把握結構 “恰當”構造
——以高三復習中的一道函數(shù)不等式證明題為例

四川省溫江中學 (611130) 張 君

函數(shù)不等式問題是近年全國卷高考熱點，在解答證明過程中體現(xiàn)了對數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模、直觀想象等核心素養(yǎng)的考查.在具體構造操作中體會導數(shù)在研究函數(shù)問題中的工具性.解決函數(shù)不等式問題方法多、形式新、技巧性強、難度大，常見方法是把證明不等式問題轉化成求函數(shù)的最值問題，關鍵是“恰當”的構造函數(shù).如何做到更“恰當”？是學生解決此類問題的難點.在最近高三復習教學中，學生對一道函數(shù)不等式證明的診斷試題的解答普遍感到困難，部分卷面反應出有思路，但極少有做得很嚴謹、完整.筆者在教學中對此問題進行了一些探究和思考，僅供參考.

1.題目

(2020屆綿陽一診理21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2，a∈R，x∈(0,+∞).

(1)若f(x)存在極小值，求實數(shù)a的取值范圍；

2.解法探究

思路1：參變分離消參構造

①當00≥axlnx，不等式恒成立；

思路2：不等式放縮構造

先證不等式：ex≥x+1(當且僅當x=0時取等).令h(x)=ex-x-1，則h′(x)=ex-1，所以h(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，∴h(x)≥h(0)=0，即證.

思路3：直接作差構造

①當00≥axlnx，不等式恒成立；

評注：移項作差直接構造，轉化成差函數(shù)的最值問題，這是不等式證明最常見、最基本的方法，學生容易想到，也是學生的普遍的想法和解法，但要兩次用到隱零點，g(x)的最小值只能用隱形零點表示，還需要再次構造函數(shù)求g(x)的最小值的最小值大于0，過程復雜，運算能力要求很高，難度大.

思路4：變形作差構造

①當00≥axlnx，不等式恒成立；

又h(1)=-1<0，h(2)=0，所以當x∈(1,2)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當x∈(2,+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.g(x)≥g(2)=1-ln2>0，故g(x)>0，問題得證.

3.歸納提煉

3.1 方法凝煉

圖1

3.2 常見函數(shù)組合

(1)冪函數(shù)x(xn)與指數(shù)函數(shù)ex的運算組合

f(x)f(x)=exxf(x)=xexf(x)=x·ex圖像定義域{x|x≠0}RR單調(diào)性在(-∞,0)和(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減;在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞增;在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.在(-∞,-1)內(nèi)單調(diào)遞增;在(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.最值在(0,+∞)上有最小值f(1)=e在R上有最大值f(1)=1e在R上有最小值f(-1)=-1e

(2)冪函數(shù)x(xn)與對數(shù)函數(shù)lnx的運算組合

f(x)f(x)=lnxxf(x)=xlnxf(x)=x·lnx圖像定義域(0,+∞)(0,1)∪(1,+∞)(0,+∞)單調(diào)性在(0,e)內(nèi)單調(diào)遞增;在(e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.在(0,1)和(1,e)內(nèi)單調(diào)遞減;在(e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.在(0,1e)內(nèi)單調(diào)遞減;在(1e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.最值在(0,+∞)上有最大值f(e)=1e在(1,+∞)上有最小值f(e)=e在(0,+∞)上有最小值f(1e)=-1e

4.改編、創(chuàng)編

圖2

4.1 逆向改編成恒成立問題

改編題1 若ex>axlnx對?x∈(0,+∞)恒成立，求正整數(shù)a的最大值.

4.2 調(diào)整參數(shù)a的取值范圍

圖3

4.3 調(diào)整參數(shù)a的位置

圖4

5 牛刀小試

(1)求a,b；(2)求證：f(x)>1.

題目2 已知函數(shù)f(x)=(aex+ex)(ex+ex)與g(x)=e2x(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖像恰有三個不同的公共點則實數(shù)a的取值范圍是( ).

6.結語

在高三復習教學中，不僅要注重讓學生掌握解決問題的通性通法，更需要加強解題后的反思、總結、提煉，一題多解、一題優(yōu)解，引導學生細致分析問題的結構特點，厘清思路，體會命題者意圖，抓住指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和三角函數(shù)等核心知識，追根溯源，類比歸納、變化角度、改編創(chuàng)編，進而提出新的問題并加以解決，舉一反三，讓學生真正感受數(shù)學學習的樂趣，從而使高三復習更具深度.