基于超網(wǎng)絡(luò)視角對(duì)上海軌道交通網(wǎng)絡(luò)的研究

孫 琳，郭進(jìn)利 （上海理工大學(xué)，上海200093）

SUN Lin, GUO Jin-li (University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

0 引 言

18 世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉對(duì)七橋問題的建模和分析開創(chuàng)了數(shù)學(xué)中圖論這一分支，此后就有很多學(xué)者利用圖論和復(fù)雜網(wǎng)來(lái)研究實(shí)際問題，來(lái)分析網(wǎng)絡(luò)中存在的問題。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于對(duì)軌道交通的研究更成為熱點(diǎn)問題，惠偉等[1]采用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)以上海和北京公交線路為例通過計(jì)算復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)特征值顯示北京和上海的公交網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性。Latora 等[2]用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對(duì)波士頓地鐵的網(wǎng)絡(luò)特性進(jìn)行初探。汪濤[3]等對(duì)北京、上海、廣州三個(gè)城市地鐵網(wǎng)絡(luò)特征進(jìn)行比較。楊楊[4]等對(duì)北京公共交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模實(shí)證分析和對(duì)蓄意攻擊做了有效的分析，有些學(xué)者對(duì)上海地鐵當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)和規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)做了特性分析，得出重要節(jié)點(diǎn)不斷向外部轉(zhuǎn)移。以前的研究方式多限于研究節(jié)點(diǎn)與邊同質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)，無(wú)法完全刻畫現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性的特征，如生態(tài)網(wǎng)絡(luò)和電力網(wǎng)絡(luò)，前者節(jié)點(diǎn)不同質(zhì)，后者邊不同質(zhì)。隨著交通網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，出現(xiàn)了鐵路網(wǎng)、公路網(wǎng)、航空網(wǎng)等許多復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，這些網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)和邊的數(shù)量眾多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，我們已經(jīng)不能用傳統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)去研究軌道交通網(wǎng)絡(luò)。

超網(wǎng)絡(luò)也是一種特殊的復(fù)雜網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)，它既可完美刻畫現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)特征，本身又為綜合網(wǎng)絡(luò)，故超網(wǎng)絡(luò)研究必將成為網(wǎng)絡(luò)研究新潮流。大量學(xué)者對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究，有些人擺脫了還原論的局限性，開始研究網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)之間的影響，超網(wǎng)絡(luò)概念就被提出。對(duì)超網(wǎng)絡(luò)的研究不僅有實(shí)際意義，也為研究系統(tǒng)的復(fù)雜性提出一種新的想法。最早使用超網(wǎng)絡(luò)概念與運(yùn)輸系統(tǒng)的是Y.Sheffi[5]，而美國(guó)科學(xué)家A. Nagurney[6]在處理上述交織的網(wǎng)絡(luò)，把高于而又超于現(xiàn)存網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)稱為超網(wǎng)絡(luò)，使超網(wǎng)絡(luò)的定義開始明確。后來(lái)Berge[7-8]在1970 年提出了什么是超圖的概念，并描述了無(wú)向超圖理論，隨后研究者對(duì)超圖的超回路、著色和t-設(shè)計(jì)[9]等問題進(jìn)行研究。21 世紀(jì)，大量研究者將超圖理論以超網(wǎng)絡(luò)的形式用于現(xiàn)實(shí)問題研究，如Bretto[10]用超網(wǎng)絡(luò)于研究圖像的處理，李曉強(qiáng)[11]用超網(wǎng)絡(luò)對(duì)基于變分不等式的電子商務(wù)進(jìn)行研究，Wang Z P[12]等用超網(wǎng)絡(luò)來(lái)研究供應(yīng)鏈，并且構(gòu)建由兩個(gè)制造商、兩個(gè)分銷商和兩個(gè)需求市場(chǎng)組成的供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)模型從而解決了各層次多標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化的問題。

