“勾股定理（1）”教學(xué)設(shè)計及教后反思

常冬琴

[摘 ?要] 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生能自主地提出一個有價值的問題，比解決一個問題更有意義. 在課堂上，通過創(chuàng)設(shè)情境引發(fā)思考、猜想，通過動手操作驗證猜想、解決問題，能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自主產(chǎn)生“問題意識”，進而催生“問題解決”的強烈愿望，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)設(shè)計;設(shè)計理念;數(shù)學(xué)活動

教材簡解

學(xué)生通過小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，對直角三角形已有初步認(rèn)識，能從角的角度分析直角三角形的特征. 蘇教版八年級上冊第一章“全等三角形”中直角三角形全等的判定揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，即直角三角形中知任意兩條邊的長，那這個直角三角形的形狀就確定了，于是第三邊的長也隨之確定. 本節(jié)課將在此基礎(chǔ)上引發(fā)學(xué)生猜想—發(fā)現(xiàn)—驗證. 學(xué)生通過對勾股定理的學(xué)習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對直角三角形有進一步的認(rèn)識和理解. 勾股定理是數(shù)形結(jié)合的典范，它把三角形有一個直角——“形”的特點轉(zhuǎn)化為了三邊之間“數(shù)”的關(guān)系. 在實際應(yīng)用中，常利用勾股定理建立相等關(guān)系，從而解決直角三角形中的計算問題，因此，本節(jié)課在教材中有著非常重要的地位.

目標(biāo)預(yù)設(shè)

（1）通過畫圖操作，初步感受直角三角形的三邊存在特殊關(guān)系.

（2）通過計算正方形的面積，猜想直角三角形的三邊存在的等量關(guān)系.？搖

（3）通過在方格紙上操作、實驗，引導(dǎo)學(xué)生將正方形的面積與直角三角形三邊的長建立聯(lián)系.

（4）能靈活運用勾股定理求直角三角形中未知邊的長.

（5）經(jīng)歷“操作—猜想—發(fā)現(xiàn)—驗證”等操作活動，感受從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、歸納、轉(zhuǎn)化等思想方法.

教學(xué)重難點

教學(xué)重點：（1）發(fā)現(xiàn)、探索勾股定理的過程.

（2）在操作、猜想、發(fā)現(xiàn)、驗證等活動過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

教學(xué)難點：如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)勾股定理以及驗證勾股定理.

設(shè)計理念

通過動手操作，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展、運用過程，將數(shù)學(xué)問題逐級展開，讓學(xué)生在“做”和“思考”的過程中積累經(jīng)驗，學(xué)會由淺入深、由特殊到一般地研究問題，形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)觀點和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

設(shè)計思路

引導(dǎo)學(xué)生回顧直角三角形全等的條件，畫直角三角形，感受直角三角形三邊之間存在著特殊的關(guān)系;通過計算以直角三角形三邊為邊長的正方形面積，猜想直角三角形三邊存在等量關(guān)系;再通過在方格紙上操作、實驗，引導(dǎo)學(xué)生將正方形的面積與直角三角形三邊的長建立聯(lián)系，從而驗證猜想;最后靈活運用勾股定理求直角三角形中未知邊的長.

教學(xué)過程

（課前準(zhǔn)備：直角三角板，圓規(guī)，邊長為1 cm的正方形方格紙）

1. 活動1：畫圖，感悟直角三角形三邊的關(guān)系

問題1：前面我們講了三角形全等的條件，那判定直角三角形全等的條件有哪些？

設(shè)計意圖 ？搖通過回顧判定直角三角形全等的條件，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形中任意兩邊長度確定，直角三角形的形狀也就確定了，于是第三邊的長隨之確定.

操作1：如圖1，已知線段a，b，c.

（1）求作直角三角形ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b;

（2）求作直角三角形ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AB=c.

（互相交流，并用圓規(guī)或直尺度量、比較第三邊的長）

設(shè)計意圖？搖 學(xué)生通過作圖、度量、比較，能更直觀地感悟到直角三角形的三邊存在特殊關(guān)系，這便為發(fā)現(xiàn)勾股定理做了鋪墊.

2. 活動2：操作，猜想直角三角形三邊的關(guān)系

操作2：在小正方形邊長為1 cm的方格紙上畫直角邊的長分別為3 cm和4 cm的直角三角形，以及直角邊的長分別為5 cm和12 cm的直角三角形，并度量斜邊的長，得到表1（單位：cm）.

問題2：觀察表1中的數(shù)據(jù)，你能找到直角三角形三邊之間存在何種等量關(guān)系嗎？

發(fā)現(xiàn)：32+42=52，52+122=132.

猜想歸納：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

設(shè)計意圖？搖 在活動1發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊存在等量關(guān)系后，進一步通過在方格紙中畫圖、度量，得到三邊的具體長度，通過對數(shù)據(jù)之間關(guān)系的探索，追問“存在何種等量關(guān)系”，從而引出“勾股定理”.

3. 活動3：計算，驗證直角三角形三邊的關(guān)系

問題3：在以上活動過程中我們發(fā)現(xiàn)了，在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，如何驗證這一猜想呢？

設(shè)計意圖？搖 經(jīng)歷操作、猜想之后，應(yīng)該進入驗證、證明環(huán)節(jié). 應(yīng)啟發(fā)學(xué)生根據(jù)等式的結(jié)構(gòu)特征，嘗試通過計算以直角三角形各邊為邊長的正方形面積來驗證這個猜想.

操作3：分別以直角三角形（∠ACB=90°）的三邊BC，AC，AB為邊長向外作正方形p，q，r，如圖2.

