探析分段函數(shù)零點問題類型及解題策略*

福建省莆田第二中學(xué) (351131) 謝新華

近年來，分段函數(shù)零點問題在高考中越來越頻繁地出現(xiàn)，并且經(jīng)常處于客觀題的壓軸位置，解決此類問題需要綜合應(yīng)用“方程的根與函數(shù)的零點”等基礎(chǔ)知識．本文匯集了動直線型、絕對值型、遞推分段型、內(nèi)外復(fù)合型、對稱型等五種類型，通過探析這五類分段函數(shù)零點問題的解題策略，以期學(xué)生可以輕松解決此類問題，進而加深對分段函數(shù)的零點問題的理解．

一、動直線型

例1 已知函數(shù)f(x)=

圖1

二、絕對值型

例2 已知函數(shù)f(x)=

(1)若g(x)有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍是;

(2)設(shè)a,b,c,d是g(x)的4個零點，則abcd的取值范圍是.

解析:若函數(shù)g(x)=f(x)-k有4個零點，則y=f(x)的圖象與y=k有4個交點，作出函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖2，所以實數(shù)k的取值范圍是(0,2).

圖2

不妨設(shè)a

評析:本題(1)已知分段函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，通過對g(x)的解析式變形，把已知函數(shù)g(x)零點有4個零點轉(zhuǎn)化為直線y=k與函數(shù)f(x)圖象的交點的情況即可．本題(2)進一步探求四個零點乘積的取值范圍，是含多變元的問題，通過數(shù)形結(jié)合，尋找變元之間的等量關(guān)系達到了減元的目的，從而求得參數(shù)的范圍．

三、遞推分段型

圖3

解析:若函數(shù)g(x)=f(x)-kx有4個零點，則y=f(x)的圖象與y=kx(k>0)有4個交點，作出函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖3.

評析:本題已知分段函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，通過對g(x)的解析式變形，把已知函數(shù)g(x)零點有4個零點轉(zhuǎn)化為動直線y=kx與遞推分段函數(shù)f(x)圖象的交點的情況即可．

四、內(nèi)外復(fù)合型

圖4

解析:作出函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖4.

圖5

解析:作出函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖5.

令f(x)=t，設(shè)關(guān)于t的方程t2+t+m=0的兩根為t1,t2.因為關(guān)于x的方程f2(x)+f(x)+m=0有三個不同實數(shù)根，所以t1<1≤t2.此時y=f(x)圖象與y=t1有1個交點，y=f(x)圖象與y=t2有2個交點.

評析:本題已知內(nèi)外復(fù)合型函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍，通過換元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題，通過函數(shù)y=f(x)圖象與直線y=t1和直線y=t2的交點的情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象列式，求出參數(shù)的取值范圍．

五、對稱型

圖6

解析:作出函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖6.

當(dāng)x<0時，f(x)=

-ln(-x)，由f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，得g(x)=lnx(x>0).

評析:本題已知函數(shù)圖象的對稱情況求參數(shù)范圍，通過函數(shù)圖象的對稱變換，轉(zhuǎn)化為動直線y=kx-2(x>0)與函數(shù)g(x)圖象的交點的情況即可．