基于軌道交通網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，本文從超網(wǎng)絡(luò)視角對(duì)上海軌道交通進(jìn)行研究，得到用超網(wǎng)絡(luò)的度分布和聚類系數(shù)，分析軌道交通網(wǎng)絡(luò)的特性，并提出一些規(guī)劃建議。

1 超網(wǎng)絡(luò)的定義

目前對(duì)超網(wǎng)絡(luò)的研究還處于起步階段，有一些概念還沒有得到公認(rèn)。但是已經(jīng)有人從不同的視角來(lái)定義超網(wǎng)絡(luò)。目前對(duì)超網(wǎng)絡(luò)的定義有兩種。

1.1 H. Frank 等在文獻(xiàn)[13]中給出的定義

超網(wǎng)絡(luò)里的節(jié)點(diǎn)表示給定集合的網(wǎng)絡(luò)，而邊和弧表示在給定集合中的結(jié)合移動(dòng)和結(jié)合偏好，超網(wǎng)絡(luò)唯一地表示由規(guī)則支配的所有結(jié)合移動(dòng)和偏好。

1.2 用超圖來(lái)定義超網(wǎng)絡(luò)

超圖[14]定義：設(shè)V=｛v1,v2,…,vn｝是一個(gè)有限集。若：（1）

則稱二元關(guān)系H=（E,V）為一個(gè)超圖。V的元素v1,v2,…,vn稱為超圖頂點(diǎn)，E=｛e1,e2,e3,…,en｝是超圖的邊集合，集合e的元素eI=｛Vi1,Vi2,…,Vij｝（i=1,2,3,…,m）稱為超圖的邊。如果兩個(gè)頂點(diǎn)屬于同一條超邊，則稱這兩個(gè)頂點(diǎn)鄰接；如果兩條超邊的交集不空，稱為兩條超邊鄰接。如果一個(gè)超圖H的任意兩條超邊至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱H為簡(jiǎn)單超圖。

1.3 超網(wǎng)絡(luò)相關(guān)定義

1.3.1 關(guān)聯(lián)矩陣[14]定義

一個(gè)圖G= V,（）E的關(guān)聯(lián)矩陣B滿足下面條件：（1）B的每一行與G的頂點(diǎn)相關(guān)； （2）B的每一列與G的邊相關(guān)聯(lián)；（3） 如果第j個(gè)邊與第i個(gè)頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，那么bij=1。

有n個(gè)頂點(diǎn)的聯(lián)通圖G的關(guān)聯(lián)矩陣的秩是n-1。在上海軌道交通中，每一行與軌道交通站點(diǎn)有關(guān)，每一列與軌道交通線路有關(guān)，如果行中的站點(diǎn)在列中的線路中則在關(guān)聯(lián)矩陣中寫1 否則寫0。

1.3.2 鄰接矩陣[14]

一個(gè)圖G= V,（）E的鄰域矩陣S，滿足下列條件：（1）S的每一行與G的頂點(diǎn)相關(guān)；（2）S的每一列與G的頂點(diǎn)相關(guān)；（3） 如果頂點(diǎn)vi與vj之間存在一個(gè)關(guān)系，即存在一個(gè)弧，鏈接著頂點(diǎn)vi與vj，那么sij=1；存在兩個(gè)弧sij=2；否則，sij=0。

在上海軌道交通超網(wǎng)絡(luò)中，鄰接矩陣的每行和每列都與站點(diǎn)有關(guān)，在站點(diǎn)與站點(diǎn)之間由地鐵形成的線路相連，當(dāng)行中的站點(diǎn)與列中的站點(diǎn)在同一條線（一條弧） 中，則Aij=1。當(dāng)行中站點(diǎn)與列中站點(diǎn)在共同的兩條線路（兩條弧） 中則Aij=2，如果兩個(gè)站點(diǎn)沒有在共同的線路中，則Aij=0。上海軌道交通的鄰接矩陣A如下。