交流：怎樣求出正方形r的面積？

（學(xué)生小組合作，交流方法，實物投影，匯報結(jié)果. 運用“割”或“補”的方法計算正方形r的面積）

問題4：是不是所有的直角三角形都有這一特點？

操作4：在方格紙上任意畫一個頂點都在格點的直角三角形，并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向三角形外作正方形，仿照上面的方法計算各正方形的面積.

問題5：上面研究的都是頂點在格點上的直角三角形，我們能得到S+S=S. 如果頂點不在格點上，這個結(jié)論還成立嗎？

操作5：利用“幾何畫板”的度量工具，依然可以得到S+S=S .

設(shè)計意圖？搖 學(xué)生在方格紙上操作、實驗，利用幾何畫板驗證，經(jīng)歷從特殊到一般的過程，主動將正方形的面積與直角三角形三邊的長建立聯(lián)系，提供歸納、驗證的依據(jù).

歸納：勾股定理.

4. 活動4：整理，本節(jié)課的收獲

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對直角三角形有什么新的認(rèn)識？

（2）我們是如何發(fā)現(xiàn)勾股定理的？又是如何驗證的？

（3）你能證明勾股定理嗎？

設(shè)計意圖？搖 通過對本節(jié)課學(xué)習(xí)重點（探究過程）的回顧，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)探究問題的方法和所用到的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，以及語言表達能力.

“你能證明勾股定理嗎？”這句話強調(diào)了一個命題的正確性僅僅是猜想、操作、驗證還不夠，還需要經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明，這便為下一節(jié)課做了鋪墊.

5. 活動5：訓(xùn)練，鞏固所學(xué)知識

（1）必做題：課本P79-80第1、2、3題.

（2）選做題：如圖3所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7 cm，則正方形a，b，c，d的面積之和為______cm2.

設(shè)計意圖？搖 選做題有一定的難度，學(xué)生可根據(jù)自己的能力自主選做，這樣就能實現(xiàn) 《課程標(biāo)準(zhǔn)》中所要求的“讓不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展”.

教后反思

波利亞曾經(jīng)說過：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑就是由自己去發(fā)現(xiàn)和解決. ”《新課程標(biāo)準(zhǔn)》要求，通過實踐、思考、探索、交流獲得知識，所以在教學(xué)過程中，筆者力圖通過學(xué)生動手操作、動眼觀察、動口交流去發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，使得學(xué)生的自主探究能力和合作學(xué)習(xí)能力在課堂教學(xué)中得到進一步加強. 通過本節(jié)課的教學(xué)，筆者總結(jié)成功之處主要有如下幾點.

（1）真正放手將課堂交給學(xué)生. 學(xué)生自己動手操作、觀察、歸納猜想、驗證，親歷這一系列過程，會對直角三角形的三邊關(guān)系有充分的認(rèn)識.

（2）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的答案而不是直接告訴學(xué)生答案. 本節(jié)課以問題為引領(lǐng)，問題的設(shè)計旨在啟發(fā)學(xué)生思維，適合學(xué)生探究，在學(xué)生自主思考、討論交流的基礎(chǔ)上，師生進行有針對性的交流和歸納. 比如，讓學(xué)生在邊長為1 cm的正方形方格紙上畫直角三角形，意在引導(dǎo)學(xué)生通過特殊數(shù)據(jù)的結(jié)果自主發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊之間存在的特殊數(shù)量關(guān)系.

（3）尊重學(xué)生的思維，以學(xué)生的思維方向為主導(dǎo). 大多數(shù)情況下，教師希望課堂教學(xué)以自己的意志為主導(dǎo)，希望學(xué)生的思維順著教師設(shè)計的流程方向發(fā)展，所以很多時候，當(dāng)學(xué)生的表現(xiàn)跟教師的預(yù)設(shè)不一致時，大多數(shù)教師會引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換觀念，用“你的意思是不是……”“我們是不是應(yīng)該這樣想……”等語句幫助學(xué)生“糾正”. 長此以往，會限制學(xué)生的思維，會讓學(xué)生思考問題時更多地以迎合教師的觀點為主. 比如，要求學(xué)生在方格紙上任意畫一個直角三角形并驗證其是否仍然滿足猜想時，有學(xué)生畫的圖形與筆者預(yù)設(shè)的情形不同，有的學(xué)生畫的三角形三邊都不在格線上，這便給問題的開展增加了難度. 當(dāng)時，筆者沒有要求他畫出筆者預(yù)設(shè)的情形，而是現(xiàn)場將問題交給全班同學(xué)共同討論，并得到妥善解決. 這樣既尊重了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，又巧妙地化解了難題.

同時，筆者也感覺到本節(jié)課的設(shè)計有不妥之處. 例如，留給學(xué)生練習(xí)的時間少了些，課堂節(jié)奏把握得不夠好，整節(jié)課前松后緊，課堂小結(jié)比較匆忙，沒有達到預(yù)期的效果.

總之，一個有價值的數(shù)學(xué)課堂不僅是幫助學(xué)生解決問題，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，不僅要掌握本節(jié)課的知識點，更重要的是學(xué)會探究問題的方式方法;一個完整的數(shù)學(xué)活動應(yīng)該包括數(shù)學(xué)問題、學(xué)生活動、課堂組織等內(nèi)容，問題設(shè)計應(yīng)當(dāng)具備開放性，課堂組織中，教師要留給學(xué)生足夠多的時間和空間，讓學(xué)生進行充分的思考和交流，教師的提問和追問應(yīng)為后續(xù)學(xué)習(xí)提供經(jīng)驗和方法.