特殊化：兒童數(shù)學(xué)思考的腳手架

葉娟

摘?要：從特殊到一般，從具體到抽象，這是人們普遍遵循的認知規(guī)律。特殊化是兒童在解決問題的時候常常會用到的方法，是兒童探尋一般規(guī)律的起點，也是兒童數(shù)學(xué)思考的腳手架之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)關(guān)注兒童的思考過程，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法，讓數(shù)學(xué)思考真發(fā)生。

關(guān)鍵詞：特殊化;兒童;數(shù)學(xué)思考;腳手架

中圖分類號：G623.5文獻標(biāo)識碼：A ????文章編號：1992-7711（2020）07-054-2

辯證唯物主義認識論認為：從特殊到一般，從具體到抽象，這是人們普遍遵循的認知規(guī)律。在小學(xué)階段，當(dāng)兒童面對抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，采用“以退為進”的策略，通過特殊的情形、簡單的事例來探尋問題的結(jié)論，這是普遍存在的不容忽視的兒童們的真實的數(shù)學(xué)思考方式之一。我們稱這樣的思想為特殊化思想。特殊化既是一種思想，也是一種方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。依據(jù)波利亞所說“特殊化是從考慮一組給定的集合過渡到該集合中一個較小的集體或僅僅一個對象?！碧厥饣谥袑W(xué)乃至大學(xué)的解決問題中被廣泛地應(yīng)用著。我們常常會聽到所謂的“投機取巧”、“笨辦法”、“不知道行不行”。仔細一想，其實用的就是特殊化：兒童數(shù)學(xué)思考的腳手架。

腳手架，是建筑單位為了確保各施工過程順利進行而搭設(shè)的工作平臺。本文的“腳手架”則是指在課堂教學(xué)中，教師設(shè)置的比較直觀的、貼近學(xué)生思維的支點，以幫助學(xué)生從現(xiàn)有發(fā)展水平向潛在發(fā)展水平過渡。

一、搭建腳手架的緣起——從兒童思考中來

1.問題

長方形ABCD的面積是24平方厘米，P是BC邊上任意一點，求三角形ADP的面積。剛讀完題，有學(xué)生迫不及待地問：老師，點P可以在線段BC的兩個端點的位置嗎？立刻，學(xué)生們的表情：驚喜、豁然開朗、期待……

五年級下配套練習(xí)中有這樣一個問題：甲、乙兩數(shù)都是自然數(shù)，并且甲÷乙=6，甲和6的最大公因數(shù)是（）。三個選項：A.甲;B.乙;C.6，正確答案是C。年級各班錯誤率均超過40%，以選B的居多，個別選A。

2.相關(guān)知識點

一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)，兩個數(shù)的最大公因數(shù)是其中較小的數(shù)?？赡艿腻e誤原因分析：1.審題不清，當(dāng)成求甲和乙的最大公因數(shù)了。2.題目表述較抽象，學(xué)生不清楚甲和6也是倍數(shù)關(guān)系，兩個數(shù)的最大公因數(shù)是6。

3.課堂回放

師：讀完題你知道了什么？

生：甲是乙的6倍。

師：是的，還知道什么？問我們什么？

生：問甲和6的最大公因數(shù)是多少。

師：你有什么要提醒大家的？

生：是甲和6的最大公因數(shù)，不是甲和乙的最大公因數(shù)。

師：很好，說說你是怎么想的？

生：由甲÷乙=6，我們可以知道甲÷6=乙，甲是6的乙倍。所以甲和6也是倍數(shù)關(guān)系，所以甲和6的最大公因數(shù)是6。（觀察學(xué)生表情：有明白、也有懵圈的，的確乍聽有些繞。）

師：這位同學(xué)說的很清楚，明白了嗎？此處應(yīng)該有掌聲。

一個學(xué)生怯生生地說：我是把甲當(dāng)作12，乙當(dāng)作2來想的。12和6的最大公因數(shù)是6，所以我選6。（再觀察學(xué)生表情：哦，這么簡單？）

師：還能再舉一些例子嗎？

生：甲÷乙=6

12÷2=6

18÷3=6

24÷4=6

30÷5=6（依據(jù)學(xué)生回答相機板書）

36÷6=6

……

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：不管甲乙分別是多少，甲都是乙的6倍。

師：這叫“賦值法”，是一種特殊化的思想。這種方法可以幫助我們探索規(guī)律，在今后的學(xué)習(xí)中還會遇到。我覺得也應(yīng)該給這位同學(xué)掌聲?！巴评矸ā?、“賦值法”、“列舉法”等等，都是很有用的數(shù)學(xué)方法，它們的背后都蘊藏著重要的數(shù)學(xué)思想。

從思維活動的方向來看，“一般到特殊”的過程是強抽象，其實際是演繹推理，這個過程比較直接，但不易理解，對思維水平要求高一些;而“特殊到一般”的過程是弱抽象，其實際是歸納推理的過程，這個過程比較直觀，更貼近學(xué)生的思維水平，更容易理解。

二、特殊化方法的運用——到問題解決中去

一個問題在普遍意義上難以識別與掌握，在特殊情況下往往清楚明白。既然如此，我們何不順應(yīng)兒童的思考，從兒童最直接，最能想得到的地方開始，一步一步引導(dǎo)，讓思考由點到線再到面，把問題理解得更透徹？