當(dāng)A22=0 表示兩個(gè)站點(diǎn)是同一個(gè)站點(diǎn)；

當(dāng)A23=2 表示第2 個(gè)站點(diǎn)和第3 個(gè)站點(diǎn)有兩條共有的線路；

當(dāng)A2811=0 表明第281 個(gè)站點(diǎn)和第1 個(gè)站點(diǎn)沒有在共同的線路中。

2 超網(wǎng)絡(luò)度

對(duì)上海軌道交通286 個(gè)站點(diǎn)14 條線路進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到其度分布。

2.1 節(jié)點(diǎn)度

節(jié)點(diǎn)度[15]（Node Hyperdegrees） 節(jié)點(diǎn)連接的頂點(diǎn)數(shù)計(jì)為d（）i，在軌道交通網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)是每個(gè)站點(diǎn)，超邊是每條地鐵線路，節(jié)點(diǎn)度描述的是一個(gè)站點(diǎn)與其他站點(diǎn)的連接程度。上海市軌道交通超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度分布和累計(jì)度分布如圖1、圖2 所示。

由圖1 可以看出節(jié)點(diǎn)度大部分在20 到40 之間，說明上海軌道交通網(wǎng)絡(luò)站點(diǎn)之間的連通程度還是很小，可以計(jì)算出上海軌道交通所有節(jié)點(diǎn)度的平均值為31.51049，可以參考這個(gè)數(shù)值對(duì)包含站點(diǎn)少的線路進(jìn)行調(diào)整和改造。由圖2y=2.1408e-0.0577x可知節(jié)點(diǎn)度的累計(jì)分布符合指數(shù)分布。

2.2 節(jié)點(diǎn)超度

節(jié)點(diǎn)超度[15]（Node Hyperdegrees） 節(jié)點(diǎn)的超度定義為包含該節(jié)點(diǎn)的超邊個(gè)數(shù), 記為dH（）i。在軌道交通網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)站點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)超度指的是有多少條超邊經(jīng)過同個(gè)站點(diǎn)。上海市軌道交通超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)超度的分布和累計(jì)超度分布如圖3、圖4 所示。

由圖3 可知，軌道交通網(wǎng)大部分站點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)超度值為1，占整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的80%以上，表明大部分站點(diǎn)只有一條軌交線路經(jīng)過。經(jīng)計(jì)算，該網(wǎng)絡(luò)的平均節(jié)點(diǎn)超度為1.188811，說明可換成的站點(diǎn)還是比較少。圖4 雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中對(duì)散點(diǎn)圖的擬合表明，節(jié)點(diǎn)度的累計(jì)概率分布p（k）服從冪律分布。網(wǎng)絡(luò)的擬合結(jié)果為y=1.3885x-3.8216，可見從節(jié)點(diǎn)超度分析可得上海軌道交通網(wǎng)絡(luò)具有無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特性。

計(jì)算軌道交通超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)超度和節(jié)點(diǎn)度按照節(jié)點(diǎn)超度的前11 個(gè)站點(diǎn)列表如表1 所示。

從表1 可知，按節(jié)點(diǎn)超度從大到小排列，前11 個(gè)站點(diǎn)相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)度如表1 所示。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，節(jié)點(diǎn)度和節(jié)點(diǎn)超度排名前10 的站點(diǎn)相同，金沙江站節(jié)點(diǎn)超度是第11，但節(jié)點(diǎn)度不是排名前11，說明13 號(hào)線路可以增加站點(diǎn)。由表1 可知前10 個(gè)站點(diǎn)節(jié)點(diǎn)度和節(jié)點(diǎn)超度都很大，所以這幾個(gè)站點(diǎn)是上海軌道交通的重要站點(diǎn)，應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)這幾個(gè)站點(diǎn)的保護(hù)，從而使整個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)高效率運(yùn)行。

圖1 軌道交通超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度分布

圖2 軌道交通超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度的累計(jì)概率分布

圖3 超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)超度的概率分布

圖4 超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)超度的累計(jì)概率分布

表1 站點(diǎn)節(jié)點(diǎn)度和節(jié)點(diǎn)超度對(duì)比表

2.3 邊超度

邊超度[15]（Hyperedge Degrees） 如果兩條超邊有相同節(jié)點(diǎn)，則這兩條超邊通過該節(jié)點(diǎn)相連。邊超度為與該超邊相連的其它超邊的數(shù)。上海市軌道交通超網(wǎng)絡(luò)的邊超度的分布和累計(jì)超度分布如圖5、圖6 所示。

