牛頓第二定律與圖像結(jié)合的綜合性試題賞析

■四川省成都市實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校（西區(qū)）

涉及牛頓第二定律的問題往往與各類圖像聯(lián)系在一起。通過圖像的理解、模型的構(gòu)建，實(shí)現(xiàn)圖像隱含知識(shí)與物理規(guī)律的接軌，是解決此類問題的關(guān)鍵。下面對(duì)這類題型進(jìn)行歸類剖析。

一、牛頓第二定律與v-t圖像綜合

例1“神舟五號(hào)”飛船完成了預(yù)定的空間科學(xué)和技術(shù)實(shí)驗(yàn)任務(wù)后返回艙開始從太空向地球表面按預(yù)定軌道返回，返回艙開始時(shí)通過自身制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行調(diào)控減速下降，穿越大氣層后，在一定的高度打開阻力降落傘進(jìn)一步減速下落，這一過程中若返回艙所受空氣摩擦阻力與速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，所受空氣浮力恒定不變，且認(rèn)為是豎直降落的。從某時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，返回艙的v-t圖像如圖1中的曲線AD所示，圖中AB是曲線AD在A點(diǎn)的切線，切線交于橫軸上的B點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），CD是曲線AD的漸進(jìn)線。假如返回艙的總質(zhì)量m=400 kg，取重力加速度g=10m/s2，求：

（1）返回艙在這一過程中是怎樣運(yùn)動(dòng)的？

（2）初始時(shí)刻返回艙的速度v=160m/s，返回艙的加速度是多大？

（3）推證空氣阻力系數(shù)k的表達(dá)式并計(jì)算其值。

解析

（1）返回艙先做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，后以大小為4m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)。

（2）在初始時(shí)刻，返回艙的加速度等于曲線AD在A點(diǎn)的切線AB的斜率，即a=20m/s2。

（3）設(shè)空氣浮力為F，在初始時(shí)刻，返回艙的速度v=160 m/s，加速度a=20 m/s2，由牛頓第二定律得F+kv2-mg=ma。當(dāng)返回艙做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，返回艙的速度v′=4m/s，由平衡條件得F+kv′2=mg。聯(lián)立以上各式解得，代入數(shù)據(jù)得k=0.31N·s2/m2。

例2如圖2甲所示，在傾角θ=30°的長斜面上有一帶風(fēng)帆的滑塊從靜止開始沿斜面下滑，滑塊的質(zhì)量m=2kg，它與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，帆受到的空氣阻力與滑塊下滑的速度成正比，即f=kv。若滑塊從靜止開始下滑的速度—時(shí)間圖像如圖2乙中的曲線所示，圖中的直線是t=0時(shí)刻曲線的切線，取重力加速度g=10m/s2。求：

（1）滑塊下滑過程中的最大加速度和最大速度。

（2）μ和k的值。

解析

（1）由滑塊的v-t圖像可知，t=0時(shí)刻滑塊的加速度最大，且；t=3s時(shí)刻滑塊的速度最大，且vmax=2m/s。

點(diǎn)評(píng)：v-t圖像的斜率表示運(yùn)動(dòng)物體的加速度，根據(jù)速度—時(shí)間圖像可求出加速度，結(jié)合物體在該時(shí)刻的受力情況，根據(jù)牛頓第二定律列式可求解相關(guān)物理量。

二、牛頓第二定律與F-t圖像綜合

例3一質(zhì)量m=40kg的小孩站在電梯內(nèi)的體重計(jì)上。電梯從t=0時(shí)刻由靜止開始上升，在0～6s時(shí)間內(nèi)體重計(jì)示數(shù)F的變化如圖4所示，取重力加速度g=10m/s2。求在這段時(shí)間內(nèi)電梯上升的高度。

