)程的定性分析

本節(jié)定性分析快鏈條的下落過(guò)程，通過(guò)證明快鏈條落地后存在局部的速度突增，說(shuō)明鏈條下落時(shí)，連接繩將繃緊而產(chǎn)生拉力，從而也就說(shuō)明了快鏈條下落時(shí)速度快于同高度釋放的自由落體運(yùn)動(dòng)的速度。

本文研究的快鏈條是一根由若干與水平面有一定角度的木棍以及兩條連接繩構(gòu)成的鏈條,如圖1所示。

圖1 快鏈條示意圖

由于快鏈條結(jié)構(gòu)的特殊性，快鏈條在以一定速度撞擊桌面后，鏈條會(huì)有一個(gè)速度的突增，使得懸空部分鏈條的連接繩拉緊產(chǎn)生拉力，從而使得懸空部分以大于重力加速度的加速度下落。下面證明這一點(diǎn)。

圖2 木棍落地前以及落地瞬間的受力分析圖

如圖2所示，先取快鏈條最下端的木棍進(jìn)行分析，假設(shè)木棍與地面的碰撞是完全非彈性的，在該木棍與地面碰撞的極短的時(shí)間內(nèi)，左端的速度突變?yōu)榱悖竟鏖_(kāi)始做繞左端點(diǎn)A的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。由于在極短的時(shí)間內(nèi)可認(rèn)為木棍受到外力的沖量矩為零，則由角動(dòng)量定理[5]可得：

其中，V(x)為鏈條與地面剛要碰撞之前鏈條的速度；θ0為木棍與水平面的初始夾角；x為沿桿方向的積分變量；m為單根木棍的質(zhì)量；l為木棍的長(zhǎng)度；ω為鏈條與地面碰撞后，開(kāi)始繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬間木棍繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。

由于在與地面碰撞之前，木棍上各點(diǎn)的速度均相等，可以都設(shè)為Vb，因此角動(dòng)量守恒的等式化為

(1)

圖3 木棍落地瞬間鏈條的速度變化

考慮到連接繩不可伸長(zhǎng)，則底端木棍右端點(diǎn)速度的豎直分量和懸空部分的速度將很快達(dá)到同速，顯然該速度將大于懸空部分原來(lái)的下落速度，小于底端木棍右端點(diǎn)原來(lái)速度的豎直分量，如圖3(b)所示。下面推導(dǎo)該速度。

該過(guò)程所用的時(shí)間極短，則重力產(chǎn)生的沖量矩可以忽略，所以可由角動(dòng)量守恒定理得到如下式：

其中，n為懸空部分的木棍數(shù)量；V+為底端木棍和上方鏈條達(dá)到同速后的共同速度。求解上式得：

(2)

上式表明了在木棍初始傾角滿(mǎn)足條件的情況下，每當(dāng)一根木棍落地懸空部分的鏈條都會(huì)產(chǎn)生一次速度突增，且原速度越大，速度突增的量值也就越大。

為驗(yàn)證上述理論推導(dǎo)得出的結(jié)論，本文選用木棍和細(xì)繩制作了快鏈條，并對(duì)其下落過(guò)程進(jìn)行了錄像，從錄像中截取到了如圖4所示的快鏈條下落瞬間的圖像。

圖4 快鏈條下落過(guò)程中某一時(shí)刻的圖像

從圖4中的標(biāo)記處可以看出，最底端木棍的一端碰撞地面時(shí)，該木棍的另一端與上方未落地鏈條之間的連接繩處于繃緊的狀態(tài)。從而驗(yàn)證了上文推導(dǎo)出的因底端木棍速度突增而使得底端木棍與上方未落地鏈條之間連接繩繃緊的結(jié)論。

2 快鏈條下落過(guò)程的定量描述

基于上節(jié)的定性分析和速度突增的結(jié)論，本節(jié)建立描述快鏈條下落過(guò)程的微分方程。

底端鏈條與地面接觸并開(kāi)始做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的某時(shí)刻的鏈條如圖5所示，設(shè)在該時(shí)刻未落地的懸空部分有n根木棍，底端木棍此時(shí)與水平面的夾角為θ。

