基于發(fā)展核心素養(yǎng)的概念課教學(xué)設(shè)計(jì)*
——以“等比數(shù)列”教學(xué)為例

江西省南昌市豫章中學(xué) (330006) 陳 平

概念教學(xué)在高中數(shù)學(xué)中處于核心地位，基于發(fā)展核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，需要教師樹立為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)而教的意識，分析教學(xué)內(nèi)容所承載的核心素養(yǎng)內(nèi)涵，尋求實(shí)施策略，精心教學(xué)設(shè)計(jì).筆者以“等比數(shù)列”教學(xué)為例，創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生在解決問題過程中，深化對等比數(shù)列的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1.教學(xué)分析

1.1 教材內(nèi)容分析

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，是刻畫離散現(xiàn)象的函數(shù).等比數(shù)列是一種十分重要的數(shù)學(xué)模型，它起著承前啟后的作用.本節(jié)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)提供了很好的生長點(diǎn).具體如下:

教學(xué)內(nèi)容涉及的核心素養(yǎng)一覽表

1.2 學(xué)生學(xué)情分析

高一學(xué)生具有一定的理解、分析、概括和推理能力，邏輯思維能力也初步形成，由于年齡原因，思維盡管活躍，敏捷，但缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn).學(xué)生對數(shù)列及等差數(shù)列有了一定認(rèn)識，對方程和數(shù)列公式的應(yīng)用具備一定技能，但不全面、不透徹.

2.目標(biāo)分析

2.1 目標(biāo)設(shè)計(jì)

(1)通過生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念；探索并推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題；體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

(2)堅(jiān)持問題導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)問題情境，開展觀察、抽象、猜測、建模、運(yùn)算、推理、驗(yàn)證等探究活動，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．

(3)培養(yǎng)學(xué)生積極思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣和勇于探索的學(xué)習(xí)方法，在數(shù)學(xué)觀念上增強(qiáng)應(yīng)用意識，在個(gè)性品質(zhì)上培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣.

2.2 重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：理解等比數(shù)列的概念；體會等比數(shù)列是自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型；探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；利用歸納、類比的方法及己有知識解決實(shí)際問題.

教學(xué)難點(diǎn)：對等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式深刻理解；分析具體問題情景，建立等比數(shù)列模型，應(yīng)用概念和公式解決新問題.

3.教學(xué)方法

(1)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和求知欲望.營造民主的教學(xué)氛圍，把握好師生的情感交流，讓學(xué)生真正成為教學(xué)的主體，參與教學(xué)全過程，唱主角，老師任導(dǎo)演.

(2)讓學(xué)生在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題、探索規(guī)律，經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展，力求學(xué)會用類比的思想去分析問題，體會獲取知識的途徑和思考問題的方法.

(3)精心設(shè)計(jì)問題，以啟迪思維為核心，啟發(fā)有度，留有余地，導(dǎo)而弗牽，牽而弗達(dá).力求反饋的全面性、及時(shí)性,讓學(xué)生思維動起來，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.

4.教學(xué)過程

4.1 巧設(shè)情境，提出問題

問題1 小實(shí)驗(yàn)：已知一張正方形白紙的厚度為1、面積為1,將白紙一次次對折.看清楚:紙的厚度和面積將怎樣變化?

學(xué)生:填表.

折012345…厚度12481632…面積1121418116132…

學(xué)生眾說紛紜:可以,不可以,氣氛熱烈.

學(xué)生:不可以.因?yàn)樗侵笖?shù)函數(shù)y=2x，當(dāng)x取正整數(shù)的函數(shù)值.由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知,當(dāng)自變量增大時(shí),函數(shù)值增大非?？?

教師:很好,是這樣嗎?我們一起來看看:如果一頁紙的厚度按0.04毫米計(jì)算,當(dāng)折到第28次的時(shí)候,請大家估算一下紙的總厚度.

0.04毫米=0.04×10-3米,厚度為:228×0.04×10-3=10737.41824米.

眾學(xué)生:哦！比珠穆郎瑪峰還要高呀！

有學(xué)生：指數(shù)“大爆炸”！

問題2 南昌市今年工業(yè)總產(chǎn)值為a元，計(jì)劃在以后5年中每年比上一年產(chǎn)值增長10%，試列出從今年起6年的產(chǎn)值(單位:元).

學(xué)生:這6年的產(chǎn)值分別為:a,1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.

設(shè)計(jì)意圖:以小游戲開頭,且此結(jié)果出乎預(yù)料,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.通過現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例,用數(shù)學(xué)語言來描述、抽象成數(shù)列問題,感悟數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).

4.2 共性歸納，生成概念

問題3 觀察剛得到的三個(gè)數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？

學(xué)生:從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù).

