依托核心問題促進深度思考

張春新

復習，并不僅僅是重復先前學習的知識，而是在原有知識復習的基礎(chǔ)上促進學生知識思維素養(yǎng)的再生長。生長，是夯實基礎(chǔ)后的求異與創(chuàng)新。教學“平面圖形面積總復習”這一課，如何在夯實平面圖形面積計算的基礎(chǔ)上讓學生抓住平面圖形面積計算的本質(zhì)，促使其“換個腦筋”，進一步在知識的深處進行思考呢？我通過三個核心問題的引領(lǐng)，使學生的知識、思維、方法策略在不斷被豐富、被審視、被調(diào)整的過程中得到了深度發(fā)展。

一、依托核心問題，引領(lǐng)學生感悟數(shù)學本質(zhì)

學生的學習不能流于形式，更不能淺表化。只有抓住了所復習知識的核心問題，激發(fā)出學生積極思考的熱情，促使學生深入交流、探究，才能使學生進一步地感悟到平面圖形面積計算的本質(zhì)，學生的學習才能觸類旁通，達到“牽一發(fā)而動全身”的效果。如在學生交流了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積推導過程之后——

師：回顧學習這些平面圖形的過程，我們先學習的是什么圖形的面積？

生：長方形的面積計算。

師：大家有沒有想過，為什么我們先學習長方形、正方形的面積計算，然后學習平行四邊形、三角形、梯形的面積計算，最后學習圓的面積計算？可不可以換一下順序呢？請大家在小組內(nèi)交流。（學生在小組內(nèi)熱烈地交流起來）

生：長方形的面積計算最簡單。

生：長方形的四個角都是直角，其他圖形沒有這樣的特點。

生：面積單位都是邊長1厘米、1分米、1米的正方形，長方形的面積可以直接用這些面積單位去擺，從而算出面積，其他圖形不行。

生：是的，長方形可以用邊長1厘米、1分米、1米的小正方形去擺，看看沿著長可以擺幾個，沿著寬可以擺幾排，用每排的單位面積的個數(shù)×排數(shù)=總的單位面積的個數(shù)，也就是長方形的面積。而其他平面圖形，比如平行四邊形，用面積單位擺就不好擺滿。（學生邊說邊在黑板上畫）

生：我知道了，所以我們先學長方形的面積計算，用擺面積單位的方式推導出了長方形的面積公式，然后再學習平行四邊形、三角形、梯形的面積計算，它們不好用面積單位去擺，可以用轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化成已學過的長方形來計算面積。

在以前的學習中，學生是一個圖形一個圖形地接著學，他們現(xiàn)在回過頭來一看，確實先學習的是長方形的面積，為什么呢？可不可以先學習其他圖形呢？學生感覺非常好奇，這激起了他們思考和探究的欲望。實際上，這也是學生思維的盲點，同時又是學習平面圖形面積的核心問題。抓住了它，就抓住了面積計算的本質(zhì)，即圖形中所含單位面積的個數(shù)。通過對這一核心問題的思考，學生不但知道了為什么要先學習長方形面積的計算，而且對后面所學的圖形計算面積為什么都要轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的圖形，也有了進一步的、清晰的認識。

這樣，通過“瞻前”——對先學習長方形面積計算的這一核心問題追問，讓學生回到原點思考，從源頭抵其實質(zhì);同時也為“顧后”——體積度量的本質(zhì)理解作了知識和方法上的鋪墊。

二、依托核心問題，引導學生整體建構(gòu)數(shù)學知識和思維

多維度關(guān)聯(lián)是將學生所學的零散的知識根據(jù)它們內(nèi)在的邏輯關(guān)系從多種角度進行統(tǒng)整與建構(gòu)，從而讓學生整體建構(gòu)。

（一）以長方形面積為基礎(chǔ)整體建構(gòu)，感受由易到難的過程

通過“為什么先學習長方形的面積”這一核心問題的追問，學生從本質(zhì)上理解了長方形面積的計算是其他平面圖形面積計算的基礎(chǔ)。這時，可以再讓學生用圖來梳理各種圖形面積之間的聯(lián)系。

師：通過回顧，我們知道了長方形面積公式是學習其他平面圖形面積的基礎(chǔ)，這六個圖形之間是有聯(lián)系的。你能用圖表示出它們之間的聯(lián)系嗎？

（學生分組展示，出現(xiàn)了這樣兩種圖）

生：（小組1，指第一幅圖）我們小組是這樣梳理的，長方形的面積計算由數(shù)含有多少面積單位獲得，這也是計算其他平面圖形面積的基礎(chǔ)，所以將長方形畫在最下面。由長方形的面積公式推導出了正方形、平行四邊形、圓的面積公式，將這三個圖形畫在第2層，再由平行四邊形面積公式推導出了三角形和梯形的面積公式，將三角形和梯形畫在最上層。

