平方差公式的課堂導(dǎo)入比較

陳莉娜 朱福勝 黃振坤

【摘要】課堂導(dǎo)入是教學(xué)的第一個環(huán)節(jié)，而良好的開端不僅會激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能事半功倍地完成教學(xué)的目標(biāo).“教學(xué)有法，教無定法”，不同的教師對同一節(jié)課的課堂導(dǎo)入處理方式是不同的.以“平方差公式”一課為例，三位教師的課堂導(dǎo)入的方式就不盡相同，分別為故事導(dǎo)入法、提問導(dǎo)入法、實踐活動導(dǎo)入法.故事導(dǎo)入法側(cè)重于情境創(chuàng)設(shè)，為學(xué)生主動建構(gòu)提供平臺;提問導(dǎo)入法側(cè)重于數(shù)學(xué)深度思考，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì);實踐活動法側(cè)重于對數(shù)學(xué)知識的多元表征，豐富學(xué)生認(rèn)知表象.三種不同課堂導(dǎo)入也有其共同之處，表現(xiàn)在師生之間積極對話，聚焦數(shù)學(xué)知識本質(zhì).

【關(guān)鍵詞】課堂導(dǎo)入;數(shù)學(xué)教學(xué);初中數(shù)學(xué);平方差公式

【基金項目】2018福建省中青年教師教育科研項目“基于問題探究的數(shù)學(xué)案例教學(xué)研究”（JAS180218）.

一、“平方差公式”的教學(xué)認(rèn)識

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維;要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.”[1]可見，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對教師提出了明確要求，而教師如何將數(shù)學(xué)課標(biāo)理念融入教學(xué)，是課程改革實施的關(guān)鍵.以“平方差公式”一課為例，在設(shè)計平方差公式課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)時，教師應(yīng)該把握住學(xué)生的學(xué)習(xí)心理特征，激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生主動思考與探索.

本文共選取三個“平方差公式”教學(xué)實錄的片段.其中片段一與片段二的教學(xué)內(nèi)容選自人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊14.2.1（第一課時）.片段三的教學(xué)內(nèi)容選自蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊9.4.2（第二課時）.

從教材的內(nèi)容整體上來看，人教版和蘇科版都是在有理數(shù)、整式的加減以及整式乘法的等知識的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)平方差公式.即在學(xué)習(xí)多項式與多項式相乘后，引導(dǎo)學(xué)生觀察其多項式結(jié)構(gòu)特征，猜想平方差的公式的結(jié)構(gòu)特征，這種教材處理方式反映了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.平方差公式刻畫了多項式（a+b）與（a-b）相乘的規(guī)律，也為今后的因式分解、分式的運算以及函數(shù)等知識學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).因此，“平方差公式”教學(xué)內(nèi)容在兩個版本的教材中都起著承上啟下的作用.

從教材的編排順序上來看，“平方差公式”是人教版初中數(shù)學(xué)階段的第一個公式，有著里程碑的意義.而蘇科版初中數(shù)學(xué)階段的第一個公式是“完全平方公式”，緊接其后才是“平方差公式”.不同版本的教材在編排順序上會有所不同，而其中的原因是教材編排的意圖有所不同.我們可以知道完全平方公式的表征是“相同”，而平方差公式表征是“相反”.[2]那么蘇科版先學(xué)習(xí)完全平方公式，再學(xué)習(xí)平方差公式，則是從“相同”到“相反”的過程，這符合學(xué)生的一般認(rèn)知規(guī)律，也與蘇科版教材編排更注重從整體上考慮的意圖相一致.而人教版教材的編寫往往是呈螺旋式上升，即學(xué)生在通過“觀察-探究-猜想-驗證”的思維活動之后，建立數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出平方差的公式，更能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推導(dǎo)能力.

二、“平方差公式”的課堂導(dǎo)入案例

“平方差公式”教學(xué)中常用的幾種導(dǎo)入方法，分別為故事導(dǎo)入法、提問導(dǎo)入法、實踐活動導(dǎo)入法.該案例所選取的教學(xué)片段均來自一線教師的教學(xué)課堂實錄，通過對比不同教師在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)的不同設(shè)計，分析不同的人課堂導(dǎo)入的教學(xué)效果.

