區(qū)間數(shù)型隧道圍巖綜合分級云優(yōu)化理論模型

盧宇明

(桂林航天工業(yè)學(xué)院能源與建筑環(huán)境學(xué)院，桂林 541000)

在隧道建設(shè)過程中，準(zhǔn)確的圍巖分級對保證隧道施工的穩(wěn)定性有重要意義[1]。由于隧道圍巖指標(biāo)的不確定性及測試精度的限制，其實測指標(biāo)并非是一個固定的實數(shù)值[2]，某個力學(xué)參數(shù)的范圍值往往比一具體定值更容易確定[3-4]，只是在使用時往往將其取平均值。但用此計算得到的結(jié)果并不準(zhǔn)確[2]。于是，用區(qū)間數(shù)進(jìn)行公路隧道圍巖分級的研究受到人們的關(guān)注。董隴軍等[3]采用區(qū)間值表示巖體力學(xué)參數(shù)取值，以反映參數(shù)取值的不確定性特征。王繼承等[5]采用區(qū)間分析方法研究圍巖的力學(xué)狀態(tài)，并提出了一種區(qū)間模型計算程序及其在深部巷道分析中的應(yīng)用。張亦飛等[6]為充分利用區(qū)間數(shù)攜帶的信息，提出了一種基于區(qū)間數(shù)的隧道圍巖組合分類法。陳繼光[7]針對圍巖穩(wěn)定性評判為典型的區(qū)間數(shù)多屬性決策問題，將基于灰色系統(tǒng)理論的多指標(biāo)灰區(qū)間數(shù)關(guān)聯(lián)決策模型應(yīng)用于圍巖穩(wěn)定性評判。蔣健等[8]則基于集對分析聯(lián)系數(shù)的理論，提出一種進(jìn)行隧道圍巖分級的區(qū)間數(shù)方法。以上這些方法為區(qū)間數(shù)在隧道圍巖分級中的應(yīng)用起到了較好的作用，但這些方法僅考慮了模糊不確定性而未考慮隨機(jī)不確定性，反映在其內(nèi)部規(guī)律上還是不全面的。

同時考慮到圍巖綜合分級中存在的模糊不確定性與隨機(jī)不確定性，將云模型理論應(yīng)用于圍巖綜合級的圍巖樣本指標(biāo)仍然取平均值作為確定的實數(shù)值分級是有意義的，近年來已有許多學(xué)者對此進(jìn)行了研究[8-16]。但這些研究在隧道圍巖綜合分級中是將用區(qū)間數(shù)表示的圍巖分級標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為云模型，待分級的圍巖樣本指標(biāo)仍然取平均值作為確定的實數(shù)值計算的。這種圍巖分級標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)用云模型表示，而待分級的圍巖樣本指標(biāo)人為地用平均值代替的做法，仍不是真正意義上的云模型。目前，對圍巖分級標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)及待分級的圍巖樣本指標(biāo)均為區(qū)間數(shù)的情況則很少有人關(guān)注。由于云模型用期望值、熵和超熵三個數(shù)值來表征定性概念的模糊性和隨機(jī)性，便于揭示不確定性的普遍規(guī)律[17]。針對這一現(xiàn)實，將圍巖分級標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)及待分級的圍巖樣本指標(biāo)均用區(qū)間數(shù)，運用擴(kuò)展的最小二乘方準(zhǔn)則構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，通過拉格朗日乘數(shù)法建立區(qū)間數(shù)型公路隧道圍巖綜合分級云優(yōu)化理論模型，為公路隧道圍巖綜合分級提供一種新方法，并與用其他方法得到的結(jié)果進(jìn)行對比。

1 云模型及其數(shù)字特征

1.1 云和云滴

假定U是一個精確數(shù)值表示的定量論域，C是U上的一個定性概念，若定量值x∈U，且x是定性概念C的一次隨機(jī)實現(xiàn)，x對C的確定度μ(x)∈[0,1]是有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)，則x在論域U上的分布稱為云模型，每一個x稱為一個云滴[18]。

1.2 云模型的數(shù)字特征

圖1 云模型的數(shù)字特征Fig.1 The numerical characteristics of the cloud model

云模型用期望Ex、熵En和超熵He這3個數(shù)字特征反映定性概念整體的定量特征[18]。如圖1所示，橫軸表示某一概念不確定性度量的范圍，縱軸表示隸屬度。期望Ex表示定性概念的基本確定性度量，反映在云圖上就是云的最高點，即隸屬度為1的點；熵En表示某個不確定性概念的不確定性度量，可以反映被延伸的范圍，熵越大概念越宏觀；超熵He是熵的不確定性度量，主要體現(xiàn)樣本的隨機(jī)性，即云圖上云滴的離散程度。

