一類分數(shù)階地磁系統(tǒng)的動力學行為研究

高忠社

（天水師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 天水 741000）

分數(shù)階微積分作為數(shù)學學科的一個重要分支，是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的推廣和發(fā)展，近些年來，分數(shù)階微積分引起了很多科學領域?qū)W者的關注和研究，分數(shù)階微積分在描述反常擴散、粘彈性力學、流體力學、管道的邊界層效應、電磁波、量子經(jīng)濟、分形理論等領域都有很重要的應用.另外，分數(shù)階系統(tǒng)是描述很多自然現(xiàn)象的重要工具，很多學者提出了許多不同的分數(shù)階系統(tǒng).[1,2]

混沌是非線性動力系統(tǒng)在一定條件下表現(xiàn)出的一種運動形式，是確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機現(xiàn)象.分數(shù)階系統(tǒng)是描述很多自然現(xiàn)象的有效工具.很多學者提出了不同的分數(shù)階混沌系統(tǒng)，并且研究了它們的動力學行為.不同領域的學者對分數(shù)階混沌系統(tǒng)的動力學行為作了廣泛的研究并得到了非常重要的成果.本文將在文獻[3]的基礎上，研究地磁系統(tǒng)豐富的動力學行為.

1 預備知識

分數(shù)階微分算子

上式中，q表示分數(shù)階，R(q)表示q的實部，實數(shù)a和t分別表示積分的上、下限.Riemann-Liouville導數(shù)和Caputo導數(shù)是目前常用的分數(shù)階微積分的定義.

Riemann-Liouville（RL）積分算子[3]設 Γ(q)是伽瑪函數(shù)，其中q＞0，定義于Lebesque空間L1[t0,t1]算子

稱該算子為q階Riemann-Liouville（RL）積分算子，.

Riemann-Liouville（RL）導數(shù)算子[3]設 Γ(q)是伽瑪函數(shù)，其中q＞0且m∈N，使得m-1＜q＜m，定義于Lebesque空間L1[t0,t1]積分算子

當t0＜q＜t1時，稱該算子為q階Riemann-Liou-ville（RL）導數(shù)算子..

當t∈L1[t0,t1],q≥0,γ＞-1時有性質(zhì)：

Gorenflo,R.&Mainardi,F.等人發(fā)現(xiàn)Riemann-Liouville（RL）導數(shù)算子使用時的諸多不便，Capu?to對于上述算子作了做一步的修改，得到

Caputo導數(shù)算子定義[4]

對于t∈L1[t0,t1],m∈N，使得m-1＜q＜m，t＞0，則有

其中0＜α＜1的實數(shù)，Γ(·)表示伽瑪函數(shù)

對于分數(shù)階非線性系統(tǒng)的數(shù)值求解，使用K.Diethelm，等人提出的預估-校正法，考慮如下方程

根據(jù)文獻[6,7]可知，方程組（1）等價于下列Volterra積分方程

2 模型及分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

引理[5]對于分數(shù)階系統(tǒng)

漸近穩(wěn)定的充分條件是矩陣A的特征值滿足如下條件

在文獻[3]中，D.R.J.Chillingworth and P.J.H-olmes等，提出了一個整數(shù)階混沌系統(tǒng)，方程組如下

文中分析了參數(shù)a,R,v在不同值時，在三個平衡點的不同的穩(wěn)定性分析；研究了在參數(shù)R,v固定的情形下，對于參數(shù)a的分岔行為，以及研究了Hopf分岔的Lyapunov系數(shù)一階導數(shù).本文將在文獻[3]基礎上研究分數(shù)階導數(shù)對于該系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性，及對于參數(shù)a,R,v的分岔行為，及系統(tǒng)階數(shù)q的分岔情況.文中的分數(shù)階導數(shù)使用Caputo導數(shù)，數(shù)值求解方法使用Diethelm K.等人提出的預估校正法.

是系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的節(jié)點.對于P±(x,y,z)，系統(tǒng)對應的Jacobian矩陣為

則Jacobian矩陣在R=18,a=5,v=1有相同的特征根

λ1=-7.12208;

λ2=0.0610385-4.88525i;

λ3=0.0610385+4.88525i;

其中λ1是一個負實數(shù)，且|arg(λ2,3)|=1.5593，分數(shù)階系統(tǒng)（8）的階數(shù)在0.992046≤q≤1.0范圍時，該系統(tǒng)有兩個不穩(wěn)定的平衡點.

利用預估-校正法，對分數(shù)階混沌系統(tǒng)（8）進行離散化處理，則有混沌系統(tǒng)的離散化形式為

其中αj,n+1，βj,n+1由（5）,（6）式可得，給定參數(shù)和初值，就可以得到分數(shù)階微分方程的數(shù)值解.[6,7]

3 分數(shù)階系統(tǒng)的混沌和分岔分析

文中使用文獻[4,5]Diethelm K.等人提出的預估校正法fde12對系統(tǒng)（8）不同的參數(shù)進行仿真實驗.為了研究系統(tǒng)（8）動力學行為，系統(tǒng)參數(shù)a作為分岔參數(shù)，固定系統(tǒng)其他系統(tǒng)參數(shù)和系統(tǒng)階數(shù)，系統(tǒng)參數(shù)v=1，R=18，初值

x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1，

系統(tǒng)階數(shù)q=0.9981，分岔圖如圖1所示.