生：（小組1，指第一幅圖）我來補充一下。從上往下看，三角形、梯形的面積公式是通過轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導出來的，平行四邊形、圓的面積公式是通過轉(zhuǎn)化成長方形推導出來的，它們都不能直接用含有面積單位的小正方形去擺、去數(shù)，都巧妙地運用了轉(zhuǎn)化的方法。

生：（小組4，指第二幅圖）我們是這樣整理的。將其他五種平面圖形面積公式都轉(zhuǎn)化成長方形推導出來。第1、2、3、5小組都是把三角形和梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導出面積公式的，我們是把三角形和梯形也轉(zhuǎn)化成長方形來推導出面積。

生：（小組4）我補充。雖然我們小組之間轉(zhuǎn)化的圖形不一樣，但共同的地方都是轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的圖形來推導出面積的，都是以長方形面積公式為基礎(chǔ)來轉(zhuǎn)化的。

（二）以梯形為中心整體建構(gòu)，感受化繁為簡的過程

緊扣“六個平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式計算嗎”這一核心問題展開探究，可以讓學生感受到其他平面圖形與梯形的緊密聯(lián)系。

師：前面我們以長方形的面積公式為基礎(chǔ)推導出了其他五個平面圖形的面積，由易到難。我們還能化繁為簡，把這六個圖形的面積公式都用梯形的面積這一個公式來計算，大家相信嗎？

（學生搖頭）

師：看著圖形想一想，可以把這些平面圖形看作怎樣的梯形？

（電腦出示：梯形下底不變，上底慢慢縮短變成三角形，上底慢慢延長，變成平行四邊形。）

（學生討論交流）

生：三角形可以看作上底為0的特殊的梯形。（如下面第一個圖形）

生：平行四邊形可以看作上底a和下底b相等的特殊的梯形。（如下面第二個圖形）

生：長方形可以看作上底a和下底b相等，且上底a、下底b與高h垂直的特殊的梯形。（如下面第三個圖形）

生：正方形可以看作上底、下底和高相等即a=b=h，a、b與h垂直的特殊的梯形。（如下面第四個圖形）

生：圓可以看作上底為0，下底為圓的周長即2πr，高為半徑r的特殊梯形。

師：圓是封閉的曲線圖形，你是怎樣想的？

生：我將圓心看成梯形的上底，上底為0，將圓的一周拉直，將圓的周長（即2πr）看成梯形的下底，這時半徑r就是梯形的高。

師：真不簡單，能化曲為直，將圓看作這樣的特殊梯形，真是愛動腦筋的孩子。

師：那么這些平面圖形能用梯形的面積公式計算嗎？怎么辦？

生：用梯形的面積公式算算看行不行。

師：好，每人選一個平面圖形算算看。計算好后，仔細觀察，說說你發(fā)現(xiàn)了什么，然后小組內(nèi)交流各自的發(fā)現(xiàn)。

生：我選的是三角形。用梯形的面積公式計算（0+a）h÷2=ah÷2，我發(fā)現(xiàn)用梯形面積公式算下來和三角形的面積公式一樣。所以，計算三角形面積可以用梯形的面積公式。

生：我選的是平行四邊形。用梯形的面積公式計算（a+a）h÷2=ah，我發(fā)現(xiàn)用梯形面積公式算下來和平行四邊形的面積計算公式一樣。所以平行四邊形的面積可以用梯形的面積公式計算。

生：平行四邊形的面積可以用梯形的面積公式計算，長方形、正方形是特殊的平行四邊形，所以不需要計算，就知道長方形和正方形也可以用梯形的面積計算公式計算。

生：我選的是圓。用梯形的面積公式計算（0+2πr）r÷2=πr2 ，所以圓的面積公式也可以用梯形的面積計算公式。

生：圓也可以等積變形為梯形（如下圖），所以圓的面積公式可以用梯形的面積計算。

師：現(xiàn)在你們想說什么？

生：梯形面積公式真神奇呀，這些圖形都可以用它來計算。

這時黑板上形成的流程圖如下所示：

在這一片段中，學生緊扣“六個平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式計算嗎”這一核心問題展開探究。通過梯形的下底和高不變、上底變這一條件，讓學生感受到其他平面圖形與梯形的緊密聯(lián)系。學生驚喜地發(fā)現(xiàn)用梯形的面積公式算下來竟然和原來圖形的面積公式相同。

