高考真題中一類折疊問題的解法

陳庭旺

立體幾何中的折疊問題是高考中的熱點問題之一.解決折疊問題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，注意折前與折后各元素相對位置的變化，要理清折疊前后哪些量發(fā)生了變化、哪些量沒有發(fā)生變化，同時還要特別注意動點的運動軌跡.本文用兩個高考試題探究動點運動軌跡，從而輕松解決問題.

例1 如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC（端點除外）上一動點.現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點D作DK⊥AB，K為垂足.設(shè)AK=t，則的取值范圍是.

分析：折疊問題，要弄清楚點的變化趨勢，本題D點在運動，它在運動中有什么特點呢？D點在底面上的射影實際上就是垂線DHK，D點就在垂線DK的正上方運動，因為平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，所以DK⊥面ABC，又DN⊥AF，KH⊥AF，同時∠DHK就是二面角D-AF-B的平面角，要求AK長度，實際就是圖中DK⊥AF交AB于K，所以AF的改變導(dǎo)致AK的長度的變化.

解：此題的破解可采用兩個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，t=1，隨著F點到C點時，因DK⊥AC，由平面幾何知識易知t=12，因此t的取值范圍是12，1.

例2 如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達(dá)點P的位置，且PF⊥BF.

（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD.

（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

分析：本題的折疊，點C沿著DF折疊，其實質(zhì)要明白點C在運動過程中的軌跡規(guī)律，過點C作CO⊥DF交DF于H，交EF于O，在折疊中點C就在CO的正上方運動，直到運動到P處這個特殊位置.

（1）弄清空間兩組垂直即可.

（2）本題由（1）知平面PE⊥平面ABFD，所以點P在點O的正上方，容易想到點O作坐標(biāo)原點即可，但是最關(guān)鍵的是P的坐標(biāo)為多少？怎么確定呢，實際上在折疊過程中很容易知道∠PHO為二面角P-DF-A的平面角，所以有OP2+OH2=PH2，而在平面圖形中很容易求出OH，CH的長度，所以點P的坐標(biāo)就可以計算出來了.

解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.

（2）作PO⊥EF，垂足為O，過O作OH⊥DF，垂足為H連接PH，，∵PO⊥EF，平面PEF⊥平面ABFD，∴PO⊥平面ABFD.以O(shè)為坐標(biāo)原點，OF的方向為y軸正方向，OP的方向為Z軸正方向，|BF|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，又由折疊前知CH=PH=25，OH=125，OP2+OH2=PH2，所以O(shè)P=32.則O（0，0，0），P（0，0，32），D（-1，-32，0），DP=（1，32，32），OP=（0，0，32）為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為θ，則sinθ=OP·DP|OP|·|DP|=343=34.

所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為34.

高考中的折疊問題經(jīng)久不衰，試題層出不窮，對學(xué)生的空間想象能力的考查更具有挑戰(zhàn)性，要求學(xué)生不光能識別立體圖形，還要能展開成平面圖形，厘清各種數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系的變化，用動態(tài)的眼光識別立體圖形.所以要求教師在平時教學(xué)中多讓學(xué)生動手動腦，從實際生活中感知數(shù)學(xué)知識.