這樣一個問題困擾了許多學(xué)生：“上山速度為每小時12千米，下山速度為每小時18千米，問上山下山平均速度為每小時多少千米？”（12+18）÷2=15（千米/時）這個答案是最不假思索的。然而，用特殊化賦值法一算：

總路程36千米，36×2÷（36÷12+36÷18）=14.4（千米/時）

總路程120千米，120×2÷（120÷12+120÷18）=14.4（千米/時）

總路程240千米，240×2÷（240÷12+240÷18）=14.4（千米/時）

……

正確的上山下山平均速度為14.4千米/時。

用了特殊化這個腳手架，學(xué)生不僅解決了問題，而且對這類問題認識得更加深刻。一個特殊化是特殊化，諸多的特殊化就為走向一般化提供了可能。特殊化可以快速、準(zhǔn)確的解決問題，但不可以以偏概全。特殊化不僅可以使問題轉(zhuǎn)化，而且能發(fā)現(xiàn)問題的解決辦法，揭示問題的內(nèi)在規(guī)律和探求問題的結(jié)果。羅增儒教授說特殊化是解決問題的突破口，是尋找思路的策略，是解題的方法。

特殊化原本就與學(xué)生靠得很近。求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，絕大多數(shù)學(xué)生會先判斷兩個數(shù)是否互質(zhì)，兩個數(shù)是否有倍數(shù)關(guān)系，當(dāng)都不符合的時候再去分解因數(shù)。用特殊化可以解決很多問題：行程問題、歸一問題、平面圖形面積等，不再一一舉例。

特殊化可以把需要解決的問題中的問題和條件進行合理轉(zhuǎn)換，拓開思路，從而解決問題，探索出結(jié)論。運用“特殊化”的關(guān)鍵是“過渡”，在小學(xué)數(shù)學(xué)所遇到的問題中主要有賦值特殊化、選取特定對象特殊化以及縮小范圍特殊化幾種，從上面的例子可以窺見一斑。

三、關(guān)注思考過程，關(guān)注思想方法——回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)

特殊化是兒童數(shù)學(xué)思考的腳手架，但并不是終極目標(biāo)。正如生活中我們所見的腳手架是要拆除的一般。運用特殊化，需要教師基于對目標(biāo)的把握，適當(dāng)引導(dǎo)，從而真正達到在數(shù)學(xué)思考、思維提升、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的。

1.從兒童出發(fā)，關(guān)注思考過程

用特殊化方法算出的結(jié)果和用推理得到結(jié)論的同學(xué)是都值得肯定的。從上述例子可以看到，賦值法通過巧妙賦值，使問題數(shù)值化、直觀化、簡單化、特殊化，從而使問題得以很好的解決。賦值法在解題中具有廣泛的應(yīng)用和獨特的價值。往往在缺少條件的時候，用這種方法可以幫助我們降低解決問題的難度。有種撥開迷霧見月明的效果。

每位學(xué)生的思維發(fā)展程度不同，每位同學(xué)的考慮角度不同，每位學(xué)生的元認知不同，正所謂百花齊放。我們需要尊重他們的思考，適當(dāng)放大他們的想法，不能急于評價哪種方法好，哪種方法不好，更不應(yīng)用褒貶之詞如“聰明方法”與“笨辦法”來形容。數(shù)學(xué)思想方法沒有孰優(yōu)孰劣之分，思考的路徑不同，方法不同，殊途同歸，各有優(yōu)勢。適合兒童的，符合兒童認知規(guī)律的方法就是好方法。堅信這樣的理念與從兒童出發(fā)是一致的。俗話說不管黑貓白貓逮著老鼠便是好貓。孩子的方法值得我們研讀，值得我們尊重。在解決問題時，不能太固化學(xué)生的想法，更不能用成人的思考強加給學(xué)生。從兒童出發(fā)，關(guān)注思考過程，給特殊化的兒童以特殊化。

2.從兒童出發(fā)，關(guān)注思想方法

2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出“四基”即：基礎(chǔ)知識，基本技能，基本經(jīng)驗，基本數(shù)學(xué)思想。在舊版課標(biāo)的基礎(chǔ)上增加了基本經(jīng)驗和基本數(shù)學(xué)思想?？梢姡緮?shù)學(xué)思想的受重視程度。

每種思想方法都有其作用和數(shù)學(xué)價值。特殊化作為一種數(shù)學(xué)思想方法的存在，其價值毋庸置疑。關(guān)注不同的數(shù)學(xué)思想方法是心中有數(shù)學(xué)本質(zhì)的表現(xiàn)，是從兒童出發(fā)的體現(xiàn)。

數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的關(guān)鍵，我們需要學(xué)生有價值的思考點，設(shè)計有利于放大有價值的數(shù)學(xué)思考的問題，引導(dǎo)學(xué)生將這種“思考形式”內(nèi)化為深層次的“數(shù)學(xué)思考”。雖然證明的過程是形式的，但對證明的理解是直觀的;雖然邏輯的基礎(chǔ)是基于公理的，但思維的過程是歸納的。為了實現(xiàn)這樣的教學(xué)過程，我們需要更多地關(guān)心學(xué)生的思考過程，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生在掌握知識技能的同時，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：南京市鼓樓區(qū)第二實驗小學(xué)，江蘇 南京210000）