含彈簧系統(tǒng)的動(dòng)量與動(dòng)能問題的分析

■甘肅省天水市麥積區(qū)向榮學(xué)校

彈簧是高中物理中最常見的模型之一，它既是物理概念的抽象應(yīng)用（物理模型），又是重要物理規(guī)律的實(shí)際應(yīng)用（問題載體），利用彈簧的這一特點(diǎn)，可以設(shè)計(jì)出含彈簧系統(tǒng)的動(dòng)量與動(dòng)能的綜合題，較好地考查考生對動(dòng)量與動(dòng)能概念和規(guī)律的理解和應(yīng)用程度。下面結(jié)合例子進(jìn)行討論。

一、含彈簧系統(tǒng)的動(dòng)量與動(dòng)能的概念和規(guī)律

1.理想化彈簧的特點(diǎn)：①在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力F與形變量x成正比，即F=kx；②在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈性勢能Ep與形變量x的平方成正比，即；③運(yùn)動(dòng)物體受到的其他力與彈簧彈力平衡時(shí)，加速度為零，速度最大，動(dòng)能最大；④運(yùn)動(dòng)物體壓縮（拉伸）彈簧形變量最大時(shí)，物體的速度為零，動(dòng)能為零，彈簧的彈性勢能最大；⑤在只有重力和彈簧彈力做功的過程，含彈簧的系統(tǒng)機(jī)械能守恒；⑥彈簧彈力對物體做的功等于彈簧彈性勢能的變化量，即W=-ΔEp。

二、含彈簧系統(tǒng)的動(dòng)量與動(dòng)能綜合題的分析

例題（2019年高考全國Ⅲ卷）如圖1所示，靜止在水平地面上的小物塊A、B的質(zhì)量分別為mA=1kg，mB=4kg，兩者之間有一被壓縮的微型彈簧，物塊A與其右側(cè)的豎直墻壁間的距離l=1 m。某時(shí)刻，將壓縮的微型彈簧釋放，使A、B兩物塊瞬間分離，兩物塊獲得的動(dòng)能之和Ek=10J。將彈簧釋放后，物塊A沿著與墻壁垂直的方向向右運(yùn)動(dòng)。兩物塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2，取重力加速度g=10m/s2。兩物塊在運(yùn)動(dòng)過程中涉及的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時(shí)間極短。

（1）求將彈簧釋放后瞬間兩物塊速度的大小。

（2）兩物塊中的哪一個(gè)先停止？該物塊剛停止時(shí)物塊A與B間的距離是多少？

（3）物塊A和B都停止時(shí)，物塊A與B間的距離是多少？

解析

（1）將彈簧釋放的過程中，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒。設(shè)兩物塊的速度大小分別為vA、vB，取向右為正，由動(dòng)量守恒定律得0=mAvA-mBvB，由機(jī)械能守恒定律得，解得vA=4m/s，vB=1m/s。

（2）兩物塊分離后朝相反方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，因兩物塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相等，故兩物塊的加速度大小相等，設(shè)為a。假設(shè)物塊A和墻壁發(fā)生碰撞前，已經(jīng)有一個(gè)物塊停止，那么此物塊應(yīng)該為彈簧釋放后速度較小的物塊B。設(shè)從彈簧釋放到物塊B停止所需的時(shí)間為t，物塊B向左運(yùn)動(dòng)的路程為sB，則，vBat=0，解得a=2m/s2，t=0.5s，sB=0.25m。在時(shí)間t=0.5s內(nèi)，物塊A可能與墻壁發(fā)生碰撞，碰撞后物塊A向左運(yùn)動(dòng)，但碰撞并不改變物塊A的速度大小，因此無論此碰撞是否發(fā)生，物塊A在時(shí)間t=0.5s內(nèi)的路程sA都可以表示為，解得sA=1.75m。sA＞l表明物塊A在時(shí)間t=0.5s內(nèi)與墻壁發(fā)生了碰撞，但沒有與物塊B發(fā)生碰撞，此時(shí)物塊A位于出發(fā)點(diǎn)右側(cè)0.25m處，物塊B位于出發(fā)點(diǎn)左側(cè)0.25 m處，兩物塊間的距離Δs=0.25m+0.25m=0.5m。