圖1 當系統(tǒng)參數(shù)a∈(0,20)，分數(shù)階系統(tǒng)（8）的分岔圖

從圖1觀察發(fā)現(xiàn)，當參數(shù)a＜3.8時，系統(tǒng)（8）出現(xiàn)一系列的周期軌道，當a=3.8時，系統(tǒng)（8）發(fā)生了霍普夫分岔，進入混沌狀態(tài)；當a＞14.5時，系統(tǒng)（8）從混沌狀態(tài)進入了周期軌道.當對于系統(tǒng)不同的參數(shù)，對應不同的相圖，如圖2，3，4所示.

圖2 當參數(shù)a=2，v=1，R=18時，系統(tǒng)的相圖

圖3 當參數(shù)a=6，v=1，R=18時，系統(tǒng)的相圖

圖4 當參數(shù)a=18，v=1，R=18時，系統(tǒng)的相圖

R作為分岔參數(shù)，固定系統(tǒng)參數(shù)v=1，a=6，系統(tǒng)初值

x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1，

系統(tǒng)階數(shù)q=0.9981，分岔圖如圖5所示.

圖5 當系統(tǒng)參數(shù)R∈（0,35），分數(shù)階系統(tǒng)（8）的分岔圖

從圖5觀察發(fā)現(xiàn)，當參數(shù)R＜15.3時，系統(tǒng)（8）出現(xiàn)一系列的周期軌道，當R=15.3時，系統(tǒng)（8）發(fā)生了霍普夫分岔，進入混沌狀態(tài)；當R＞15.3時，系統(tǒng)（8）從混沌狀態(tài)進入了周期軌道.對于系統(tǒng)不同的參數(shù).對應不同的相圖，如圖6，7，8所示.

圖6 當參數(shù)a=6，v=1，R=10時，系統(tǒng)的相圖

圖7 當參數(shù)a=6，v=1，R=20時，系統(tǒng)的相圖

圖8 當參數(shù)a=6，v=1，R=22時，系統(tǒng)的相圖

系統(tǒng)參數(shù)v作為分岔參數(shù)，固定系統(tǒng)參數(shù)R=18，a=6，給定初值

x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1，

系統(tǒng)階數(shù)q=0.9981，分岔圖如圖10所示.

圖9 當系統(tǒng)參數(shù)v∈(0,2)，系統(tǒng)階數(shù)（8）的分岔圖

從圖9觀察發(fā)現(xiàn)，當參數(shù)v＜0.1時，系統(tǒng)（8）出現(xiàn)一系列的周期軌道，當v=0.1時，系統(tǒng)（8）發(fā)生了霍普夫分岔，進入混沌狀態(tài)；當0.1＜v＜1.15時，系統(tǒng)（8）進入了混沌狀態(tài)；當v=1.15時,系統(tǒng)（8）發(fā)生了霍普夫分岔；當v＞1.15時系統(tǒng)（8）從混沌狀態(tài)進入了周期軌道.對于系統(tǒng)不同的參數(shù)，對應不同的相圖，如圖10，11，12所示.

圖10 當參數(shù)a=6，v=0.17，R=22時，系統(tǒng)的相圖

圖11 當參數(shù)a=6，v=1.4，R=22時，系統(tǒng)的相圖

圖12 當參數(shù)a=6，v=1.8，R=22時，系統(tǒng)的相圖

通過選取系統(tǒng)（8）不同的分岔參數(shù)，對系統(tǒng)（8）的動力學行為進行了詳細研究，結(jié)果表明，系統(tǒng)的參數(shù)都對它的動力學行為產(chǎn)生很大的影響，系統(tǒng)對不同的參數(shù)，吸引子有很大的差異.

對于研究系統(tǒng)（8）豐富的動力學行為，系統(tǒng)階數(shù)對動力學行為有重要的影響作用，系統(tǒng)階數(shù)q作為分岔參數(shù)，固定系統(tǒng)其它系統(tǒng)參數(shù)，

R=18，a=6，v=1，

初值x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1，分岔圖如圖13所示

圖13 當系統(tǒng)參數(shù)a∈(0.984,1)時，系統(tǒng)(8)的分岔圖

從圖13觀察發(fā)現(xiàn)，當參數(shù)q＜0.9925時，系統(tǒng)（2）出現(xiàn)一系列的周期軌道，當q=0.9925時，系統(tǒng)（8）發(fā)生了霍普夫分岔，進入混沌狀態(tài)；當0.9925＜v＜1時，系統(tǒng)（8）進入了混沌狀態(tài)；當對于系統(tǒng)不同的階數(shù)，對應不同的相圖，如圖14，15，16所示.

圖14 當階數(shù)α=0.95時，系統(tǒng)的相圖

圖15 當階數(shù)α=0.98時，系統(tǒng)的相圖

圖16 當階數(shù)α=0.99時，系統(tǒng)的相圖

通過選取系統(tǒng)（8）不同的階數(shù)，對系統(tǒng)（8）的動力學行為進行了詳細分析，結(jié)果表明，系統(tǒng)的階數(shù)都對它的動力學行為產(chǎn)生很大的影響，系統(tǒng)對不同的階數(shù)，吸引子有很大的差異.

4 結(jié)語

本文研究了分數(shù)階地磁系統(tǒng)動力學行為，首先，從理論上研究了該系統(tǒng)的一些基本特征，平衡點、特征值以及系統(tǒng)階數(shù).其次，使用預估-校正法，借助數(shù)學軟件MATLAB進行數(shù)值仿真，通過對于系統(tǒng)每個參數(shù)分岔圖分析研究，對于系統(tǒng)階數(shù)和參數(shù)的調(diào)整，得到系統(tǒng)在不同條件下的吸引子以及分岔圖.研究結(jié)果表明，分數(shù)階新系統(tǒng)有不同的分岔行為，包括霍普夫分岔及鞍結(jié)分岔等形式，及該系統(tǒng)有豐富的動力學行為.