活躍于數(shù)學(xué)高考中的帕斯卡六邊形定理*

浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000) 虞關(guān)壽

考題呈現(xiàn)

圖1

(1)求證：MN⊥AB；

(2)若弦PQ過橢圓的右焦點(diǎn)F2，求直線MN的方程.

圖2

題2 (2014江西高考題)如圖2，已知拋物線C:x2=4y，過點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上；

(2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y=2相交于點(diǎn)N1，與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2，證明：|MN2|2-|MN1|2為定值，并求此定值.

(1)求橢圓C的方程；

(2)動(dòng)直線y=kx+4與該橢圓交于不同兩點(diǎn)M,N，求證：直線BM與直線AN的交點(diǎn)G在定直線上.

這三個(gè)考題取之不同的水平考試，但有個(gè)共同的特點(diǎn)，就是先用“帕斯卡六邊形定理”作預(yù)判，得到所要得到的結(jié)果，然而有意識(shí)地消去一些參量，朝既定的方向進(jìn)行變形與運(yùn)算，由于目標(biāo)已明確，所以我們?cè)诮鉀Q問題時(shí)，不會(huì)感到無所適從.從近年的各省市的高考題和數(shù)學(xué)競(jìng)賽題及自主招生題來看，能充分感悟到這類問題都是用“帕斯卡六邊形定理”來設(shè)計(jì)和編擬的，可見“帕斯卡六邊形定理”獨(dú)特的運(yùn)用價(jià)值.

一、帕斯卡六邊形定理及證明

帕斯卡六邊形定理：如果圓錐曲線的內(nèi)接六邊形的三雙對(duì)邊所在的直線分別相交，那么這三交點(diǎn)共線.

定理的證明通常是先證明圓錐曲線是圓的情形，然后利用“投影、仿映(相似變換)”或運(yùn)用復(fù)平面的旋轉(zhuǎn)變換和平移變換，可證明定理對(duì)橢圓、雙曲線、拋物線仍然正確.

圖3

我們把這其中的三交點(diǎn)所在的直線稱為帕斯卡直線.

為了使此定理更具完備性，作這樣的規(guī)定：兩條平行直線相交于“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”，而且平面內(nèi)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在平面內(nèi)的任意一條直線上.

近年來一些命題專家青睞于以帕斯卡六邊形定理為題源，把其一般情形演變到具體、特殊、極端、退化等情形，結(jié)合圓錐曲線中的極點(diǎn)與極線理論編制出競(jìng)賽題、高考題及自主招生題.

二、帕斯卡六邊形定理的特殊化與拓展

1.帕斯卡六邊形定理特殊化

把圓錐曲線內(nèi)接六邊形中相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)合成一個(gè)點(diǎn)，則可得下列三個(gè)推論(以橢圓為例)：

(1)橢圓內(nèi)接五邊形ABCDE,過點(diǎn)A的切線與直線CD相交于點(diǎn)P，直線DE與直線AB相交于點(diǎn)Q，直線BC與直線AE相交于點(diǎn)R，則P,Q,R三點(diǎn)共線；

(2)橢圓內(nèi)接四邊形ABCD，直線AD與直線BC相交于點(diǎn)P，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A的切線與過點(diǎn)C的切線相交于點(diǎn)R，則P,Q,R三點(diǎn)共線；

(3)橢圓內(nèi)接三角形ABC，過點(diǎn)A切線與直線BC相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)B的切線與直線AC相交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C的切線與直線AB相交于點(diǎn)R，則P,Q,R三點(diǎn)共線.

2.帕斯卡六邊形定理拓展處理

(1)上述所給的內(nèi)接六邊形，我們一般認(rèn)為它是凸六邊形，可驗(yàn)證對(duì)凹六邊形也是成立的，同樣對(duì)凹五邊形、凹四邊形也是成立的；

(2)當(dāng)一個(gè)多邊形有一對(duì)對(duì)邊平行時(shí)，作這樣的規(guī)定：兩條平行直線相交于“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”，而且平面內(nèi)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在平面內(nèi)的任意一條直線上.

三、帕斯卡六邊形定理及推論的應(yīng)用

1.題1分析與解答：

分析：題目中的內(nèi)接凸四邊形APBQ可看作凸六邊形AP1P2BQ1Q2的退化形式，其中割線P1P2無限趨近于以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線PT，割線Q1Q2無限趨近于以點(diǎn)Q為切點(diǎn)的切線QT，兩切線相交于點(diǎn)T.帕斯卡六邊形定理知三點(diǎn)M,N,T共線，設(shè)弦PQ與長軸(x軸)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,0)，又由極點(diǎn)與極線的關(guān)聯(lián)性得動(dòng)點(diǎn)T的軌跡是直線x0x=a2.這樣就可以推測(cè)兩個(gè)小題的結(jié)論.

解：(1)設(shè)P(acosα,bsinα),Q(acosβ,

2.題2分析與解答

分析：設(shè)想拋物線C:x2=4y的內(nèi)接凸六邊形A1A2PB1B2O的點(diǎn)P是與y軸正方向同向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，當(dāng)兩點(diǎn)A1,A2無限趨近于直到重合于A點(diǎn)，兩點(diǎn)B1,B2無限趨近于直到重合于B點(diǎn)時(shí)，可理解兩條直線AP,BP都平行于y軸，設(shè)直線A1A2，即點(diǎn)A處的切線與直線B1B2，即點(diǎn)B處的切線，兩切線的交點(diǎn)為E，兩直線AP,BO交于點(diǎn)G，則由帕斯卡六邊形定理和極限思想可推測(cè)知三點(diǎn)D,E,G三點(diǎn)共線，再由極限思想和圓錐曲線的極點(diǎn)與極線理論可推知，動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是點(diǎn)M的極線，易知極線方程為y=-2，顯然動(dòng)點(diǎn)D也在這條定直線上.

3.題3分析與解答

圖4