由圖5 可知邊超度是9 的線路占的比例最大，其次是邊超度為7 的線路。說明有些線路與其他線路之間的聯(lián)系很少，比如5 號(hào)線和16 號(hào)線。像邊超度比較小的線路可以成為以后規(guī)劃的重點(diǎn)線路。經(jīng)計(jì)算網(wǎng)絡(luò)的平均邊超度為6.571429，可以看出邊與邊之間的聯(lián)系還比較少，對(duì)小于平均邊超度的線路應(yīng)進(jìn)行調(diào)整和改造。對(duì)于邊超度較大的線路進(jìn)行重點(diǎn)保護(hù)，以免被蓄意攻擊，導(dǎo)致整個(gè)交通的癱瘓。

3 軌道交通超網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)

H=（V,E）表示一個(gè)簡(jiǎn)單超圖，節(jié)點(diǎn)集V=｛v1,v2,…,vN｝，超邊集E=｛E1,E2,…,Em｝，鄰接矩陣A（H）是對(duì)稱方陣，元素aij為連接節(jié)點(diǎn)vi和vj的超邊條數(shù)，主對(duì)角線上的元素為零。假設(shè)H是有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單超圖，它的鄰接矩陣A是一個(gè)是對(duì)稱矩陣，因此存在一個(gè)正交矩陣U=uij，使得A=UDUT，其中：D=diag（λ1,λ2,…,λn），U的列向量是與A的特征值相對(duì)應(yīng)的正交向量。

設(shè)vi和vj是超圖H的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，A是H的鄰接矩陣，那么H中長(zhǎng)度為k的從vi到vj的路徑（對(duì)應(yīng)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，也稱為vi-vj鏈） 的個(gè)數(shù)就可以用矩陣Ak第i行第j列的元素值來(lái)表示。

圖5 邊超度的概率分布

圖6 邊超度的累計(jì)概率分布

H中長(zhǎng)度為k的vi-vj鏈的條數(shù)為因此，H中長(zhǎng)度為k的所有鏈的條數(shù)為：

H中從vi開始最后又回到vi的長(zhǎng)度為k的閉合鏈的條數(shù)則由給出，是Ak的第i個(gè)對(duì)角線元素的值：

那么H中長(zhǎng)度為K的閉合鏈的總條數(shù)就是：

聚類系數(shù)的理論來(lái)源是社會(huì)學(xué)文獻(xiàn)中的傳遞系數(shù)：

其中分子中的6 表示一個(gè)三角形可以形成6 條長(zhǎng)度為2 的路徑，從而保證當(dāng)圖KN是完全連通圖時(shí)C2（G）=1。由于上面的結(jié)論只適合沒有重邊的簡(jiǎn)單圖，因此當(dāng)所研究的網(wǎng)絡(luò)中有重邊時(shí)就將其化為簡(jiǎn)單圖再計(jì)算聚類系數(shù)，所以將（4） 式推廣到超網(wǎng)絡(luò)中可以得到超網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)[16]如下：

其中超三角形是由三個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)和三條不同的超邊組成的一個(gè)序列其中這三個(gè)點(diǎn)彼此相連而長(zhǎng)度為2 的路徑則形如vi,Ep,vj,Eq,vk的序列。

我們可以用長(zhǎng)度為3 的閉合鏈的個(gè)數(shù)來(lái)計(jì)算超網(wǎng)絡(luò)中超三角形的個(gè)數(shù)，但是必須減去不能形成超三角形的長(zhǎng)度為3 的閉合鏈（假超三角形） 的個(gè)數(shù)。