（一）故事導(dǎo)入法

故事導(dǎo)入法，它是教師運用與新知識相關(guān)，有故事情節(jié)的資源，呈現(xiàn)其生動形象的情節(jié)內(nèi)容，讓學(xué)生通過對故事情節(jié)的感知體驗，產(chǎn)生對新知識探求的迫切愿望.[3]

片段一：

（本片段選自云南省，人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊1421“平方差公式”-馬呂燕）

師：同學(xué)們，最近森林里的熊二遇到一個問題.我們能幫他解決問題嗎？

生：好.（同學(xué)們充滿著好奇心）

師：光頭強開了家租地公司，他把一塊邊長為m米正方形土地租給熊二種植.一天，他對熊二說：“我把這塊地的一邊增加10米，另一邊減少10米，再繼續(xù)租給你.你也沒吃虧，你看如何？”熊二一聽，覺得沒有吃虧就答應(yīng)了.回到熊洞把這件事情和熊大講了.熊大聽后，和熊二說：“熊二，你吃虧了.”熊二很吃驚.同學(xué)們，你們能告訴熊二，這是為什么嗎？

（學(xué)生一臉茫然，老師拿起之前準(zhǔn)備好的正方形卡片，通過折疊，將正方形卡片的一邊長增加10米和另一邊長減少10米，向?qū)W生展示，這塊正方形地的面積關(guān)系.）

師：同學(xué)們看，這是一塊邊長為m米的正方形，現(xiàn)在我們把一邊的邊長減少10米，一邊增加10米.好的，同學(xué)們，觀察下，熊二有沒有吃虧？

生：吃虧了.

（老師再用幾何畫板詳細(xì)演示圖形變化的動態(tài)過程）

生：原來的面積是m2，現(xiàn)在的面積是（m+10）（m-10），〖HJ1.3mm〗利用上節(jié)課的多項式的乘法，結(jié)果為m2-100.經(jīng)過比較，面積確實變小了……

（二）提問導(dǎo)入法

提問導(dǎo)入法是引導(dǎo)學(xué)生一步步進(jìn)行探究的過程，挖掘數(shù)學(xué)知識之間的銜接，不僅有利于深化學(xué)生對新授知識的理解，幫助學(xué)生建立系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)知識體系，還能培養(yǎng)學(xué)生深度思考的能力.

片段二：

（本片段選自浙江省，人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊1421“平方差公式”-劉靜）

師：我們在前面已經(jīng)研究了多項式乘多項式的計算，現(xiàn)在請同學(xué)們在你們課堂練習(xí)本上，寫兩個二項式相乘的式子.

生1：（x+3）（y+5）=xy+5x+3y+15.

師：這個結(jié)果有幾項了？

生：四項.

師：那現(xiàn)在，把上式的多項式稍微改動，使得計算結(jié)果是三項？同桌之間，相互交流下.

生2：（x+5）（x+3）=x2+3x+5x+15=x2+8x+15.

師：結(jié)果是怎樣變成三項的了？

生2：合并同類項.（個別同學(xué)回答）

師：現(xiàn)在，還想讓它的計算結(jié)果變成兩項.想想看上述式子怎么改？

生3：（x+5）（x-5）=x2-5x+5x-25.

師：你是怎么思考這個問題的？

生3：上述式子，由計算結(jié)果由四項變成了三項是因為中間兩個單項式合并同類項.那么我想著中間兩項合并同類項之后，結(jié)果為0.

師：很好，那我們看看這兩個多項式，這兩個項有什么關(guān)系？我們可以看到x與x相同項，5和-5是相反項.聽好，現(xiàn)在的要求是，你們動手寫出計算結(jié)果只有兩項.

（學(xué)生動手計算后，老師選擇兩位同學(xué)的回答問題）

生4：（y-10）（y+10）=y2-10y+10y-100.

生5：（a+6）（a-6）=a2-6a+6a-36.

