一些capable 3-群

李志秀

(晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 晉中 030600)

對(duì)于一個(gè)給定的群G, 若存在另一個(gè)群H,使得H/Z(H)?G, 則稱G可以充當(dāng)中心商, 或稱G為capable群. 自1938年Baer在文獻(xiàn)[1]中研究中心商問題始，許多學(xué)者都研究過此問題[2-12].

對(duì)中心商問題的研究, Hall[2]在他的p-群研究的奠基性論文中做了如下評(píng)論:“一個(gè)群G需要滿足什么條件才可以充當(dāng)另一個(gè)群H的中心商群，這是個(gè)有趣的問題，得到大量的必要條件是比較容易的，但要得到充分條件卻很難.” 此外，中心商問題也與覆蓋群的Schur’s理論及射影表示有聯(lián)系.文獻(xiàn)[3-4]借助群的擴(kuò)張理論, 通過換位子計(jì)算分別得到交換的capable群和亞循環(huán)的capable群;文獻(xiàn)[5]得到內(nèi)交換的capable群.論文得到一些特殊的3-群為capable群，并且由群G構(gòu)造出了群H,使得H/Z(H)?G.

文中若無特別說明，所用的符號(hào)和概念均取自文獻(xiàn)[6-7] .

1 主要結(jié)果

定理1若G為群，G=〈a,b,c|a32=b32=c3=1,[b,a]=a3,[c,a]=b3,[b,c]=1〉,則G是capable群.

證明從34階交換群出發(fā),作循環(huán)擴(kuò)張可構(gòu)造出H,使得

H/Z(H)?G.

設(shè)交換群

A=〈a〉×〈d〉?Z33×Z3,

令映射σ:a→a1-3,d→d,再把它擴(kuò)充到整個(gè)A上,可證σ是A的32階自同構(gòu).

設(shè)〈b〉是32階循環(huán)群,且b在A上的作用與σ相同.令

B=A〈b〉=〈a,b,d〉,

則|B|=36.

在B中規(guī)定映射

β:a→ab3,b→bd,d→d,

再把它擴(kuò)充到整個(gè)B上,可證β是B的3階自同構(gòu).

設(shè)〈c〉是32階循環(huán)群,c3=a32, 且c在B上的作用與β相同.令H=B〈c〉, 則

H=〈a,b,c|a33=b32=d3=1,a32=c3,[b,a]=a3,[c,a]=b3,[b,c]=d,[b,a3]=[b3,a]=a32〉

是37階群，并且

[d,a]=[d,b]=[d,c]=1,Z(H)=〈c3,d〉

是32階群，H/Z(H)?G.

定理2若G為群，G=〈a,b,c|a32=b32=c3=1,[b,a]=1,[a,c]=b-3,[b,c]=a3〉,則G是capable群.

證明從36階交換群出發(fā),作循環(huán)擴(kuò)張可構(gòu)造出H,使得H/Z(H)?G.

設(shè)交換群

A=〈e〉×〈f〉×〈c〉×〈d〉?Z3×Z3×Z32×Z32,

令映射

σ:e→ed-3,f→f,c→ce-1,d→d,

再把它擴(kuò)充到整個(gè)A上,可證σ是A的3階自同構(gòu).

設(shè)〈b〉是32階循環(huán)群,b3=f,且b在A上的作用與σ相同. 令

B=A〈b〉=〈e,b,c,d〉,

則|B|=37.

在B中規(guī)定映射β:e→e,b→bd,c→cb3,d→d, 再把它擴(kuò)充到整個(gè)B上, 可證β是B的32階自同構(gòu).

設(shè)〈a〉是32階循環(huán)群,a3=e, 且a在B上的作用與β相同.令

H=B〈a〉,

則

H=〈a,b,c|a32=b32=c32=d32=1,[b,a]=d,[c,a]=b3,[b,c]=a3〉

是38階群，并且

[d,a]=[d,b]=[d,c]=1,Z(H)=〈c3,d〉

是33階群，H/Z(H)?G，所以G是capable群.

定理3若G為群，G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=d,[c,a]=e〉，其中

[c,b]=[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,b]=[e,c]=1,

則G是capable 群.

證明從36階初等交換群出發(fā),作循環(huán)擴(kuò)張可構(gòu)造出H,使得H/Z(H)?G.

對(duì)交換群A=〈e〉×〈f〉×〈c〉×〈d〉×〈b〉×〈g〉作可裂擴(kuò)張，可得H=A與〈a〉的半直積，則

H=〈a,b,c|a3=b3=c3=d3=e3=f3=g3=1,[b,a]=d,[c,a]=e,[d,a]=f,[e,a]=g〉

是37階群，并且

[c,b]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,b]=[e,c]=[f,a]=

[f,b]=[f,c]=[f,d]=[f,e]=1,Z(H)=〈f,g〉

是32階群，H/Z(H)?G,所以G是capable 群.

定理4若G為群，G=〈a,b,c|a32=b32=c3=1,[b,a]=a3,[c,a]=[b,c]=1〉,則G是capable 群.

證明從34階交換群出發(fā),作循環(huán)擴(kuò)張可構(gòu)造出H,使得H/Z(H)?G.

設(shè)交換群

A=〈a〉×〈d〉?Z33×Z3,

令映射σ:a→a1-3,d→d,再把它擴(kuò)充到整個(gè)A上, 可證σ是A的32階自同構(gòu). 設(shè)〈b〉是32階循環(huán)群,且b在A上的作用與σ相同.令

B=A〈b〉=〈a,b,d〉,

則|B|=36.

在B中規(guī)定映射

β:a→ab3,b→bd,d→d,

再把它擴(kuò)充到整個(gè)B上,可證β是B的3階自同構(gòu).

設(shè)〈c〉是32階循環(huán)群,c3=a32, 且c在B上的作用與β相同,令H=B〈c〉, 則

H=〈a,b,c|a33=b32=d3=e3=1,a32=c3,[b,a]=a3,

[c,a]=d,[b,c]=e,[b,a3]=[b3,a]=a32〉

是38階群，并且

[d,a]=[d,b]=[d,c]=[e,a]=[e,b]=[e,c]=[e,d]=1,Z(H)=〈c3,d,e〉

是33階群，H/Z(H)?G,所以G是capable 群.