Morita環(huán)上的強(qiáng)Gorenstein投射模

Dadi ASEFA

(上海交通大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200240)

Auslander等[1]將有限生成模推廣為雙邊Noether環(huán)上Gorenstein維數(shù)為零的模．Enochs等[2]將其推廣到任意的環(huán)上，并稱之為Gorenstein投射模．Bennis等[3]又引入了強(qiáng)Gorenstein投射模的概念，證明了一個(gè)模是Gorenstein投射模當(dāng)且僅當(dāng)它是強(qiáng)Gorenstein投射模的一個(gè)直和項(xiàng)，注意到一個(gè)Gorenstein投射模并不一定是強(qiáng)Gorenstein投射模．

投射模均是強(qiáng)Gorenstein投射模(反過(guò)來(lái)一般不正確)，整體維數(shù)有限的代數(shù)上的Gorenstein投射模均是投射模[4]．Gao等[5]確定了上三角矩陣Artin代數(shù)上所有的有限生成強(qiáng)Gorenstein投射模,然而對(duì)于具體的非投射的(強(qiáng))Gorenstein投射模，目前已知的構(gòu)造并不多見(jiàn)．

Bass[6]在他的著名講義中引入了Morita環(huán)的概念，這類環(huán)包含了許多性質(zhì)較好的代數(shù)．受文獻(xiàn)[5]的啟發(fā)，作者希望確定可作為Artin代數(shù)的Morita環(huán)上所有的有限生成強(qiáng)Gorenstein 投射模，推廣了上三角矩陣Artin代數(shù)上的強(qiáng)Gorenstein投射模，并且作者的證明與文獻(xiàn)[5]中的考慮有所不同．

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A是有單位元的環(huán)．論文用A-Mod表示左A-模范疇，用A-mod表示有限生成左A-模范疇．由文獻(xiàn)[4]，稱A-模M是A-Mod(A-mod)中的Gorenstein投射模，如果存在A-Mod(A-mod)中投射模的正合列

并且對(duì)于任意A-Mod(A-mod)中的投射模Q，HomA(P·,Q)也是正合列， 使得M?Kerd0．上述P·稱為A-Mod(A-mod)中的完全投射分解．稱Gorenstein投射A-模M是A-Mod(A-mod)中的強(qiáng)Gorenstein投射模(簡(jiǎn)稱SG-投射模)，如果相應(yīng)的復(fù)形P·形如

用SGProjA(SGProjA)表示A-Mod(A-mod)中由SG-投射模作成的滿子范疇．

引理1[5]對(duì)任意環(huán)A,都成立SGProjA∩A-mod=SGProjA．

為確保Δ(φ,ψ)作成一個(gè)結(jié)合環(huán)，規(guī)定

φ(m?n)m′=mψ(n?m′),nφ(m?n′)=ψ(n?m)n′,?m,m′∈M,?n,n′∈N．

Morita環(huán)Δ(φ,ψ)上模的刻畫是已知的結(jié)果[6-7]．為了敘述的完整起見(jiàn)，引入下面的范疇,范疇M(Δ)中的對(duì)象是4元組(X,Y,f,g)，其中X∈A-mod，Y∈B-mod，f∈HomB(M?AX,Y)，g∈HomA(N?BY,X)，并且有如下交換圖

用ψX和φY表示如下態(tài)射的合成,有

設(shè)(X,Y,f,g)和(X′,Y′,f′,g′)為M(Δ)中對(duì)象，則M(Δ)中態(tài)射(X,Y,f,g)→(X′,Y′,f′,g′)是一對(duì)同態(tài)(a,b)，其中a:X→X′是A-同態(tài)，b:Y→Y′是B-同態(tài)，有如下交換圖