師：現(xiàn)在你們來觀察一下，到底怎樣的兩個二項式相乘，結(jié)果會是兩項的了？

（學(xué)生合作交流，教師引出平方差公式，總結(jié)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征）……

（三）實踐活動導(dǎo)入法

實踐活動導(dǎo)入法，它指的是教師首先根據(jù)新知識提出問題，然后通過巧妙地設(shè)計實踐探究活動，讓學(xué)生帶著對問題的積極思考參與到實踐活動中來，并在親自動手實踐的過程中解決問題，進(jìn)而學(xué)習(xí)新知識.[4]

片段三：

（本片段選自江蘇省，蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊942“平方差公式”-孫凱）

師：同學(xué)們，老師將邊長為a的正方形卡片，在其右下角剪去一個邊長為b（b

生1：陰影中的面積是大正方的面積形減去小正方的面積，大正方形的邊長為a，則大正方形的面積為a2.小正方形的邊長為b，則小正方形的面積為b2.所以陰影部分的面積為a2-b2.

師：那你還能怎么表示陰影部分的面積了？帶著這個問題，四人一個小組，合作交流.

（同學(xué)們合作交流之后，上臺展示）

生2：我們將陰影部分的圖形面積分割成兩個梯形，它們的上底是b，下底是a，高為a-b.那根據(jù)梯形的面積計算公式可得，（a+b）（a-b） 2×2，即（a+b）（a-b）.（如圖5所示）

生3：我們將陰影部分的圖形面積分割成兩個梯形，把它們拼成一個長方形，它的長是a+b，寬是a-b.那根據(jù)長方形的面積計算公式可得，（a+b）（a-b）.（如圖6所示）

生4：我們將陰影部分的圖形面積先分成兩個小的長方形，再將其拼成一個大的長方形，長為，它的長是a+b，寬是a-b.那根據(jù)長方形的面積計算公式可得，（a+b）（a-b）.（如圖7所示）

師：用不同的方法計算得到陰影面積為a2-b2=（a+b）（a-b）.

……

三、“平方差公式”的課堂導(dǎo)入反思比較

（一）情境創(chuàng)設(shè)，為主動建構(gòu)提供平臺

弗賴登塔爾認(rèn)為，“情境問題是教學(xué)的平臺”，情境問題是直觀的、容易引起想象的數(shù)學(xué)問題，這些數(shù)學(xué)問題所依托的背景是學(xué)生所熟悉的事物，能促使學(xué)生對情境問題有所加工與思考.情境創(chuàng)設(shè)，能夠有效地為將新知識融入具體生動的情境，恰到好處地激發(fā)學(xué)生的求知欲，促進(jìn)學(xué)生對新知的建構(gòu)，重組原來的知識結(jié)構(gòu).例如，案例一中使用了故事導(dǎo)入法，恰恰利用了學(xué)生的學(xué)習(xí)心理特征，創(chuàng)造一個故事情境，為學(xué)生的主動建構(gòu)提供一個平臺.事實上也證明，教師設(shè)置了“租地”的問題，成功吸引住學(xué)生的注意力，使得學(xué)生處于一種充滿好奇的狀態(tài)中，主動、積極、有意識地想要去解決問題.

（二）深度思考，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

深度思考，是教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生透過事物的表象探尋問題的實質(zhì)，理解內(nèi)在的數(shù)學(xué)邏輯聯(lián)系，多角度去分析問題，從而靈活地解決數(shù)學(xué)問題的過程.例如，案例二中的教師以“計算結(jié)果的項數(shù)有多少”為導(dǎo)向，設(shè)置環(huán)環(huán)相扣問題鏈，挖掘數(shù)學(xué)知識之間的銜接，引導(dǎo)學(xué)生一步步去探究，這種提問導(dǎo)入法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的深刻性.因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解新舊知識之間的關(guān)系，建立系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系，找出事物的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，久而久之學(xué)生探究學(xué)習(xí)的思維品質(zhì)就能得以提升.