2 區(qū)間數(shù)型隧道圍巖綜合分級云優(yōu)化理論模型的建立

記a=[aL,aU]={x│aL≤x≤aU且0≤aL≤aU}，稱a為一個區(qū)間數(shù)。特別地，當(dāng)aL=aU時，則a即退化為一個正實數(shù)。

(2)

模型的建立步驟如下。

2.1 區(qū)間數(shù)規(guī)范化處理

由于各指標(biāo)的量綱不同，不便于比較，需要先對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范化處理。采用文獻(xiàn)[7]的方法得到規(guī)范化區(qū)間數(shù)型矩陣aij：

(3)

式(3)中：maxaij表示隧道圍分級標(biāo)準(zhǔn)中某一指標(biāo)對應(yīng)的最大值。

(4)

2.2 區(qū)間數(shù)向云模型的轉(zhuǎn)化

(6)

(7)

對于超熵Heij的取值，有的文獻(xiàn)設(shè)定為常數(shù)[9]，這與其定義不符。于是，文獻(xiàn)[15]對其進(jìn)行了改進(jìn)，調(diào)整Heij的求解公式如式(8)所示：

(8)

這樣，Heij直接與Enij大小相關(guān)，避免了對所有指標(biāo)取同一常數(shù)的不足。

圍巖分級標(biāo)準(zhǔn)云矩陣轉(zhuǎn)化同上。

于是由式(6)～(8)得待分級圍巖樣本指標(biāo)云矩陣C及圍巖分級標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)云矩陣Cs:

(9)

(10)

2.3 計算待分級圍巖指標(biāo)與分級標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)的云距離

對于第j個待分級圍巖樣本云Cj=(Exj，Enj，Hej)及h級標(biāo)準(zhǔn)云Ch=(Exh，Enh，Heh)，為了表示其貼近程度，就要對其進(jìn)行相似性度量。根據(jù)云的數(shù)字特征及文獻(xiàn)[19]的思路，它們之間的相似程度d(Cj,Ch)用如式(11)所示的距離測度定義：

d(Cj,Ch)=〔|(Exj-Exh)-(Enj-Enh)|+

(11)

式(11)中：p為距離參數(shù)，當(dāng)p=1時為海明距離，當(dāng)p=2時為歐氏距離。

式(11)這種相似性度量公式，具有以下性質(zhì)：① 0≤d(Cj,Ch)<1；②d(Cj,Ch)=d(Ch,Cj)；③ 如果j=h，那么d(Cj，Ch)=0。

設(shè)分級指標(biāo)的權(quán)重為wi(i=1,2,…,m)，則第j種圍巖對第h級的加權(quán)距離D(Cj,Ch)：

(12)

2.4 建立區(qū)間數(shù)型隧道圍巖綜合分級云優(yōu)化理論模型

從多維空間概念出發(fā)，加權(quán)距離又可理解為待分級圍巖各指標(biāo)構(gòu)成的點與圍巖分級標(biāo)準(zhǔn)各指標(biāo)確定的點之間的相對空間距離。因此，按照文獻(xiàn)[20]的思路，則以第j種圍巖的指標(biāo)云Cj(Exij,Enij,Heij)與第h級圍巖標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)云Ch(Exhj,Enhj,Hehj)間的差異程度uhj為權(quán)的加權(quán)距離R(Cj,Ch)表示為

(13)

構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)min[F(uhj)]為

min[F(uhj)]=

(14)

由于

(15)

于是，根據(jù)式(14)、式(15)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

(16)

分別對式(16)的變量uhj和拉格朗日乘數(shù)λ求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得：

(17)

(18)

聯(lián)立式(17)、式(18)得：

uhj=

(19)

(20)

3 實例分析

為了便于比較，采用文獻(xiàn)[21]云嶺隧道、文獻(xiàn)[22]西河潭隧洞及某市政隧道的各2個實例(表1)進(jìn)行計算分析。

表1 待分級圍巖指標(biāo)Table 1 Surrounding rock index to be classified

由表1，云嶺隧道S1段圍巖為弱風(fēng)化千枚巖，S2段圍巖為弱～微風(fēng)化灰?guī)r，勘察報告給出的是巖體質(zhì)量指標(biāo)RQD、波速vp的區(qū)間值，通過規(guī)范計算得到的是BQ的區(qū)間。西河潭隧洞及某市政隧道圍巖的BQ由巖石飽和單軸抗壓強(qiáng)度Rc和巖體完整性指數(shù)Kv根據(jù)《工程巖體分級標(biāo)準(zhǔn)》 GB/T 50218—2014及《公路隧道設(shè)計規(guī)范》JTG D70—2004中的公式求得，并根據(jù)地下水情況進(jìn)行了修正，不考慮主要軟弱結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀影響及初始應(yīng)力狀態(tài)影響。云嶺隧道地下水出水狀態(tài)均按點滴滲漏考慮，無主要軟弱結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀影響及初始應(yīng)力狀態(tài)影響。分級采用工程隧道圍巖分級中常用的RQD法、BQ值法和彈性波速vp法，組合分級標(biāo)準(zhǔn)如表2所示[6]。