圖5 快鏈條受力分析圖

由上節(jié)分析知T2>0，所以對(duì)最下端的木棍由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得：

對(duì)懸空部分的鏈條由牛頓第二定理得：

nmg+T2cosγ=nma

由于連接繩拉直所以沿繩方向上上下兩部分的加速度必相等有

acosγ=lβcos(γ-θ)

由上3個(gè)式子得加速度為

若每?jī)筛湕l之間的距離很短，則可認(rèn)為γ=0，上式化簡(jiǎn)為

(3)

可以看出要使加速度大于重力加速度g則需滿(mǎn)足：

化簡(jiǎn)得：

該式表明了快鏈條下落快于自由落體的臨界角條件為θ<35.26°，這一結(jié)論與第1節(jié)的定性分析結(jié)果完全一致。

在此基礎(chǔ)上，求解任意時(shí)刻快鏈條的位置?？紤]到上方木棍數(shù)目n是一個(gè)離散量，要得到鏈條下落過(guò)程中鏈條下落距離與時(shí)間的關(guān)系，首先需要對(duì)n的不同取值進(jìn)行分段求解，且應(yīng)考慮到每根木棍落地時(shí)的速度突增。

設(shè)快鏈條底端木棍碰撞地面的瞬間鏈條的初速度為Vb，木棍與水平面的初始傾角為θ0，懸空部分的木棍數(shù)為n。當(dāng)?shù)锥四竟鬓D(zhuǎn)過(guò)一定角度后，底端木棍與水平面的夾角為θ，底端木棍未落地的一端離地面的豎直距離為X，如圖6所示。

圖6 快鏈求解示意圖

由幾何關(guān)系有

將上述兩式代入式(3)，則可以得到鏈條下落過(guò)程中底端木棍未落地端的豎直高度X關(guān)于時(shí)間t的微分方程：

結(jié)合速度突變表達(dá)式(2)，可以得到確定底端木棍豎直高度X與時(shí)間t的微分方程和定解條件為

(4)

該式表明在初始角度滿(mǎn)足條件的情況下，當(dāng)某一節(jié)木棍以Vb的初速度落地時(shí)，上方的鏈條瞬間產(chǎn)生速度突增和加速度的突增，并在底端木棍與水平方向的夾角減為零之前，始終按上述微分方程的形式保持著大于重力加速度的加速度，這也間接證明了快鏈條下落時(shí)，鏈條的連接繩間存在拉力。該現(xiàn)象的本質(zhì)是底端木棍在撞擊地面后動(dòng)能沒(méi)有完全損失，而轉(zhuǎn)移了一部分能量到上方未落地的鏈條。

需要指出的是，上述微分方程和定解條件的求解結(jié)果是，快鏈條的一節(jié)木棍落地過(guò)程中，快鏈條底端高度隨時(shí)間的變化。當(dāng)求解整個(gè)快鏈條的下落過(guò)程時(shí)，對(duì)木棍撞擊地面的過(guò)程采用式(4)的微分方程，且由于每節(jié)木棍落地時(shí)其上方懸空的木棍數(shù)目不同，因此每次求解時(shí)應(yīng)改變方程中的n值；對(duì)木棍與木棍銜接部分，由于沒(méi)有木棍落地，繩中沒(méi)有拉力，應(yīng)按自由落體求解；同時(shí)，應(yīng)考慮到快鏈條每段自由落體運(yùn)動(dòng)的末速度按速度突增式(2)處理后，才是下一段微分方程的初速度。

綜上所述，可不失一般性的將快鏈條的下落過(guò)程按如下過(guò)程理解：鏈條先做自由落體運(yùn)動(dòng)，自由落地運(yùn)動(dòng)的末速度即為下一節(jié)木棍落地前瞬間鏈條的速度，木棍與地面接觸后瞬間鏈條速度按式(2)規(guī)律突增，之后鏈條按式(4)的微分方程的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，當(dāng)木棍繞端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)至傾角為零后，快鏈條又開(kāi)始做自由落體運(yùn)動(dòng)，如此反復(fù)，直到鏈條落完。