這樣，先通過核心問題“為什么先學長方形面積”的思考，讓學生感受到了平面圖形面積公式由易到難的學習過程，再通過核心問題“六個平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式計算嗎”的思考探究，將梯形面積公式與其他圖形的面積公式勾連了起來，讓學生感受到了化繁為簡的驚喜。這樣由易到難、化繁為簡的整體建構(gòu)，不再只是知識的整體建構(gòu)，同時也是思維的整體建構(gòu)。

三、依托核心問題，發(fā)展學生的深度數(shù)學思維

以上兩個核心問題的思考探究，既使學生抓住了平面圖形面積的本質(zhì)，又將平面圖形面積之間的關(guān)系進行了整體建構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，還可以通過核心問題“兩個圖形陰影部分的面積相等嗎”來促使學生進一步深度思考，靈活運用轉(zhuǎn)化的思想來解決問題。

師：（出示下面兩幅圖）大正方形的邊長為10厘米，陰影部分的面積相等嗎？為什么？

生：第一個圖形陰影部分左邊雖然是三角形，但它的底長不知道，也很難求出。陰影部分右邊部分一般用[14]圓的面積減去空白小三角形的面積，但空白小三角形的面積的底是10厘米，高也不知道，所以也不好求出。所以，我們小組思考能不能用轉(zhuǎn)化的方法，把復雜的圖形轉(zhuǎn)化成簡單的圖形。

生：我們發(fā)現(xiàn)第一個圖形中三角形ABG的面積等于空白三角形DEG的面積。把△ABG的面積移到△EDG上，整個陰影部分的面積就等于[14]圓的面積。求出[14]圓的面積，就求出了陰影部分的面積。這樣就把陰影部分這一復雜的圖形轉(zhuǎn)化成了簡單的圖形[14]圓，就很好算了。

生：第二個圖形也是將陰影部分這一復雜的圖形轉(zhuǎn)換成簡單的圖形。空白三角形ABE的面積是（a+b）×b÷2，梯形ABCF的面積也是（a+b）×b÷2，所以空白三角形ABE的面積等于梯形ABCF的面積。空白梯形ABGF是公共的，那么△EFG的面積等于△CBG的面積，將△CBG的面積移到△EFG上，這樣陰影部分的面積就等于[14]圓的面積了。

生：兩幅圖中陰影部分的面積都等于[14]圓的面積，而圓的半徑都是10厘米，圓的面積相等，[14]圓的面積相等，兩幅圖的陰影部分的面積也就相等。

師：你們真不簡單。在常用的方法無法解決問題的情況下，想到了運用轉(zhuǎn)化的策略來解決。

生：平面圖形面積推導的過程給了我們啟示，在推導平行四邊形、三角形、梯形等面積公式時，都是轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學過的簡單的圖形來推導的。

生：是的，當計算較復雜的平面圖形面積時，如果無法直接計算，我們就可以換一種思路，看看能不能將較復雜的不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成簡單的規(guī)則圖形來求。

本教學片斷中，核心問題“陰影部分的面積相等嗎”激起了學生探究的熱情。因為常用的整分法（大面積減去多余的小面積）和分割法（將復雜的陰影部分分割成幾個小的規(guī)則的圖形）都無法解決，所以這種思維困境激起了學生進一步挑戰(zhàn)該問題的強烈欲望。學生通過進一步思考，想到了運用轉(zhuǎn)化的策略可以將復雜的陰影部分轉(zhuǎn)化成簡單的圖形。怎樣轉(zhuǎn)化呢？學生小組內(nèi)繼續(xù)思考，他們積極尋求面積相等的圖形，發(fā)現(xiàn)了圖形之間的關(guān)系，將陰影部分的一小部分圖形面積移到了與之面積相等的空白部分上，就轉(zhuǎn)化成了簡單的圖形[14]圓，問題也就迎刃而解了。

此外，這節(jié)課以猜平面圖形的游戲開始也以同樣的游戲作為結(jié)束。這種游戲就是一個學生說，另一個學生猜。比如，猜長方形。課前，學生都是說它的特征（兩組對邊相等，四個角都是直角）而讓其他的學生猜。課終，還是長方形，再猜，說法就多了：是其他平面圖形的基礎(chǔ)，是學習的第一個平面圖形，可以用表示面積單位的小正方形去擺求出面積;是上底下底相等，且上下底和高垂直的特殊的梯形等。這樣，通過課始和課終猜平面圖形的游戲，既激發(fā)了學生學習的興趣，又讓學生感受到了通過一節(jié)課的學習所帶來的知識思維生長的喜悅。

（責任編輯：楊強）