表2 公路隧道圍巖組合分級標(biāo)準(zhǔn)Table 2 Classification standard of surrounding rock for highway tunnel

分級指標(biāo)值上限參考文獻(xiàn)[16]，即RQD上限為100%，下限為0；vp上限為5.0 km/s，下限為0.2 km/s；BQ上限為600，下限為0，于是由式(3)得規(guī)范化待分級圍巖矩陣X及規(guī)范化圍巖分級標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)矩陣Y：

(21)

(22)

由式(6)～式(8)將規(guī)范化待分級圍巖指標(biāo)矩陣及圍巖分級標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)矩陣分別轉(zhuǎn)化為云特征矩陣C及Cs：

(23)

Cs=

(24)

取p=1，由式(11)得歐氏距離矩陣D:

(25)

aij落入指標(biāo)i的第h、(h+1) 級標(biāo)準(zhǔn)值sih～si(h+1)的未歸一化權(quán)重wij按線性內(nèi)插公式確定。

(26)

根據(jù)式(16)求得3個實例的指標(biāo)權(quán)重W:

(27)

由式(15)得差異程度矩陣U:

(28)

分級的順序為S1段：Ⅴ>Ⅵ>Ⅳ>Ⅲ>Ⅱ>Ⅰ；S2段：Ⅲ>Ⅳ>Ⅱ>Ⅰ>Ⅴ>Ⅵ；西河潭隧洞1：Ⅲ>Ⅴ>Ⅳ>Ⅱ>Ⅰ>Ⅵ；西河潭隧洞2：Ⅲ>Ⅳ>Ⅴ>Ⅵ>Ⅰ>Ⅱ；某市政隧道a：Ⅳ>Ⅴ>Ⅰ>Ⅲ>Ⅱ>Ⅵ；某市政隧道b：Ⅳ>Ⅴ>Ⅲ>Ⅰ>Ⅱ>Ⅵ。

綜合分級結(jié)果如表3所示。表3的分級結(jié)果與直觀落入?yún)^(qū)間對照分級結(jié)果是一致的，但對照分級法往往出現(xiàn)相互矛盾的情況。

表3 綜合分級結(jié)果Table 3 Comprehensive grading result

需要說明的是，文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[22]采用的是圍巖分類，其類別與規(guī)范及本文采用的分級順序相反。例如，文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[22]判定S1段為Ⅱ類圍巖，即相當(dāng)于規(guī)范及文中Ⅴ級圍巖。另外，文獻(xiàn)[8]是采用的《工程巖體分級標(biāo)準(zhǔn)》GB 50218—1994計算BQ，而文中采用的是《工程巖體分級標(biāo)準(zhǔn)》GB/T 50218—2014計算后進(jìn)行了修正，二者用Rc和Kv計算BQ的公式是有差異的。

隧道是極其復(fù)雜的地質(zhì)體，具有很強(qiáng)的不確定性，加之受測試手段及客觀條件的限制，在勘察及設(shè)計階段做出一個比較準(zhǔn)確的分級是比較困難的。在施工階段可根據(jù)揭露的圍巖特征[23]及地下水發(fā)育情況、隧道支護(hù)變形情況，及時補(bǔ)充圍巖分級信息及參數(shù)綜合分析，進(jìn)行動態(tài)分級[24]是比較符合實際的。這也體現(xiàn)了動態(tài)設(shè)計、信息化施工的理念?，F(xiàn)行的規(guī)范隧道圍巖分級，也是這樣要求進(jìn)行修正的。

目前隧道圍巖分級方法有多種，且每種方法具有較好的相關(guān)性[25]，可以采用多種方法相互驗證，以提高隧道圍巖分級的精度。

4 結(jié)論

(1)隧道圍巖分級指標(biāo)及分級標(biāo)準(zhǔn)均為區(qū)間數(shù)，同時具有模糊不確定性和隨機(jī)不確定性特征，用單一的模糊集合方法和隨機(jī)數(shù)學(xué)方法處理都是不全面的。

(2)云模型理論同時考慮了區(qū)間數(shù)的模糊不確定性和隨機(jī)不確定性，用其進(jìn)行隧道圍巖綜合分級是合理可行的。

(3)定義了云模型距離測度，運用擴(kuò)展的最小二乘方準(zhǔn)則構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，通過拉格朗日乘數(shù)法建立的隧道圍巖分級模型，概念清晰，數(shù)學(xué)推導(dǎo)合理，評價結(jié)論更加符合實際。該模型在隧道圍巖分級中的應(yīng)用拓展了云模型理論應(yīng)用范圍。