解三角形中常見的幾種最值問(wèn)題

李虎鵬

摘 要?在高考中，解三角形是其中的重點(diǎn)考察部分，也是熱點(diǎn)、難點(diǎn)。解題時(shí)需要運(yùn)用各種數(shù)學(xué)公式進(jìn)行解答，還要了解三角形的一些平面性質(zhì)進(jìn)行輔助，原本解三角形的題型一般比較靠前，所以難度并不大，但是一旦解三角形與不等式結(jié)合之后，從學(xué)生的掌握能力來(lái)看就并不是很好了。本文就是對(duì)解三角形中的幾種最值問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)和思考。

關(guān)鍵詞 解三角形;常見;最值問(wèn)題

中圖分類號(hào)：R741.041 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2020）05-0176-01

歷年來(lái)，高考都是人們關(guān)注的重點(diǎn)對(duì)象，對(duì)于數(shù)學(xué)的提醒研究和總結(jié)，都一直是教育界的重點(diǎn)，而解三角形又是高考中的必考題型，自然受到了不少的關(guān)注，這類題型本身不難，但是它涉及的知識(shí)面廣、靈活性大、綜合性強(qiáng)，特別是加入了不等式之后，很多學(xué)生就不能夠熟練掌握了。不僅要對(duì)公式特別熟悉，并且還要對(duì)平面圖形進(jìn)行研究，再加上不等式，讓許多學(xué)生難以入手。本文將舉例說(shuō)明幾種常見的解三角形最值問(wèn)題的題型，使得學(xué)生學(xué)會(huì)這類題型的通式解法，在考場(chǎng)上可以節(jié)約大量的時(shí)間。

一、轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性質(zhì)

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊，若a=√3，A=兀/3，則b+c的最大值為多少？

這種問(wèn)題，首先就是考察學(xué)生對(duì)于三角形的公式的記憶與運(yùn)用，教師可以根據(jù)正弦公式或者余弦公式對(duì)三角形的邊和角進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將目標(biāo)邊的函數(shù)轉(zhuǎn)換成角的函數(shù)，有現(xiàn)成的公式，就可以直接進(jìn)行破解。由正弦公式可得：b=2sinB，c=2sinC，那么b+c=2sinB+2sinC，在這里，我們根據(jù)題意，可以知道A=兀/3，因此B+C=2兀/3，可以將B和C轉(zhuǎn)換，C=2兀/3-B，b+c=2sinB+2sin（2兀/3一B），現(xiàn)在的式子轉(zhuǎn)變成只剩下了關(guān)于角B的式子，利用三角函數(shù)的恒等變化和題意進(jìn)行化簡(jiǎn)，2sinB+2sin（2兀/3一B）=2sinB+2sin（√3/2cosB+2sinB，最后化簡(jiǎn)為2√3sin（B+兀/6），再利用三角函數(shù)的單調(diào)性和值域進(jìn)行求解，B∈（0，2兀/3]，2√3sin（B+兀/6）∈（√3，√3/2）。

這樣的題型，已經(jīng)知道了一個(gè)角的度數(shù)，以及這個(gè)角的邊長(zhǎng)之后，就可以根據(jù)三角形的正、余弦定理對(duì)它進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將里面其他兩條的邊長(zhǎng)全部轉(zhuǎn)換為角的表達(dá)方式，之后運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換為同邊同角，再進(jìn)行簡(jiǎn)化，這需要學(xué)生掌握三角形的各個(gè)公式，最后再利用三角函數(shù)的單調(diào)性和值域求解，這需要學(xué)生還要掌握三角函數(shù)的性質(zhì)，綜合性比較高，但是這種方式比較適合學(xué)生的思路。

二、利用基本不等式求解

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)的a、b、c。若a?+b?+ab=1，c=1，求C和△ABC的面積最大值是多少？

這一道題，首先需要通過(guò)三角形的余弦定理和三角形的性質(zhì)求得C的大小，c=1，因此C?=1，a?+b?+ab=1，所以，a?+b?-c?=-ab，余弦公式：cosC=a?+b?-c?/2ab=-ab/2ab=-1/2，這時(shí)候我們根據(jù)三角形的性質(zhì)，知道C大于0小于π，再根據(jù)余弦定理，可以得知C=2π/3，且根據(jù)三角形的定理，a和b肯定是非負(fù)數(shù)，因此，（a+b）?≥0，因此，結(jié)合題意，可以得知ab≥1/3，且當(dāng)且僅當(dāng)a=b的時(shí)候，ab最大值為1/3，知道了C的度數(shù)，再根據(jù)三角形的面積公式就可以得出面積最大值為√3/12。

這一道題在解題的時(shí)候，就運(yùn)用到了不等式的解法，這其實(shí)需要考察的是學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)公式的掌握與經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)變，以及對(duì)于三角形性質(zhì)的掌握，重難點(diǎn)就在于利用三角形的性質(zhì)，求得值域。

三、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解

已知△ABC中，AB=2，AC=√3BC，求△ABC面積的最大值。

首先可以設(shè)BC=x，則△ABC的面積S=1/2AB· AC· sinB=√x?（1-cos?B），根據(jù)余弦公式，可以表示出關(guān)于cos?B的關(guān)系式為（2-x?）/2x，現(xiàn)在所有的未知數(shù)都可以用x來(lái)轉(zhuǎn)換，最終面積公式S就變成了1/2√-（x?-4）?+12，最大值的話，就一定是（x?-4）?等于0的時(shí)候，再根據(jù)三角形的性質(zhì)，由此可以得出當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，最大值為√3。

這就是利用二次函數(shù)的方式對(duì)三角形的面積最大值求解，重點(diǎn)就在于運(yùn)用余弦定理和三角函數(shù)性質(zhì)的掌握列出不等式，根據(jù)三角形的性質(zhì)和等式的關(guān)系上去判斷最大值或者最小值。

四、總結(jié)語(yǔ)

解三角形對(duì)于學(xué)生的綜合能力要求比較高，因此，通過(guò)講解之后，學(xué)生如果還是處于一知半解的狀態(tài)，就需要多加練習(xí)，熟練掌握才是最重要的。這樣的題型萬(wàn)變不離其宗，只要能夠熟記它的解題公式，再對(duì)三角形的平面性質(zhì)有一定掌握，就能夠面對(duì)這些問(wèn)題了。因此，學(xué)生應(yīng)該重視在公式上的記憶，只要在考試的時(shí)候，關(guān)于解三角形的余弦定理、正弦定理等等可以馬上在腦海里反應(yīng)出來(lái)，就可以解決很多的時(shí)間，剩下的解題思路的練習(xí)放在平時(shí)多做一些題型的訓(xùn)練就可以了。解三角形本身難度系數(shù)也不大，只要對(duì)知識(shí)點(diǎn)能夠熟練、靈活地運(yùn)用即可。本文只是通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行解析，希望對(duì)此有所幫助。

參考文獻(xiàn)：

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