教師:對.類比等差數(shù)列定義,能得出什么結(jié)論?并用準(zhǔn)確、規(guī)范的語言表述出來.

學(xué)生:一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).

教師:非常準(zhǔn)確、規(guī)范.這就是我們今天要學(xué)的等比數(shù)列的定義.等比數(shù)列的數(shù)學(xué)表達(dá)式怎樣?

學(xué)生1：有序性:從第2項(xiàng)起每項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，而不是與其它項(xiàng)的比.

學(xué)生2：任意性:從第2項(xiàng)起任意項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比是常數(shù).

學(xué)生3：同一性：每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一常數(shù).

學(xué)生4：確定性：公比q≠0，在等比數(shù)列中沒有數(shù)值為零的項(xiàng).

教師:大家歸納的非常好,說明同學(xué)們對定義有一定的理解.從等比數(shù)列的定義來看,它有四個(gè)特點(diǎn):①有序性;②任意性;③同一性;④確定性.

設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生充分發(fā)表自己的見解，強(qiáng)化學(xué)生的主體地位.觀察、分析、挖掘具體數(shù)列共性,類比等差數(shù)列的概念,提煉出等比數(shù)列的定義、數(shù)學(xué)表達(dá)式及特點(diǎn)、抽象出等比數(shù)的概念，體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生語言表達(dá)能力，歸納總結(jié)能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

4.3 自主探究，辨析概念

問題4 以下數(shù)列中，哪些是等比數(shù)列?

(3)1，2，4，8，12，16，20；(4)a,a2,a3,…,an；

請學(xué)生辨析，教師一一點(diǎn)評.

設(shè)計(jì)意圖:巧設(shè)一組含蓋各種情況的問題,讓學(xué)生自主探究，辨析概念,進(jìn)一步加強(qiáng)對概念的理解和認(rèn)識，建立等比數(shù)列有關(guān)命題，構(gòu)建等比數(shù)列模型，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

4.4 類比推理，拓展概念

問題5 設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式an.

學(xué)生:an=a1qn-1,n∈N+.可用類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的方法來推導(dǎo),如歸納法、疊加法.

教師:很好.下面大家各自推導(dǎo),請三位同學(xué)上來做.

學(xué)生1:由等比數(shù)列的定義知道：

在這個(gè)公式里，如果令n=1，a1=a1q1-1=a1q0=a1.這就是說，當(dāng)n∈N+時(shí)，an=a1qn-1總成立.

教師:這是用不完全歸納法.注意：以上過程不是證明，我們以后可用數(shù)學(xué)歸納法來完成證明.

將各式相乘，即得an=a1qn-1.由于n=1時(shí)，等式成立，所以n∈N+.

教師:這叫疊乘法.

學(xué)生3:an=an-1q=an-2q2=an-3q3=...=a2qn-2=a1qn-1.∴an=a1qn-1.由于n=1時(shí)，上式成立，所以n∈N+.

教師:這叫迭代法.大家類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法,分別用了三種不同的方法推導(dǎo)出等比數(shù)列通項(xiàng)公式:an=a1qn-1,n∈N+.

問題6 類比等差數(shù)列,寫出等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系.

學(xué)生:an=amqn-m(n∈N+,m∈N+).

設(shè)計(jì)意圖:采用類比等差數(shù)列的方法，讓學(xué)生觀察、分析、猜想、驗(yàn)證、證明等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和任意兩項(xiàng)間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生歸納、類比、演繹的推理能力.探索和表述有關(guān)代數(shù)論證的思路和過程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

4.5 問題驅(qū)動，應(yīng)用概念

問題7 1.在等比數(shù)列{an}中,(1)a2=18，a4=8，求a1和q；(2)a5-a1=15，a4-a2=6，求a3.

學(xué)生一邊做,教師逐一點(diǎn)評,看學(xué)生完成后.

教師:同學(xué)做得非常好.這是等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的應(yīng)用,大家做完后有何體會?

學(xué)生1:“知三求一”.在等比數(shù)列中:首項(xiàng)a1，公比q，項(xiàng)數(shù)n，第n項(xiàng)an，若知道其中的三個(gè)，那么就可以求出另一個(gè).

教師:很好,這是方程的思想.還有嗎?

學(xué)生2:兩個(gè)獨(dú)立條件，可求出等比數(shù)列的各項(xiàng).與等差數(shù)列的解題方法一樣,在等比數(shù)列中,己知兩個(gè)獨(dú)立條件,可以列出兩個(gè)方程,解聯(lián)立方程組,可以求出首項(xiàng)a1，公比q,根據(jù)通項(xiàng)公式可以求出等比數(shù)列的各項(xiàng).