（3）物塊B停止后物塊A將繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)，假設(shè)它能與靜止的物塊B發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)的速度大小為vA′，由動(dòng)能定理得，解得，因此物塊A與B將發(fā)生碰撞。設(shè)兩物塊碰撞后的速度分別為vA″、vB″，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得。這表明碰撞后物塊A將向右運(yùn)動(dòng)，物塊B將向左運(yùn)動(dòng)。設(shè)碰撞后物塊A向右運(yùn)動(dòng)距離為sA′時(shí)停止，物塊B向左運(yùn)動(dòng)距離為sB′時(shí)停止，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得2asA′=vA″2，2asB′=vB″2，解得sA′=0.63m，sB′=0.28 m。因?yàn)閟A′小于碰撞處到墻壁的距離，所以兩物塊都停止時(shí)二者間的距離Δs′=sA′+sB′=0.91m。

點(diǎn)評：本題中包含兩個(gè)碰撞過程，碰撞過程中動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒；兩物塊分離后的運(yùn)動(dòng)過程都是勻減速運(yùn)動(dòng)。求解本題的難點(diǎn)在于分析清楚兩物塊分離后，物塊B先靜止，物塊A與墻壁碰撞反彈再與物塊B碰撞，最后兩物塊朝相反方向運(yùn)動(dòng)直至靜止。

方法與總結(jié)

求解含彈簧系統(tǒng)的綜合性問題，首先要通過受力分析，弄清楚運(yùn)動(dòng)過程的性質(zhì)和遵從的規(guī)律，比如是勻速運(yùn)動(dòng)還是勻變速運(yùn)動(dòng)，是動(dòng)量守恒還是機(jī)械能守恒；其次要根據(jù)運(yùn)動(dòng)過程的特點(diǎn)，采用合理的方法分析，比如若整個(gè)過程比較復(fù)雜，則可以分成幾個(gè)典型的過程分段處理；再次，要抓住聯(lián)系不同運(yùn)動(dòng)過程的物理量，比如抓住“前一過程的末速度就是后一過程的初速度”這一條件。

感悟與提高

1.如圖2所示，輕質(zhì)彈簧的左端固定，處于自然狀態(tài)。小物塊的質(zhì)量為m，從A點(diǎn)向左沿水平地面運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧后被彈回，再次運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)恰好靜止。已知物塊向左運(yùn)動(dòng)的最大距離為s，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，彈簧未超出彈性限度。在上述過程中（ ）。

A.彈簧的最大彈力為μmg

B.物塊克服摩擦力做的功為2μmgs

C.彈簧的最大彈性勢能為μmgs

D.物塊在A點(diǎn)的初速度為

2.如圖3所示，質(zhì)量為M的木塊位于光滑水平面上，用輕彈簧將木塊與左側(cè)墻壁相連，開始時(shí)木塊靜止在A位置。現(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射向木塊并留在其中，之后壓縮彈簧，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)。木塊回到位置A時(shí)的速度v和在此過程中墻壁對彈簧的沖量I的大小分別為（ ）。

3.如圖4所示，光滑水平面上有三個(gè)物塊A、B、C，質(zhì)量分別為mA=mC=2m，mB=m，物塊A、B中間有一壓縮的輕彈簧。開始時(shí)物塊A、B以速度v0向右運(yùn)動(dòng)，物塊C靜止。彈簧突然彈開，然后物塊B與C碰撞并粘在一起，最終三個(gè)物塊的速度相同，求物塊B與C碰撞前B的速度。

參考答案：1.BC 2.B

3.vB=1.8v0。