范疇Δ(φ,ψ)-mod和M(Δ)之間的關(guān)系可通過(guò)函子F:M(Δ)→Δ(φ,ψ)-mod給出： 對(duì)任意的(X,Y,f,g)∈M(Δ)，定義F(X,Y,f,g)=X⊕Y是Abel群，?a∈A,b∈B,n∈N,m∈M,x∈X,y∈Y,其中的Δ(φ,ψ)-模結(jié)構(gòu)規(guī)定為

設(shè)(a,b):(X,Y,f,g)→(X′,Y′,f′,g′)是M(Δ)中任意態(tài)射，定義

于是函子F是等價(jià)函子[7]．今后將Δ(φ,ψ)上的模視為范疇M(Δ)中的對(duì)象．

論文主要考慮雙模同態(tài)為零的且可作為Artin代數(shù)的Morita環(huán)，記作Δ(0,0)．由文獻(xiàn)[8]可知，Morita環(huán)Δ(φ,ψ)可作為Artin代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)交換Artin環(huán)R，使得A和B均為ArtinR-代數(shù)，M和N在R上有限生成且中心地作用在M和N上．

(1) 4元組態(tài)射序列0→(X1,Y1,f1,g1)→(X2,Y2,f2,g2)→(X3,Y3,f3,g3)→0是Δ(φ,ψ)-mod中的正合列當(dāng)且僅當(dāng)0→X1→X2→X3→0是A-mod中的正合列，且 0→Y1→Y2→Y3→0是B-mod中的正合列．

(2) 設(shè)(a,b):(X,Y,f,g)→(X′,Y′,f′,g′)是Δ(φ,ψ)-mod中的態(tài)射，考慮同態(tài)c:Kera→X，d:Kerb→Y，則(a,b)的核為(Kera,Kerb,h,j)，其中態(tài)射h和j由如下交換圖誘導(dǎo)而得

類似地，可以刻畫態(tài)射(a,b)的余核．類似文獻(xiàn)[8]中的處理，考慮下述函子：對(duì)任意的X∈A-mod和A-同態(tài)a:X→X′，函子TA:A-mod→Δ(φ,ψ)-mod定義為

TA(X):=(X,M?AX,IdM?AX,ψX),TA(a)=(a,IdM?a).

對(duì)任意的Y∈B-mod和B-同態(tài)b:Y→Y′，函子TB:B-mod→Δ(φ,ψ)-mod定義為

TB(Y):=(N?BY,Y,φY,IdN?BY),TB(b):=(IdN?b,b).

對(duì)任意的(X,Y,f,g)∈Δ(φ,ψ)-mod 和Δ(φ,ψ)-態(tài)射，有

(a,b):(X,Y,f,g)→(X′,Y′,f′,g′).

函子UA:Δ(φ,ψ)-mod→A-mod 定義為UA(X,Y,f,g):=X,UA(a,b)=:a.

對(duì)任意的 (X,Y,f,g)∈Δ(φ,ψ)-mod和Δ(φ,ψ)-態(tài)射，有

(a,b):(X,Y,f,g)→(X′,Y′,f′,g′).

函子UB:Δ(φ,ψ)-mod→B-mod定義為UB(X,Y,f,g):=Y,UB(a,b):=b.

對(duì)每個(gè)Y∈B-mod，記εY:M?AHomB(M,Y)→Y為由involution給出的B-同態(tài)，構(gòu)造A-同態(tài)δN?Y:N?BY→HomB(M,M?AN?BY)，它將n?By送到HomB(M,M?AN?BY)中．對(duì)任意的Y∈B-mod和B-同態(tài)b:Y→Y′，函子HB:B-mod→Δ(φ,ψ)-mod定義為

HB(Y):=(HomB(M,Y),Y,εY,HomA(M,φY)δN?BY),HB(b):=(HomB(M,b),b).