設(shè)計(jì)意圖:類比等差數(shù)列的解題方法，應(yīng)用等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式解決實(shí)際問題，進(jìn)一步深化對等差數(shù)列、等比數(shù)列內(nèi)在聯(lián)系的理解.理解等比數(shù)列的實(shí)質(zhì)，掌握等比數(shù)列通項(xiàng)的運(yùn)算法則，設(shè)計(jì)求等比數(shù)列通項(xiàng)的運(yùn)算程式，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

4.6 引申鋪墊，遷移概念

問題8 在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，有an=3an-1+2，求an.

全班頓時(shí)鴉雀無聲，多數(shù)同學(xué)臉上愁云密布，思考片刻，看到有同學(xué)眼睛放光后,教師提問兩名學(xué)生.

學(xué)生1:從an=3an-1+2中可以看出{an}并非等比數(shù)列但是可以想辦法構(gòu)造一個(gè)新的與an有關(guān)的等比數(shù)列.

教師：思路非常好！關(guān)系式不是等比數(shù)列,想辦法轉(zhuǎn)化成一個(gè)新的等比數(shù)列來求解,如何變形來轉(zhuǎn)化？

學(xué)生2:把常數(shù)2處理掉.

學(xué)生3:在關(guān)系式兩邊都加1，得an+1=3(an-1+1)，數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以有an=2·3n-1-1.

教師：很好,就是在關(guān)系式兩邊都加1，有時(shí)通過直觀比較難發(fā)現(xiàn),有通法嗎?

學(xué)生4:設(shè)an+λ=3(an-1+λ)，an=3an-1+2λ，對比an=3an-1+2，得λ=1,于是，得an+1=3(an-1+1).

教師：用待定系數(shù)法可解決，非常好.還有不同的做法嗎？

學(xué)生5:由已知遞推式，得an+1=3an+2，an=3an-1+2(n≥2).上述兩式相減，得an+1-an=3(an-an-1).因此，數(shù)列{an+1-an}是以a2-a1=4為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.所以an+1-an=4·3n-1，即3an+2-an=4·3n-1.所以an=2·3n-1-1.

教師：形如an=pan-1+q(p,q為常數(shù))的數(shù)列，可以用以上兩種方法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列來求其通項(xiàng)公式.

設(shè)計(jì)意圖:根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論,設(shè)置問題情境，讓學(xué)生“跳一跳”，又能夠得著，從而激發(fā)學(xué)生的探究興趣，把課堂推向高潮.培養(yǎng)學(xué)生能依據(jù)具體情況，抽象出其中等比數(shù)列的數(shù)量關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

5.教學(xué)反思

5.1 吃透教材內(nèi)容，把握概念教學(xué)著力點(diǎn)

教學(xué)內(nèi)容是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的載體和土壤，教材是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要的資源，吃透教材，理解好教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)設(shè)計(jì)中落實(shí)學(xué)生的核心素養(yǎng)，就有了固著點(diǎn)，在教學(xué)實(shí)施中發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)就有了生長點(diǎn). 這兩者結(jié)合，就是我們教學(xué)的著力點(diǎn).鑒于等差數(shù)列與等比數(shù)列有許多類似的特點(diǎn),本節(jié)課牢牢地抓住類比的方法這一著力點(diǎn)，就兩者的定義、性質(zhì)、公式、解題方法等方面的異同進(jìn)行類比，建立等比數(shù)列的概念，深化對等差數(shù)列，等比數(shù)列內(nèi)在聯(lián)系的理解，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

5.2 堅(jiān)持問題驅(qū)動，設(shè)計(jì)合理的問題情境

問題驅(qū)動是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則之一.問題應(yīng)基于概念的本質(zhì)來精心設(shè)計(jì)，做到環(huán)環(huán)相扣,層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生思考、探索，突出重點(diǎn)，化解難點(diǎn)，幫助學(xué)生鋪設(shè)通往新知的道路.教學(xué)目標(biāo)，既是課堂教學(xué)的起點(diǎn)，又是課堂教學(xué)的歸宿，支配著教學(xué)的全過程.

5.3 注重過程變化，體現(xiàn)概念“源”與“流”

數(shù)學(xué)概念的形成過程是一個(gè)歸納、概括、抽象的過程.學(xué)生對于概念的理解，一般要經(jīng)歷“了解—理解—應(yīng)用—見解”逐步深入的過程.所以概念教學(xué)也需要分四步走，首先了解概念的形成過程；其次是加強(qiáng)對概念的理解、認(rèn)識；再次是對概念的應(yīng)用；最后提出見解，抑或是反思及再創(chuàng)造.要講清楚概念的“源”與“流”.“源”講的是數(shù)學(xué)知識發(fā)生過程，“流”講的是數(shù)學(xué)知識的發(fā)生演變.教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的過程，揭示概念的來龍去脈.