3 數(shù)值求解及實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文模型的合理性，本節(jié)將使用自制的快鏈條進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并通過(guò)高速攝影機(jī)和Tracker軟件對(duì)快鏈條的下落過(guò)程進(jìn)行記錄和測(cè)量，并將理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)果進(jìn)行比較。

為初步了解快鏈條的下落過(guò)程，基于本文第1節(jié)和第2節(jié)所得結(jié)論，本文首先針對(duì)總木棍數(shù)為15根，木棍長(zhǎng)度為17.5cm，初始傾角為15°，木棍間間距為1cm的快鏈條進(jìn)行數(shù)值求解。其中對(duì)微分方程的求解借助了Matlab軟件的ode45指令。數(shù)值求解結(jié)果如圖8所示。

從圖7可以看出，由于快鏈條加速度始終大于等于重力加速，因此其位移和速度也始終大于或等于自由落體，從位移圖像上看，快鏈條與自由落體的位移差隨時(shí)間增加逐步增大；從速度圖像上看，快鏈條的速度始終增長(zhǎng)的比自由落體快，且可以明顯看出由于每根木棍落地時(shí)的速度突變；從加速度圖像上看，每根木棍落地瞬間鏈條的加速度瞬間突增，超過(guò)重力加速度，且在木棍與水平面夾角逐漸減小的過(guò)程中木棍的加速的不斷增大，但到夾角完全等于零后，加速度又變回重力加速度，并在下一根木棍落地之前做自由落體運(yùn)動(dòng)，加速度保持重力加速度不變。

為驗(yàn)證本文模型的合理性，本文針對(duì)具有不同尺寸參數(shù)的快鏈條進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，快鏈條的結(jié)構(gòu)參數(shù)包括木棍間距d，棍長(zhǎng)l，初始傾角θ0，因?yàn)榇_定了這3個(gè)參數(shù)，即可確定快鏈條的尺寸結(jié)構(gòu)，3個(gè)參數(shù)的示意圖如圖8所示。

同時(shí)，由于鏈條速度突增的量值與原速度有較大的關(guān)系，因此本實(shí)驗(yàn)分別以木棍間距d，的棍長(zhǎng)l，初始傾角θ0以及初始速度V0為參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，通過(guò)高速攝影機(jī)拍攝快鏈條的下落過(guò)程，將慢速回放的錄像導(dǎo)入Tracker軟件，再選定快鏈條頂端的一點(diǎn)進(jìn)行追蹤，并記錄該點(diǎn)位置隨時(shí)間的變化，即可得出快鏈條下落過(guò)程中位置隨時(shí)間的變化，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9到圖13所示。其中實(shí)驗(yàn)組2到實(shí)驗(yàn)組5分別與實(shí)驗(yàn)組1形成改變不同參數(shù)的對(duì)照。

實(shí)驗(yàn)組1：木棍數(shù)15根，棍長(zhǎng)101.63mm，木棍間距8.26mm，初始傾角25.24°，初速度0m/s。

實(shí)驗(yàn)組2：木棍數(shù)15根，棍長(zhǎng)101.63mm，木棍間距16.03mm，初始傾角25.24°，初速度0m/s。

圖7 快鏈條位移，速度，加速度圖像(a) 位移圖像； (b) 速度圖像； (c) 加速度圖像

圖8 快鏈條尺寸參數(shù)示意圖

圖9 實(shí)驗(yàn)組1的求解結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖(a) 高度與時(shí)間的關(guān)系圖； (b) 速度與時(shí)間的關(guān)系圖

圖10 實(shí)驗(yàn)組2的求解結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖(a) 高度與時(shí)間的關(guān)系圖； (b) 速度與時(shí)間的關(guān)系圖

實(shí)驗(yàn)組3：棍數(shù)15根，棍長(zhǎng)101.63mm，木棍間距8.26mm，初始傾角32.83°，初速度0m/s。

實(shí)驗(yàn)組4：棍數(shù)15根，棍長(zhǎng)201.67mm，木棍間距8.26mm，初始傾角25.24°，初速度0m/s。

實(shí)驗(yàn)組5：棍數(shù)15根，棍長(zhǎng)101.63mm，木棍間距8.26mm，初始傾角25.24°，初速度-0.65m/s。

1) 實(shí)驗(yàn)組1與實(shí)驗(yàn)組2形成以木棍間距為變量的對(duì)照試驗(yàn)

