圓周運動問題的求解策略

■河南省平頂山市第一中學

圓周運動包含水平面內(nèi)的勻速圓周運動和豎直面內(nèi)的變速圓周運動兩類模型，求解圓周運動問題不僅需要熟練掌握圓周運動相關概念、規(guī)律和公式，還需要靈活選用解題技巧和方法。下面舉例分析。

一、水平面內(nèi)圓周運動問題的求解策略

1.明確運動形式：研究對象在水平面內(nèi)沿圓周做速度大小不變的運動。

2.確定向心力來源：向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力。在勻速圓周運動中，向心力是由物體受到的合外力來提供的，它只能改變速度的方向，不能改變速度的大小。向心力是變力，其大小。

3.正確進行受力分析：沿半徑方向和垂直于半徑方向將研究對象受到的各力進行分解，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列方程。

4.合理選擇過程分析：根據(jù)題意選擇滿足動能定理或機械能守恒定律的運動過程，應用動能定理或機械能守恒定律將初、末兩個狀態(tài)聯(lián)系起來列方程求解。

例1如圖1甲所示，一質量為m的小球系在兩根不可伸長的輕繩a、b一端，兩輕繩的另一端拴接在豎直桿上的A、B兩點上。當兩輕繩伸直時，輕繩a與豎直桿間的夾角θ=30°，輕繩b水平，如圖1乙所示。已知輕繩a的長度為2L。豎直桿以自己為軸轉動，在其角速度ω從零開始緩慢增大的過程中（不同ω對應的軌跡可看成是穩(wěn)定的圓周運動軌跡），下列說法正確的是（ ）。

A.從開始至輕繩b伸直但不提供拉力時，輕繩a對小球做的功為0

B.從開始至輕繩b伸直但不提供拉力時，小球的動能增加了

C.從開始至輕繩b伸直但不提供拉力時，輕繩a對小球做的功為

答案：BC

點評：從開始至輕繩b伸直但不提供拉力，輕繩a對小球要做功。因為圓周運動的軌跡發(fā)生變化，輕繩a的拉力為變力，所以可以先根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式求出輕繩b剛要伸直時小球的速度，再根據(jù)動能定理求得輕繩a對小球做的功。根據(jù)角速度與速度的關系分析輕繩b剛要伸直時小球的角速度，進而可判斷出當時輕繩b是否伸直。

二、豎直面內(nèi)圓周運動問題的求解策略

1.明確物理模型：判斷是輕繩模型還是輕桿模型。

3.確定研究狀態(tài)：在高中階段研究的豎直平面內(nèi)的圓周運動只涉及最高點和最低點的運動情況。

5.合理選擇過程分析：根據(jù)題意選擇滿足動能定理或機械能守恒定律的運動過程，應用動能定理或機械能守恒定律將初、末兩個狀態(tài)聯(lián)系起來列方程求解。

例2如圖2所示，細線的一端系一質量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運動。若小球在豎直向上方向上受到恒力F的作用，為使小球能做完整的圓周運動，在最低點B小球至少應有多大的初速度？

解析

小球在運動過程中，受到重力mg、拉力T和恒力F三個力的作用。根據(jù)重力mg和恒力F的大小關系分兩種情況討論。

（1）若F＜mg，則物理上的最高點與幾何上的最高點重合，為A點。設小球能通過A點的臨界速度為vA，由牛頓第二定律和向心力公式得，解得。對小球從B點運動到A點的過程應用動能定理得。

（2）若F＞mg，則物理上的最高點是B點。設小球能通過B點的臨界速度為vB，由牛頓第二定律和向心力公式得，解得。

例3一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細圓管位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細管的內(nèi)徑大得多），圓管中有兩個直徑比細管內(nèi)徑略小的小球A、B（可視為質點）。小球A的質量為m1，小球B的質量為m2，它們沿環(huán)形細圓管順時針運動，經(jīng)過最低點時的速度都為v0。設小球A運動到最低點時，小球B恰好運動到最高點，若要此時兩小球作用于圓管的合力為零，請寫出用m1、m2、R來表示v0的關系式。

解析

點評：本題涉及的物理模型是輕桿模型，但是題目的設問“不按常理出牌”，要求考生根據(jù)題目所給條件寫出m1、m2、R來表示v0的關系式，有的同學看到題目就會有無從下手的感覺，導致直接放棄求解。

感悟與提高

1.如圖4所示，一個內(nèi)壁光滑的圓錐形筒的軸線垂直于水平面，圓錐形筒固定不動，有兩個質量相等的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運動，則以下說法中正確的是（ ）。

A.小球A的角速度等于小球B的角速度

B.小球A的線速度大于小球B的線速度

C.小球A的運動周期小于小球B的運動周期

D.小球A對筒壁的壓力大于小球B對筒壁的壓力

2.如圖5所示，半徑為R的光滑球體固定在水平面上，從球體的最高點A由靜止釋放一個質量為M的小滑塊，求小滑塊在下滑過程中離開球體時的位置和速率。

3.如圖6所示，輕桿OA的長度l=0.5 m，A端固定一質量m=3kg的小球，小球以O點為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運動，取重力加速度g=10 m/s2。當小球通過最高點的速率為2m/s時，求輕桿OA受到的力。

參考答案：1.B

3.輕桿OA受到大小為6N的壓力。