下述結(jié)論給出了上述函子的深入刻畫．

(1) 函子TA，TB，HA和HB都是滿且忠實(shí)的;

(2) (TA,UA)，(TB,UB)，(UA,HA)和(UB,HB)均為函子的伴隨對(duì);

(3) 函子UA和UB均為正合函子．

下述命題給出了不可分解投射(左)Δ(φ,ψ)-模和不可分解內(nèi)射(左)Δ(φ,ψ)-模的刻畫．

(1) 不可分解投射Δ(φ,ψ)-模恰是

TA(P)=(P,M?AP,IdM?AP,ψP)，

或

TB(Q)=(N?BQ,Q,φQ,IdN?BQ),

其中：P跑遍所有不可分解投射A-模，Q跑遍所有不可分解投射B-模．

(2) 不可分解內(nèi)射Δ(φ,ψ)-模恰是

或

HB(J)=(HomB(M,J),J,εJ,HomB(M,φJ(rèn))δN?BJ)，

其中:I跑遍所有不可分解內(nèi)射A-模，J跑遍所有不可分解內(nèi)射B-模．

2 Morita環(huán)上的SG-投射模

(1)

考慮如下條件：

(iii)βα+(Id?α′)β=0;

(iv)β′α′+(Id?α)β′=0;

(v) 若α(p)=0，β(p)+(Id?α′)(x)=0，則存在(p′,x′)∈P⊕N?BQ，使得p=α(p′)，x=β(p′)+(Id?α′)(x′);

(vi) 若α′(q)=0，β′(q)+(Id?α)(y)=0，則存在(y′,q′)∈M?AP⊕Q，使得q=α′(q′)，y=β′(q′)+(Id?α)(y′);

(vii) 若(s,t)∈HomA(P,N)⊕HomB(Q,B)，滿足sα+(Id?t)β=0，tα′=0， 則存在(s′,t′)∈HomA(P,N)⊕HomB(Q,B)，使得s=s′α+(Id?t′)β，t=t′α′;

(viii) 若(u,v)∈HomA(P,A)⊕HomB(Q,M)，滿足vα′+(Id?u)β′=0，uα=0，則存在(u′,v′)∈HomA(P,A)⊕HomB(Q,M)，使得v=v′α′+(Id?u′)β′，u=u′α．

定理1給定6元組(P,Q,α,β,α′,β′)，若其滿足條件 (i)～(viii)，則

(2)

是強(qiáng)完全Δ(0,0)-投射分解．反過(guò)來(lái)，任何強(qiáng)完全Δ(0,0)-投射分解都具有(2)式的形式，其中X和f由(1)給出，并且滿足條件(i)～(viii)．

利用伴隨對(duì)(TA,UA)，(TB,UB)[8]，可知

HomA(P,A)⊕HomB(Q,M?AA)?

HomA(P,A)⊕HomB(Q,M).

令Y:=HomA(P,A)⊕HomB(Q,M)，由條件(i)，(ii)和(iv)可知序列

是一個(gè)復(fù)形, 其中

σ(u,v)=(uα,vα′+(Id?u)β′)，?(u,v)∈HomA(P,A)⊕HomB(Q,M).

由條件(viii)可知它是正合列,這就說(shuō)明了HomA(X·,(A,M?AA, Id,0))正合．再次利用伴隨對(duì)(TA,UA)，(TB,UB)，可知

HomA(P,N?BB)⊕HomB(Q,B)?HomA(P,N)⊕HomB(Q,B).

令Z:=HomA(P,N)⊕HomB(Q,B), 由條件(i)～(iii)可知，序列

是一個(gè)復(fù)形, 其中

ω(s,t)=(sα+(Id?t)β,tα′),?(s,t)∈HomA(P,N)⊕HomB(Q,B),

進(jìn)一步由(vii)可知它是正合列，即HomA(X·,(N?B,B,0,Id))正合．由于

由此得到(γ,β′):(N?BQ,Q,0,Id)→(P,M?AP,Id,0)．根據(jù)Δ(0,0)-Mod中態(tài)射的定義即知下圖交換

因此γ=0，否則上述圖表不交換．類似地，由

(β,γ′):(P,M?AP,Id,0)→(N?BQ,Q,0,Id),

(SGProjA∩⊥N,M?ASGProjA∩⊥N):={(P,M?AP,Id,0)∈

{Δ(0,0)-mod|P∈(SGProjA∩⊥N)}.

