基于集合分劃的數(shù)列收斂的等價(jià)條件*

黃思思，桂紹輝

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

為討論問(wèn)題的方便，先給出下面2個(gè)定義.

定義1[1]設(shè)A為一個(gè)非空集合，Ω={Ai|i∈I}表示集合A的某些非空子集所構(gòu)成的集合，如果集合A的每一個(gè)元素在且只在其中某一個(gè)Ai中即Ai∩Aj=?,當(dāng)i≠j時(shí)，則稱集合Ω是集合的一個(gè)分劃，且若|Ω|=k時(shí)，則稱這種分劃是分k類的分劃.

關(guān)于用子列判斷數(shù)列收斂問(wèn)題，在文獻(xiàn)[1]中，對(duì)文獻(xiàn)[2]中的結(jié)論“數(shù)列{an}收斂?{a2k-1}和{a2k}收斂且二者極限相等”作了進(jìn)一步推廣，得到以下結(jié)論：

引理[1]數(shù)列{an}收斂?{an}的任意分?jǐn)?shù)列{an}為t類的子數(shù)列均收斂，且它們的極限相等.

本文在此結(jié)論基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析得到如下定理：

……,

即有

由引理[1]可得數(shù)列{an}收斂.

反之,利用數(shù)列與子列的關(guān)系易得.

例1若數(shù)列{a2k-1}、{a2k}和{a3k}收斂，能否保證數(shù)列{an}收斂？

證明數(shù)列{an}是收斂的.事實(shí)上，

基于此可進(jìn)一步得到以下2個(gè)推論：

推論1已知數(shù)列{a2k-1}、{a2k}收斂，若數(shù)列{an}的另一子列{aq·k}收斂(其中q=2l+1,l∈N)，則數(shù)列{an}收斂.

推論2已知數(shù)列{atk}，{atk-1}，{atk-2}，…，{atk-(t-1)}收斂(其中t∈N+，且t≥3)，若數(shù)列{an}的另一子數(shù)列{aq·k}(其中q=tl+1,l∈N)收斂，則數(shù)列{an}收斂.