解析

由F-t圖像可知，在0～2s時(shí)間內(nèi)，體重計(jì)的示數(shù)大于mg，故電梯向上做加速運(yùn)動(dòng)。設(shè)在0～2s時(shí)間內(nèi)體重計(jì)作用于小孩的力為F1，電梯及小孩的加速度為a1，由牛頓第二定律得F1-mg=ma1，解得a1=1m/s2，在0～2s時(shí)間內(nèi)電梯上升的高度。在2s～5s時(shí)間內(nèi)，體重計(jì)的示數(shù)等于mg，故電梯做勻速上升運(yùn)動(dòng)，速度為t1=2s時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即v1=a1t1=2 m/s，在2s～5s時(shí)間內(nèi)電梯上升的高度h2=v1（t2-t1）=6 m。在5s～6s時(shí)間內(nèi)，體重計(jì)的示數(shù)小于mg，故電梯向上做減速運(yùn)動(dòng)。設(shè)在5s～6s時(shí)間內(nèi)體重計(jì)作用于小孩的力為F2，電梯及小孩的加速度為a2，由牛頓第二定律得mg-F2=ma2，解得a2=2m/s2，在5s～6s時(shí)間內(nèi)電梯上升的高度。因此在0～6s時(shí)間內(nèi)電梯上升的總高度h=h1+h2+h3=9m。

點(diǎn)評(píng)：F-t圖像展示了力隨時(shí)間變化的關(guān)系，利用不同時(shí)刻力的數(shù)據(jù)，結(jié)合該時(shí)刻物體的受力情況，根據(jù)牛頓第二定律列式可求解相關(guān)物理量。

三、牛頓第二定律與s-v2圖像綜合

例4在交通事故的分析中，剎車線的長度是很重要的依據(jù)，剎車線是指汽車剎車后，停止轉(zhuǎn)動(dòng)的輪胎在地面上滑動(dòng)時(shí)留下的痕跡。剎車線的長度s既與汽車開始剎車時(shí)的速度v有關(guān)，也與汽車輪胎和路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ有關(guān)。如圖5所示為某種汽車在地面Ⅰ和地面Ⅱ上剎車時(shí)，s與v2的關(guān)系圖像。若用μ1、μ2分別表示汽車輪胎和地面Ⅰ、Ⅱ間的動(dòng)摩擦因數(shù)，則關(guān)于μ1和μ2的大小關(guān)系，下列判斷正確的是（ ）。

A.μ1＞μ2

B.μ1=μ2

C.μ1＜μ2

D.條件不足，無法判斷

解析

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得0-v2=2as，由牛頓第二定律得μmg=ma，解得v2=2μgs，因此取相等的速度大小時(shí)，位移較大的對(duì)應(yīng)的動(dòng)摩擦因數(shù)較小。

答案：C

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)s-v2圖像找出斜率表示的物理意義，結(jié)合牛頓第二定律可求解相關(guān)物理量。

四、牛頓第二定律與v-x圖像綜合

例5如圖6所示為汽車剎車痕跡長度x（剎車距離）與剎車前車速v（汽車剎車前勻速行駛）的關(guān)系圖像。例如，當(dāng)剎車痕跡長度為40m時(shí)，剎車前車速為80km/h。

（1）假設(shè)剎車時(shí)，車輪立即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，嘗試用你學(xué)過的知識(shí)定量推導(dǎo)并說明剎車痕跡長度與剎車前車速的關(guān)系。

（2）在處理一次交通事故時(shí)，交警根據(jù)汽車損壞程度估計(jì)出發(fā)生碰撞時(shí)的車速為40km/h，并且測出剎車痕跡長度為20 m。請(qǐng)你根據(jù)圖像幫助交警確定出該汽車剎車前的車速，并在圖像中的縱軸上用字母A標(biāo)出這一速度。

解析

（1）設(shè)汽車的質(zhì)量為m，輪胎與路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，由牛頓第二定律得μmg=ma，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得-2ax=-v2，解得，即剎車痕跡長度與剎車前車速的平方成正比。

（2）汽車發(fā)生碰撞時(shí)的速度為40km/h，結(jié)合v-x圖像可知，從這個(gè)速度減到零，汽車還要向前滑行10m，又因?yàn)榕鲎睬捌囈呀?jīng)滑行了20 m，所以若汽車不發(fā)生碰撞，則剎車后滑行30m停下?；?0m對(duì)應(yīng)的剎車前車速是圖7中的A點(diǎn)對(duì)應(yīng)速度。因此汽車剎車前的速度為68 km/h（66 km/h～70km/h均可）。

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)物體的受力情況結(jié)合牛頓第二定律得到v-x的關(guān)系式，結(jié)合圖像可求出相關(guān)物理量。