假超三角形形成的原理：假超三角形三個(gè)頂點(diǎn)在同一條超邊里。所有三條邊都是同一條超邊Ei的假超三角形個(gè)數(shù)為ti其中為超邊Ei1,Ei2,…,Eij交的基數(shù)用ai1,ai2,…,aij表示。因此假超三角形個(gè)數(shù)：

同理在計(jì)算長(zhǎng)度為2 的路徑時(shí)，需要計(jì)算兩個(gè)節(jié)點(diǎn)在同一條超邊Ei的長(zhǎng)度為2 的假的路徑數(shù)，p=6t所以超網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)由（1）、（3）、（5）、（6） 式可以得：

整理上式可得：

在地鐵網(wǎng)絡(luò)中超網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣是286 行286 列的矩陣，由鄰接矩陣A通過Matlab 編程計(jì)算可以得到正交矩陣u=u286,286和其相對(duì)應(yīng)的特征值和特征向量，從而得到：

把式（9）、（10）、（11）、（12） 代入公式（8） 中可以得到：

式（13） 中C2（H）為整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)，可以反映整個(gè)超網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的緊密性網(wǎng)絡(luò)的聚類一般在[0,1]之間，相對(duì)于中間值0.5 是比較小的，另外我們用超網(wǎng)絡(luò)來(lái)計(jì)算2020 地鐵規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)得到0.4763668932，相對(duì)來(lái)說目前網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)比較小，表明目前網(wǎng)絡(luò)的密集度比較差，這也與我國(guó)軌道交通建設(shè)處于初級(jí)階段的情況相符。還需要更多的發(fā)展過程。

4 結(jié)論和展望

基于超網(wǎng)絡(luò)方法研究上海市軌道交通網(wǎng)絡(luò)，通過分析和研究得到以下結(jié)論:

（1） 從節(jié)點(diǎn)度分布和節(jié)點(diǎn)超度分布可以看出，上海軌道交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)超度為前10 的站點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)度的大小也是前10，從超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度和節(jié)點(diǎn)超度都可以得到世紀(jì)大道、東方體育館、曹楊路、徐家匯、鎮(zhèn)平路、人民廣場(chǎng)、虹橋路、金沙江路、中山公園、宜山路站點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)度和節(jié)點(diǎn)超度都很大，說明這幾個(gè)站點(diǎn)是關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。但是兩種度的值又不是相同的。其中節(jié)點(diǎn)超度的累計(jì)度分布跟復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的累計(jì)度分布都符合冪律分布。節(jié)點(diǎn)超度度大的站點(diǎn)是關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，如果對(duì)度大的這些站點(diǎn)進(jìn)行蓄意攻擊，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)會(huì)癱瘓。目前對(duì)超網(wǎng)絡(luò)的蓄意攻擊還沒有深入的研究，在后續(xù)的文章中會(huì)對(duì)超網(wǎng)絡(luò)的蓄意攻擊做出解釋。

（2） 從邊超度分布可以看出1、2、4、8、11 號(hào)線邊超度較大，應(yīng)重點(diǎn)保護(hù)這幾條線，保證這幾條線路的可靠性。對(duì)于邊超度較小的線路應(yīng)該進(jìn)行改造和擴(kuò)展，來(lái)使整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的輻射半徑增大。

（3） 從聚類系數(shù)可以看出目前上海軌道交通的密集程度比較小，隨著城鎮(zhèn)人口的增加應(yīng)加強(qiáng)對(duì)我國(guó)軌道交通的建設(shè)。

用超網(wǎng)絡(luò)研究軌道交通還處于起步階段，對(duì)于一些超網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)特征還沒有確切的定義。隨著線路的增加用超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)超度來(lái)研究交通網(wǎng)絡(luò)更加方便?？梢詫⒊W(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于全國(guó)鐵路網(wǎng)絡(luò)，同樣比用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來(lái)研究全國(guó)鐵路網(wǎng)絡(luò)方便。當(dāng)然也可以用超網(wǎng)絡(luò)來(lái)研究公交網(wǎng)絡(luò)甚至航空網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于公交和地鐵網(wǎng)絡(luò)的換乘也提供了很好的思路。

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