巧用表格，探尋應(yīng)用題中的等量關(guān)系

■山東省濟南市平陰縣第二中學 龐秀軍

列方程（組）解應(yīng)用題是通過建立方程模型解決實際問題，是方程（組）的實際應(yīng)用。探尋出題目中各數(shù)據(jù)的數(shù)量關(guān)系，從而找到等量關(guān)系，是列方程（組）解應(yīng)用題的關(guān)鍵，但這也是學生學習時的難點。我通過近三十年的教學經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，巧用表格，可以使學生很容易探尋出應(yīng)用題中的等量關(guān)系。由于在表格中可以列出有關(guān)數(shù)據(jù)、符號、公式、表達式或文字等需要說明的事項，它能夠反映較為復雜問題中的數(shù)量關(guān)系，通過分析這些數(shù)量的關(guān)系就可以探尋出應(yīng)用題中的等量關(guān)系?？梢哉f巧用表格，探尋應(yīng)用題中的等量關(guān)系伴隨著學生整個初中階段的學習。下面舉幾例說明。

例1：一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價，又以8 折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15 元，這種服裝每件的成本是多少元？（北師大版七年級數(shù)學上冊第115頁引例）

學生剛看到這個題目時，都能完成第一步：設(shè)這種服裝每件的成本是x 元。但對如何找出題目中的等量關(guān)系和列出方程卻感到非常困難。因此，我鼓勵他們可以先畫出表格，將題目中的數(shù)據(jù)例在表格中。他們通過個人的努力和小組合作，畫出并填充出如下表格：

利潤(元)15成本(元)x標價(元)(1+40%)x折扣（折）8售價(元)(1+40%)x80%

通過分析表格中各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，自然得出了本題的等量關(guān)系：售價-進價=已知的利潤15 元，進而列出了如下的方程并完成了整個解題過程。

在隨后學習“希望工程義演”“等積變形”等內(nèi)容時，我也鼓勵學生利用表格尋找等量關(guān)系，列出方程。

例2：某旅館的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天35元。一個50人的旅游團到該旅館住宿，租住了若干客房，且每個客房正好住滿，一天共花去住宿費1510元。兩種客房各租住了多少間？（北師大版八年級數(shù)學上冊第119頁第2題）

本題要求兩個未知量，即兩種客房分別租住的間數(shù)。為此，學生設(shè)出了如下兩個未知數(shù)：三人間租住了x間，兩人間租住了y間。為了尋找各數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系以及本題的等量關(guān)系，我要求學生采用表格的方式。在列表格時，要求他們表格中的內(nèi)容既要完整，又要全面。在學生的共同努力下，他們圓滿地完成了列表的任務(wù)，并進行了填充。他們完成的表格如下：

費用（元）25·3x 35·2y 25·3x+35·2y間數(shù)(間)三人間兩人間合計x y單價（元/人）25 35所住人數(shù)（人）3x 2y 3x+2y

學生通過審題并根據(jù)填充的表格，發(fā)現(xiàn)題目中有兩個等量關(guān)系：

（1）兩種房間所住人數(shù)之和=50人

（2）兩種房間所需費用之和=1510元

所以根據(jù)等量關(guān)系列出了如下的方程組：

由于正確地列出了方程組，所以我的學生很快完成了本題的完整解答。

在八年級學習“ 雞兔同籠”“增收節(jié)支”等應(yīng)用題時，我都要求學生運用表格探尋題目中各數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系、列出方程、完成解題。

一元二次方程的利潤問題是中考的?？碱}型，它與二次函數(shù)中的最大利潤問題聯(lián)系比較密切，可以說，一元二次方程的利潤問題掌握了，二次函數(shù)中的類似問題也就能夠輕松解決。所以，在學習一元二次方程的利潤問題時，我要求學生必須全部掌握。但是這類問題數(shù)據(jù)較多，數(shù)量關(guān)系較為復雜，所以學生有時理不清各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，因而也就很難發(fā)現(xiàn)題目中的等量關(guān)系，更不用說列出方程，完成求解。在此，我還是要求他們從表格入手，將關(guān)鍵數(shù)據(jù)在表格中表示，讓他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，去探尋。

例3：新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500 元。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當銷售價為2900 元時，平均能售出8臺；而當銷售價每降價50元時，平均每天多售出4臺。商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，每臺冰箱的定價應(yīng)為多少元？（北師大版數(shù)學課本九年級上冊第54頁例2）

本題是九年級的一道應(yīng)用題，大部分學生都知道本題既可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)。為了計算的簡便，我先要求學生利用間接設(shè)法，即：設(shè)每臺冰箱降價x 元。但是對接下來如何探尋題目中各數(shù)據(jù)間的關(guān)系，如何找到等量關(guān)系、列出方程，學生就感到非常困難，覺得無從下手了。此時，我提示道：在初一學習打折銷售時，我們借助表格，去探尋題目中各數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系，你們能不能也試著列出表格，但是先不要填充內(nèi)容，只是表明表格中每一行和每一列所代表的實際意義。接著我讓學生先獨立完成，然后進行小組合作，最后再在班里分享各小組的結(jié)果。經(jīng)過他們的共同努力，畫出了如下表格：

解：設(shè)每臺冰箱降價x元

進價 售價 每臺利潤 銷量 總利潤降價前降價后

在填充內(nèi)容時，降價后的銷量出現(xiàn)了困難。此時，我先通過舉例，由具體的數(shù)字，再到一般字母表示，按照由特殊到一般的順序進行講解，直到他們能正確地用表達式表示出為止。在表格中他們填出了如下內(nèi)容：

總利潤降價前降價后進價2500 2500售價2900 2900-x每臺利潤2900-2500 2900-x-2500銷量8 8+X 50×4 5000

通過讀題，學生已經(jīng)知道：每臺的利潤×銷量=總利潤，所以依此為等量關(guān)系，就列出了如下方程：

由于列出了方程，后面的解題過程就變得容易了。因為本題也可以通過直接設(shè)未知數(shù)的方法列出方程，所以接著我又讓學生按照直接設(shè)法，重新填充以上表格，并讓學生自己去發(fā)現(xiàn)在表格中所填充的內(nèi)容有哪些發(fā)生了變化，為什么會有這樣的變化，通過這種比較可以使學生鞏固所學的知識。學生根據(jù)表格中各數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系和題目中的等量關(guān)系列出了新的方程，并完成了整個求解過程。

當然，分析問題、解決問題的方法多種多樣，巧列表格，探尋應(yīng)用題中的等量關(guān)系只是其中的一種。所以，在教學中我們也要鼓勵學生一題多解或多題一解，這樣可以培養(yǎng)學生的思維，提高解題的靈活性。