由理論分析可知，在木棍與木棍銜接部分由于沒(méi)有木棍落地，加速度為重力加速度，不及有木棍落地時(shí)的加速度大。所以，棍間的距增大會(huì)導(dǎo)致鏈條在下落過(guò)程中有更多的時(shí)間處于自由落體，因此在下落了相同距離的情況下，速度小于棍間距較小的鏈條。實(shí)驗(yàn)結(jié)果也符合上述的分析。

2) 實(shí)驗(yàn)組1與實(shí)驗(yàn)組3形成以初始傾角為變量的對(duì)照試驗(yàn)

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，當(dāng)初始傾角增大，快鏈條的位移圖像更加接近自由落體，說(shuō)明了初始傾角的增大會(huì)使得快鏈條下落變慢。對(duì)此可做如下解釋。

圖11 實(shí)驗(yàn)組3的求解結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖(a) 高度與時(shí)間的關(guān)系圖； (b) 速度與時(shí)間的關(guān)系圖

圖12 實(shí)驗(yàn)組4的求解結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖(a) 高度與時(shí)間的關(guān)系圖； (b) 速度與時(shí)間的關(guān)系圖

圖13 實(shí)驗(yàn)組5的求解結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖(a) 高度與時(shí)間的關(guān)系圖； (b) 速度與時(shí)間的關(guān)系圖

由第2節(jié)推導(dǎo)出的加速度公式：

3) 實(shí)驗(yàn)組1與實(shí)驗(yàn)組4形成以棍長(zhǎng)為變量的對(duì)照試驗(yàn)

棍長(zhǎng)l的增長(zhǎng)帶來(lái)影響，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面。一方面是，l增大時(shí)，會(huì)使得每節(jié)木棍落地后，木棍未落地一端端點(diǎn)距地面距離lsinθ0增大。另一方面是，由上述加速度的計(jì)算公式可以看出，在高度X取值相同的情況下l越大則cos2θ的值越大，從而加速度a越大。

4) 實(shí)驗(yàn)組1與實(shí)驗(yàn)組5形成以初速度為變量的對(duì)照試驗(yàn)

由于在其他參數(shù)不變的情況下，每節(jié)鏈條落體時(shí)的突增后的速度與原速度成正比，如第1節(jié)所推導(dǎo)的公式：

則初速度的增大會(huì)導(dǎo)致快鏈條的速度與自由落體運(yùn)動(dòng)速度的差值更快的增大。實(shí)驗(yàn)結(jié)果也符合上述分析。

4 結(jié)論

由上述實(shí)驗(yàn)以及理論計(jì)算結(jié)果，可以明顯看出快鏈條的理論計(jì)算曲線(xiàn)相比一般自由落體曲線(xiàn)，可以更好地?cái)M合實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，這很好地說(shuō)明了在初始角度滿(mǎn)足要求的情況下，快鏈條在下落過(guò)程中始終快于自由落體，從而也就間接地說(shuō)明了快鏈條下落過(guò)程中，鏈條的連接繩存在拉力。同時(shí)實(shí)驗(yàn)及理論結(jié)果也說(shuō)明了，快鏈條的下落過(guò)程主要受以下參數(shù)的影響，分別為棍長(zhǎng)，木棍間距，初始傾角以及初速度。

快鏈條作為一種結(jié)構(gòu)特殊的鏈條模型，是對(duì)傳統(tǒng)鏈條模型的補(bǔ)充和修正。且由于結(jié)構(gòu)特殊，相比普通鏈條，快鏈條與剛性平面碰撞后，快鏈條機(jī)械能的損耗小于普通鏈條，因此，快鏈條的鏈條結(jié)構(gòu)對(duì)于如何通過(guò)改良物體結(jié)構(gòu)，減少物體在碰撞過(guò)程中的動(dòng)能損耗具有一定啟發(fā)作用。該實(shí)驗(yàn)也可作為中學(xué)、大學(xué)實(shí)驗(yàn)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)趣味實(shí)驗(yàn)進(jìn)行演示，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新思維。