例析求解平拋運(yùn)動(dòng)常見(jiàn)問(wèn)題的常用方法

■江西省南康中學(xué)

平拋運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)合成與分解的典型應(yīng)用，也是重要的考點(diǎn)和命題熱點(diǎn)。與平拋運(yùn)動(dòng)相關(guān)的常見(jiàn)問(wèn)題，有直接運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的問(wèn)題，也有平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)相組合的問(wèn)題，還有平拋運(yùn)動(dòng)與天體運(yùn)動(dòng)相組合的問(wèn)題，求解這些問(wèn)題往往需要靈活運(yùn)用動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律和能量守恒定律等。下面通過(guò)實(shí)例剖析求解平拋運(yùn)動(dòng)常見(jiàn)問(wèn)題的常用方法。

一、直接運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的問(wèn)題

處理平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般將運(yùn)動(dòng)沿初速度方向和重力方向進(jìn)行分解，按照分運(yùn)動(dòng)規(guī)律列式，另外需要挖掘和利用好合運(yùn)動(dòng)、分運(yùn)動(dòng)及題設(shè)情景之間的幾何關(guān)系。遇到直接運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的問(wèn)題時(shí)，需要關(guān)注平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，判斷是分解位移還是分解速度，確定平拋運(yùn)動(dòng)的速度偏向角、位移偏向角和兩者間的關(guān)系，靈活應(yīng)用軌跡方程列式求解。

例1如圖1所示，墻壁上落有兩只飛鏢，它們是從同一位置水平射出的，飛鏢A與豎直墻壁成53°角，飛鏢B與豎直墻壁成37°角，兩者落點(diǎn)間的距離為d，假設(shè)飛鏢的運(yùn)動(dòng)是平拋運(yùn)動(dòng)。求飛鏢射出點(diǎn)離墻壁的水平距離。（sin53°=0.8，cos53°=0.6）。

解析

點(diǎn)評(píng)：本題中飛鏢的運(yùn)動(dòng)是平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向上的運(yùn)動(dòng)受到空間的約束，因此飛鏢的運(yùn)動(dòng)時(shí)間由沿水平方向的分運(yùn)動(dòng)決定，可以根據(jù)x=v0t表示出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再用時(shí)間表示出豎直方向上的分位移，根據(jù)兩飛鏢的豎直距離之差等于d，即可求解水平距離。

例2如圖2所示，A、B兩小球用長(zhǎng)l=5 m的細(xì)線相連，先后將兩小球從平臺(tái)的邊緣相隔Δt=0.4s時(shí)間水平拋出，兩小球被拋出時(shí)的速度均為v0=7.5m/s，問(wèn)：在小球A被拋出后多長(zhǎng)時(shí)間A、B兩小球之間的細(xì)線正好被拉直？（取重力加速度g=10m/s2）。

解析

小球B剛要被拋出時(shí)，小球A發(fā)生位移的水平分量x=v0·Δt=3 m，豎直分量，兩小球之間的距離，表明小球B被拋出一段時(shí)間后細(xì)線才能被拉直。假設(shè)小球B被拋出后經(jīng)過(guò)時(shí)間t細(xì)線被拉直，小球A發(fā)生位移的水平分量xA=v0（t+Δt），豎直分量，小球B發(fā)生位移的水平分量xB=v0t，豎直分量。在水平方向上兩小球之間的距離Δx=xA-xB=3m，根據(jù)勾股定理可知，在豎直方向上兩小球之間的距離，又有Δy=yA-yB，解得t=0.8s。因此小球A被拋出后經(jīng)過(guò)1.2s時(shí)間A、B兩小球之間的細(xì)線正好被拉直。

點(diǎn)評(píng)：本題中兩小球相隔0.4s以相同的初速度拋出，兩小球在水平方向上的位移差恒定，因此可以對(duì)小球運(yùn)動(dòng)的位移進(jìn)行分解。若突出落點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，一般要通過(guò)建立水平位移和豎直位移之間的關(guān)系列式求解。