(1)S=(L,M?AL,Id,0)∈(SGProjA∩⊥N,M?A(SGProjA∩⊥N))，其中L具有強(qiáng)完全A-投射分解

并且Ker(Id?α)=M?AKerα.

(2)S=(N?K,K,0,Id)∈(N?B(SGProjB∩⊥M),SGProjB∩⊥M)，其中K具有強(qiáng)完全B-投射分解

并且Ker(Id?α′)=N?BKerα′．

(3)S=Kerf=({(p,x)∈P⊕N?BQ∣α(p)=0,β(p)+(Id?α′)(x)=0},

{(y,q)∈M?AP⊕Q∣α′(q)=0,β′(q)+(Id?α′)(y)=0})，

其中:f由(1)給出，P任意投射A-模，Q是任意投射B-模，并且α，β，α′，β′均滿足條件(i)～(viii)．

證明令S=(L,M?AL,Id,0)∈(SGProjA∩⊥N,M?A(SGProjA∩⊥N))，其中L=Kerα∈SGProjA具有強(qiáng)完全A-投射分解

因?yàn)镵er(Id?α)=M?AKerα，所以序列

是正合列，因此序列

也是正合列，其中h=(α,Id?α)．注意到L∈⊥N意味著HomA(P·,N)是正合列，由P·的選取可知HomA(P·,A)正合．根據(jù)

HomΔ(0,0)(U·,(A,M?AA,Id,0))⊕(N?BB,B,0,Id)?HomA(·,A)⊕HomA(·,N),

令S=(N?BK,K,0,Id)∈(N?B(SGProjB∩⊥M),SGProjB∩⊥M)，其中K=Kerα′∈SGProjA，其強(qiáng)完全B-投射分解為

由Ker(Id?α′)=N?BKerα′，可知序列

是正合列，從而序列

HomΔ(0,0)(W·,N?BB,B,0,Id)?HomB(Q·,B),

如果情形(3)成立，則由定理1知，序列

是強(qiáng)完全Δ(0,0)-投射分解，其中X由(1)給出．由此可知，S=Kerf是SG-投射Δ(0,0)-模．

接下來(lái)證明必要性．若S是SG-投射Δ(0,0)-模，則S=Kerf，其中f是在X·的強(qiáng)完全Δ(0,0)-投射分解中的Δ(0,0)-同態(tài)．由定理1，X·具有(2)式的形式，其中X和f由(1)給出，滿足條件(i)～(viii)．

若在(1)式中取Q=0，則β=0，α′=0，β′=0．由條件(i),(v)和(viii)知

是強(qiáng)完全A-投射分解,由條件(vi)知Ker(Id?α)=M?Kerα,由條件(vii)知HomA(X·,N)正合，從而Kerα∈⊥N．于是

S=Kerf=(Kerα,Ker(Id?α))=(Kerα,M?Kerα)∈

(SGProjA∩⊥N,M?A(SGProjA∩⊥N)),

因此S具有(1)中的形式．

若在(1)式中取P=0，則α=0，β=0，β′=0．由條件(ii)，(vi)和(viii)知

是強(qiáng)完全B-投射分解，由條件(v)知Ker(Id?α′)=N?Kerα′，由條件(viii)知 HomB(X·,M)也正合，從而Kerα′∈⊥M．于是

S=Kerf=(Ker(Id?α′),Kerα′)=(N?Kerα′,Kerα′)∈

(N?B(SGProjB∩⊥M),SGProjB∩⊥M),

因此S具有(2)中的形式．

若在(1)式中取P≠0且Q≠0，則由定理1知S具有(3)中的形式．定理獲證．