（三）多元表征，豐富數(shù)學(xué)認(rèn)知表象

多元表征，從表征的感覺通道來看，數(shù)學(xué)表征可以是聽覺表征（如教師的言語等）、視覺表征（如多媒體展示）和動作表征（如折紙作圖等）.[5]顯然案例二的教師過于強調(diào)聽覺表征，這在某種意義上不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的完整理解.案例一與案例三的教師注重多元表征的結(jié)合使用，使得學(xué)生從不同的角度、不同的視角對其本質(zhì)進(jìn)行視覺化或體驗化的闡述.由此可見，多種表征之間能相互聯(lián)系，相互促進(jìn)，進(jìn)而逐漸完善學(xué)生的表征體系以及豐富學(xué)生數(shù)學(xué)的認(rèn)知表象，進(jìn)一步鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此，教師在設(shè)計課堂導(dǎo)入的教學(xué)中，應(yīng)積極采取多元表征形式，對教材進(jìn)行深入的加工，完善學(xué)生的認(rèn)知圖式，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的本質(zhì)感悟.

（四）數(shù)形結(jié)合，將代數(shù)問題幾何化

數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)思想，是將復(fù)雜、抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成簡單、具體的圖形表示，進(jìn)而拓展學(xué)生的思維方式，更加直觀化、生動化理解數(shù)學(xué)內(nèi)在聯(lián)系.例如，案例一和案例三的課堂導(dǎo)入教學(xué)設(shè)計都巧妙地抓住了“平方差公式”與“數(shù)形結(jié)合思想”的切合點，將代數(shù)的問題幾何化，充分地將復(fù)雜的問題簡單化.同時，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中也提到“幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用.”[1]因此，在課堂導(dǎo)入的教學(xué)設(shè)計中，教師應(yīng)積極滲透數(shù)形結(jié)合思想，并能夠引導(dǎo)學(xué)生用幾何直觀的思維思考數(shù)學(xué)的概念，多角度多方位探索數(shù)學(xué)的問題.

（五）師生對話，聚焦數(shù)學(xué)知識本質(zhì)

有效師生對話，目的是揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，促進(jìn)思考，挖掘數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系.例如，案例一的教師語言簡練明快，繪聲繪色，能將故事講得生動形象、深入淺出，那么這節(jié)課師生間的對話就顯得生動有趣，促進(jìn)了師生之間的情感、思想的交流.案例二的教師能依據(jù)教學(xué)重點、難點設(shè)計具有針對性的問題，使學(xué)生積極參與課堂互動，圍繞問題打開思維.那么這節(jié)課師生間的對話能引起學(xué)生深度思考，直擊數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，積極參與課堂數(shù)學(xué)活動中.案例三的教師采用實踐活動導(dǎo)入法，學(xué)生自己動手實踐操作并將學(xué)習(xí)的結(jié)論與同伴交流分享，學(xué)會自我表達(dá)、共享經(jīng)驗.那么這節(jié)課師生之間的對話，具有啟發(fā)性與引導(dǎo)性，最大限度調(diào)動學(xué)生的參與度.因此，師生之間的對話，能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能，幫助學(xué)生摒棄數(shù)學(xué)冰冷的形式內(nèi)容，從而聚焦數(shù)學(xué)知識的本質(zhì).

總而言之，不同的課堂導(dǎo)入方法，有著其不同的特性.而課堂導(dǎo)入的藝術(shù)在于能夠根據(jù)學(xué)生的具體情況，充分調(diào)動起課堂的氛圍，使得學(xué)生最快進(jìn)入教學(xué)情境中.學(xué)生主動學(xué)習(xí)的過程應(yīng)是充滿動態(tài)性，而不應(yīng)該過于刻板、模式化，因而，課堂導(dǎo)入的方式，并不存在于好壞之分，而在于能否選取適當(dāng)?shù)恼n堂導(dǎo)入方式進(jìn)行教學(xué).

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]孫凱.發(fā)展符號意識，凸顯思想方法——以“平方差公式”教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（4）：26-29.

[3]鐘紅麗.中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“導(dǎo)入設(shè)計”的比較研究[D].南充：西華師范大學(xué)，2016.

[4]韓曉雪.初中數(shù)學(xué)概念課導(dǎo)入方法研究[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2017.

[5]杜青霞.高中生數(shù)學(xué)概念多元表征的調(diào)查研究[D].武漢：華中師范大學(xué)，2014.