例3從空中同一點(diǎn)沿水平方向同時(shí)拋出兩個(gè)小球，它們的初速度大小分別為v1和v2，初速度方向相反，重力加速度為g，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩小球速度之間的夾角為90°？

點(diǎn)評(píng)：求解本題時(shí)，先利用平拋運(yùn)動(dòng)任意時(shí)刻的兩個(gè)分速度與合速度構(gòu)成的矢量直角三角形，分別對(duì)兩小球構(gòu)建速度矢量直角三角形，再利用兩小球速度偏向角之間的關(guān)系和三角函數(shù)知識(shí)即可順利求得時(shí)間。若問(wèn)題中突出末速度的大小和方向時(shí)，一般要通過(guò)建立水平速度和豎直速度之間的關(guān)系列式求解。

例4從高為H的A點(diǎn)平拋一物體，其水平射程為2s，在A點(diǎn)正上方高為2H的B點(diǎn)，向同一方向平拋另一物體，其水平射程為s。兩物體的運(yùn)動(dòng)軌跡在同一豎直平面內(nèi)且都恰好從同一屏的頂端擦過(guò)，求屏的高度。

解析

點(diǎn)評(píng)：若平拋運(yùn)動(dòng)中多次用到分位移x和y，則一般可以考慮用平拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程解決。注意在應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程解題時(shí)，要記清平拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程為。

二、平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)相組合的問(wèn)題

解決平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)相組合的問(wèn)題時(shí)，需要獨(dú)立用好平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，并重視兩種運(yùn)動(dòng)銜接處的物理量之間的聯(lián)系，還需要用好動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律或能量守恒定律等。

例5如圖5所示，餐桌中心是一個(gè)半徑r=1.5 m的圓盤(pán)，圓盤(pán)可繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，近似認(rèn)為圓盤(pán)與餐桌在同一水平面內(nèi)且兩者之間的間隙可忽略不計(jì)。已知放置在圓盤(pán)邊緣的小物體與圓盤(pán)之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.6，與餐桌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.225，餐桌離地高度h=0.8m。設(shè)小物體與圓盤(pán)、餐桌之間的最大靜摩擦力都等于滑動(dòng)摩擦力，小物體可視為質(zhì)點(diǎn)，取重力加速度g=10m/s2。

（1）為使小物體不滑到餐桌上，圓盤(pán)的角速度ω的最大值為多少？

（2）緩慢增大圓盤(pán)的角速度，小物體從圓盤(pán)上甩出，為使小物體不滑落到地面上，餐桌半徑R的最小值為多大？

（1）當(dāng)小物體在圓盤(pán)上隨圓盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓盤(pán)對(duì)小物體的靜摩擦力提供向心力，隨著圓盤(pán)轉(zhuǎn)速的增大，小物體受到的靜摩擦力增大。當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，小物體即將滑落，此時(shí)圓盤(pán)的角速度達(dá)到最大，則fmax=μ1N=mω2r，N=mg，解得ω=2rad/s。

（2）當(dāng)小物體滑到餐桌邊緣速度恰好減為零時(shí)，對(duì)應(yīng)的餐桌半徑取最小值。設(shè)小物體在餐桌上滑動(dòng)的位移為s，小物體在餐桌上做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，則f=μ2mg=ma，解得a=2.25m/s2，小物體在餐桌上滑動(dòng)的初速度v0=ωr=3m/s。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得v2t-v20=-2as，解得s=2 m。由幾何關(guān)系可知，餐桌半徑的最小值。

（3）小物體滑離餐桌后做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋的初速度為小物體在餐桌上滑動(dòng)的末速度v1′，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得，由幾何關(guān)系得，解得v1′=1.5m/s。設(shè)小物體做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則，解得t=0.4s。因此小物體做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移sx=v1′t=0.6 m，由幾何關(guān)系得L=s′+sx=2.1m。