五、牛頓第二定律與a-v圖像綜合

例6如圖8甲所示，質(zhì)量m=1kg的物體沿傾角θ=37°的固定粗糙斜面由靜止開始向下運(yùn)動(dòng)，風(fēng)對(duì)物體的作用力沿水平方向向右，其大小與風(fēng)速v成正比，比例系數(shù)用k表示，物體加速度a與風(fēng)速v的關(guān)系如圖8乙所示。sin37°=0.6，cos37°=0.8，取重力加速度g=10m/s2。求：

（1）物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ。

（2）比例系數(shù)k。

解析

（1）初始時(shí)刻有mgsinθμmgcosθ=ma0，解得μ=0.25。

（2）物體速度達(dá)5 m/s時(shí)刻有mgsinθμN(yùn)-kvcosθ=0，式中N=mgcosθ+kvsinθ，解得k=0.84kg/s。

點(diǎn)評(píng)：a-v圖像往往涉及阻力與速度相關(guān)問題，知道不同時(shí)刻的速度大小可求出該時(shí)刻阻力大小，結(jié)合物體的受力情況，根據(jù)牛頓第二定律列式可求出相關(guān)物理量。

六、牛頓第二定律與F-t、v-t圖像綜合

例7放在水平地面上的一物塊，受到方向不變的水平推力F的作用，力F的大小與時(shí)間t的關(guān)系如圖9甲所示，物塊速度v與時(shí)間t的關(guān)系如圖9乙所示。取重力加速度g=10 m/s2。根據(jù)這兩幅圖像可以求得物塊的質(zhì)量m、物塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ分別為（ ）。

A.m=0.5kg，μ=0.4

B.m=1.5kg，

C.m=0.5kg，μ=0.2

D.m=1kg，μ=0.2

解析

由物塊的v-t圖像可知，0～2s時(shí)間內(nèi)物塊受到的推力小于滑動(dòng)摩擦力；2s～4s時(shí)間內(nèi)物塊以加速度大小做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得F2-μmg=ma；4s～6s時(shí)間內(nèi)物塊做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得F3-μmg=0。由F-t圖像可知，F(xiàn)2=3N，F(xiàn)3=2 N。聯(lián)立以上各式解得m=0.5kg，μ=0.4。

答案：A

點(diǎn)評(píng)：v-t圖像的斜率表示物塊的加速度，根據(jù)v-t圖像可求出加速度；對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，結(jié)合F-t圖像中某時(shí)刻力的大小，根據(jù)牛頓第二定律列式可求出相關(guān)物理量。

七、牛頓第二定律與P-t、v-t圖像綜合

例8在水平地面上的一輛汽車由靜止啟動(dòng)后做直線運(yùn)動(dòng)，在開始運(yùn)動(dòng)的0～3s時(shí)間內(nèi)汽車的速度—時(shí)間圖像和發(fā)動(dòng)機(jī)的功率—時(shí)間圖像如圖10所示。若在運(yùn)動(dòng)過程中汽車受到阻力的大小保持不變，取重力加速度g=10m/s2，則汽車的質(zhì)量為（ ）。

A.1875kg B.1250kg

C.900kg D.750kg

解析

由汽車的v-t圖像可知，0～1s時(shí)間內(nèi)汽車的加速度a=4m/s2，由牛頓第二定律得F1-f=ma；1s～3s時(shí)間內(nèi)汽車做勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得F2=f。由發(fā)動(dòng)機(jī)的P-t圖像可知，在第1s末有P1=F1v1=3×104W，在1s～3s時(shí)間內(nèi)有P2=F2v2=fv2=1×104W。聯(lián)立以上各式解得m=1250kg。

答案：B

點(diǎn)評(píng)：v-t圖像的斜率表示汽車的加速度，根據(jù)v-t圖像可求出加速度；根據(jù)v-t圖像讀出汽車某時(shí)刻的速度大小，結(jié)合P-t圖像可求出該時(shí)刻的牽引力大小，對(duì)汽車進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式可求出相關(guān)物理量。

方法與總結(jié)

牛頓第二定律與圖像結(jié)合的綜合性試題的解題步驟：明確研究對(duì)象→正確進(jìn)行受力分析→挖掘圖像物理意義→建立牛頓第二定律方程式。受力分析仔細(xì)，圖像內(nèi)涵清楚，建立方程準(zhǔn)確，解題步驟清晰，是解決此類問題的基本方法。