點(diǎn)評(píng)：小物體在圓盤(pán)上隨圓盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)小物體受到的最大靜摩擦力提供向心力可求得圓盤(pán)的最大角速度。小物體從圓盤(pán)上甩出后在餐桌上做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得通過(guò)的位移，利用幾何關(guān)系可求得餐桌的最小半徑。小物體滑離餐桌后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得脫離餐桌時(shí)的速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和幾何關(guān)系可求得落地點(diǎn)與從圓盤(pán)上甩出時(shí)的位置間的水平距離L。

例6如圖6所示，一個(gè)質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以某一初速度v0從A點(diǎn)水平拋出，恰好從圓管BCD的B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓管，從圓管BCD的最高點(diǎn)D射出，恰好又落到B點(diǎn)。已知A點(diǎn)與D點(diǎn)在同一水平線上，圓弧BC所對(duì)圓心角θ=60°，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。求：

（1）圓管BCD的半徑R的大小。

（2）在D點(diǎn)管壁對(duì)小球的彈力N。

（3）小球在圓管BCD中運(yùn)動(dòng)時(shí)克服阻力做的功W阻。

本文設(shè)計(jì)了以可調(diào)衰減器和定向耦合器為核心器件的發(fā)射機(jī)互調(diào)發(fā)射測(cè)量鏈路，建立了基于衰減量調(diào)節(jié)的互調(diào)發(fā)射抑制比測(cè)量方法，并以某型電臺(tái)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，對(duì)fc=|ft±fj|、fc=|2ft±fj|、fc=|3ft±fj|、fc=|2ft±2fj|和fc=|2fj±ft|等10種互調(diào)發(fā)射類型的互調(diào)發(fā)射抑制比進(jìn)行了測(cè)量.所有測(cè)量結(jié)果均符合本文的分析結(jié)論，說(shuō)明本文提出的測(cè)量方法是合理可行，測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確可信.

點(diǎn)評(píng)：小球先做平拋運(yùn)動(dòng)，后做豎直面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動(dòng)，最后又做平拋運(yùn)動(dòng)，這是一個(gè)平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)多過(guò)程的組合問(wèn)題。用好平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，抓住“小球從圓管BCD的B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓管”這一條件，對(duì)小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度進(jìn)行分解，即可求得R。分析小球在最高點(diǎn)D時(shí)的受力情況，利用向心力公式即可求得N。選取合適的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，利用動(dòng)能定理即可求得W阻。

例7如圖7所示，半徑為R的光滑半圓槽豎直固定在水平地面上，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球以大小為4m/s的初速度向左進(jìn)入半圓槽，小球通過(guò)最高點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)。若小球做平拋運(yùn)動(dòng)有最大水平位移，取重力加速度g=10m/s2，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.最大水平位移為1.2m

B.當(dāng)R=0.3 m時(shí)，小球做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移最大

C.小球落地時(shí)，速度方向與水平地面成45°角

D.小球落地時(shí)的速度大小為4m/s

答案：CD

點(diǎn)評(píng)：小球先在光滑半圓槽上做變速圓周運(yùn)動(dòng)，再做平拋運(yùn)動(dòng)。利用機(jī)械能守恒定律可求出小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，利用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以把水平位移表示出來(lái)，利用二次函數(shù)可求出水平位移的最大值。

三、平拋運(yùn)動(dòng)與天體運(yùn)動(dòng)相組合的問(wèn)題

解決物體在星球表面做平拋運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題時(shí)，需要抓住平拋運(yùn)動(dòng)的加速度等于重力加速度這一條件，熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法處理平拋運(yùn)動(dòng)，再靈活選用天體運(yùn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)求解各物理量。

例8假設(shè)一航天員站在一星球表面上的某高度處，沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為l。若將小球拋出時(shí)的初速度增大到原來(lái)的2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，引力常量為G，求該星球的第一宇宙速度的大小。

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)兩次平拋運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)系可求出小球做平拋運(yùn)動(dòng)的高度h，利用萬(wàn)有引力定律相關(guān)公式可確定重力加速度g′，依據(jù)物體繞星體做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的供需關(guān)系可求出第一宇宙速度v1。

感悟與提高

1.在離地面某高處，第一次將小球以初速度v0水平拋出，第二次沿著小球在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡設(shè)置一條光滑軌道，改為將小球在此軌道上與第一次同一高度由靜止釋放。已知小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終不脫離軌道，不計(jì)空氣阻力。比較兩次小球的運(yùn)動(dòng)，以下說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等

B.著地時(shí)的速度大小相等

C.著地時(shí)的速度方向相同

D.在豎直方向上的分運(yùn)動(dòng)都是自由落體運(yùn)動(dòng)

2.車手要駕駛一輛汽車飛越寬度為d的河流，在河岸左側(cè)建起如圖9所示的高為h、傾角為α的斜坡，車手駕車從河岸左側(cè)沖上斜坡并從頂端飛出，接著無(wú)碰撞地落在右側(cè)高為H、傾角為θ的斜坡上，順利完成了飛越。已知h＞H，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間，汽車可看成質(zhì)點(diǎn)，忽略汽車在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的空氣阻力，根據(jù)題設(shè)條件可以確定（ ）。

A.汽車在左側(cè)斜坡上加速的時(shí)間t

B.汽車離開(kāi)左側(cè)斜坡時(shí)的動(dòng)能Ek

C.汽車在空中飛行的最大高度Hmax

D.兩斜坡的傾角滿足α＜θ

3.如圖10所示，在豎直放置的半圓形容器的中心O點(diǎn)分別以水平初速度v1、v2拋出兩個(gè)小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），最終它們分別落在圓弧上的A點(diǎn)和B點(diǎn)。已知OA與OB互相垂直，且OA與豎直方向成α角，則兩小球的初速度大小之比為（ ）。

4.一根長(zhǎng)為0.8 m的繩子，當(dāng)受到7.84N的拉力時(shí)即被拉斷，若在此繩的一端拴一個(gè)質(zhì)量為0.4kg的物體，使物體以繩子的另一端為圓心在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)繩子斷裂（取重力加速度g=9.8m/s2）。求：

（1）物體運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)的角速度和線速度各是多大？

（2）若繩子斷裂時(shí)物體距地面高4.9 m，則經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間物體落至地面？

（3）物體落地處距拋出點(diǎn)的水平距離多大？落地時(shí)物體的速度多大？

5.如 圖11所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道由四分之一圓弧AB和拋物線BC組成，圓弧半徑OA水平，B點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)。已知圖中h=2m，，取重力加速度g=10m/s2。

（1）一小環(huán)套在軌道上從A點(diǎn)由靜止滑下，當(dāng)它在BC段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與軌道之間無(wú)相互作用力，求圓弧AB的半徑。

（2）若小環(huán)因微小擾動(dòng)從B點(diǎn)由靜止而開(kāi)始滑下，求小環(huán)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的水平分量的大小。

6.在21世紀(jì)，我國(guó)適時(shí)地啟動(dòng)了嫦娥工程，開(kāi)展了深空探測(cè)活動(dòng)，為我國(guó)的航天事業(yè)創(chuàng)立了新的里程碑。嫦娥工程分為“無(wú)人月球探測(cè)”“載人登月”和“建立月球基地”三個(gè)階段。假設(shè)某航天員登月后站在距月球表面h高度處，以初速度v0沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落到月球表面上。已知月球的半徑為R，引力常量為G。求：

（1）月球表面的重力加速度g。

（2）小球落地時(shí)的速度v。

（3）月球的第一宇宙速度v1。

參考答案：1.C 2.CD 3.C

4.（1）ω=3.5rad/s，v=2.8 m/s；（2）t=1s；（3）x=2.8m，v′=10.19m/s。