挖掘圖形特征 凸顯問(wèn)題本質(zhì)

施平

[摘 ?要] 試題命制源于教材，以課本資源為載體，從學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，關(guān)注提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);試題的命制過(guò)程，是經(jīng)歷從原始框架到幾易其稿，再到最終定稿的蛻變過(guò)程;依托圖形的性質(zhì)進(jìn)行深層次的挖掘拓展延伸，揭示問(wèn)題的本質(zhì)特征.

[關(guān)鍵詞] 試題;命制;生成;思考;延伸

筆者有幸多次參與本縣市統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題命題工作，在試題的命制過(guò)程中逐步掌握一些命題技術(shù)、原則和技巧;對(duì)于本道題的命制，基于圖形的基本特征，借助“幾何畫(huà)板”的動(dòng)態(tài)與度量功能，持續(xù)挖掘，不斷增強(qiáng)試題與預(yù)設(shè)目標(biāo)的契合度，經(jīng)歷了反復(fù)權(quán)衡、不斷斟酌、抽絲剝繭、凸顯內(nèi)涵的過(guò)程. 以下筆者將對(duì)試題如何生成、命題過(guò)程中的思考以及試題拓展延伸講一些體會(huì)，與同行交流.

試題展示

如圖1，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=α（0<α≤90°），E為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B重合），BE

（1）求證：∠AFE=∠BAE.

（2）若α=60°，

①當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng);

②點(diǎn)M為BE的中點(diǎn)，求CE+ME的最小值.

命題立意及來(lái)源

（一）命題立意

本試題的命制，借助幾何基本圖形的特征，將導(dǎo)角問(wèn)題、特殊三角形存在探究問(wèn)題、最值問(wèn)題、相似、圓等有機(jī)融合一起，力求既能深度考查初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，又能綜合考查數(shù)學(xué)基本思想方法的運(yùn)用;既能提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，又能挖掘?qū)W生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

知識(shí)層面：著重考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)判定、角平分線性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形三邊關(guān)系、垂線段最短等;

思想層面：試題滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、方程函數(shù)、特殊與一般的思想;

能力層面：力求提高抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí);

素養(yǎng)層面：關(guān)注提升學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

（二）原始模型

命制時(shí)選取的素材是人教版八年級(jí)下冊(cè)第十八章56頁(yè)的例3，通過(guò)這個(gè)例題給我們啟示：賦予菱形一個(gè)內(nèi)角度數(shù)和邊長(zhǎng)，即可求出其他的元素，包括其他邊、其他角、兩對(duì)角線長(zhǎng)，菱形的高、周長(zhǎng)、面積等.

試題的生成與解析

菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形所有的性質(zhì)，同時(shí)菱形又有一個(gè)很重要的本質(zhì)特征——對(duì)稱(chēng)性. 基于此，本道試題就以菱形為基本圖形，通過(guò)菱形的對(duì)角線特征（垂直平分、平分對(duì)角），利用菱形的對(duì)稱(chēng)性，如圖2在對(duì)角線BD（對(duì)稱(chēng)軸）上任取一點(diǎn)E，設(shè)置BE

1. 點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠AFE在變化，但由于平行關(guān)系，∠AFE恒等于∠FCB，而∠FCB=∠BAE，導(dǎo)角得出角之間的相等關(guān)系，基于此思考，第一問(wèn)設(shè)置了一個(gè)兩角相等的證明問(wèn)題.

2. 賦予∠ABC=60° ，幾何畫(huà)板上拖動(dòng)E點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中觀察△AEF，其特征是點(diǎn)A定，點(diǎn)E和點(diǎn)F在動(dòng)，在某個(gè)位置可能出現(xiàn)特殊三角形，進(jìn)而可以設(shè)置三角形的存在探究型問(wèn)題，而特殊三角形的指向可能是直角或等腰三角形，引發(fā)學(xué)生分情況討論直角三角形存在的可能性. 圖形定性后考查線段或角度的定量，探究直角三角形下邊角之間的特殊關(guān)系，可直接計(jì)算或通過(guò)設(shè)元利用勾股定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)從定性到定量的有效融合，通過(guò)由靜到動(dòng)的過(guò)程拓寬試題的廣度，設(shè)置存在探究性問(wèn)題達(dá)到思維路徑和解決策略的開(kāi)放性.

3. 菱形中的最值問(wèn)題常圍繞“菱形的高”去命制，本問(wèn)對(duì)高進(jìn)行拆分，看成由兩線段AE和EH構(gòu)成，AE通過(guò)對(duì)稱(chēng)可轉(zhuǎn)化為CE，EH可利用直角三角形30度的特殊邊角關(guān)系與ME進(jìn)行互化，并利用菱形的對(duì)稱(chēng)性、兩點(diǎn)之間線段最短（三角形三邊關(guān)系）或垂線段最短將兩線段最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單線段（即菱形的高）最值問(wèn)題.

試題的拓展延伸

在命完上述問(wèn)題后，仔細(xì)琢磨這個(gè)圖形，借助畫(huà)板繼續(xù)挖掘圖形特征，筆者嘗試在原題基礎(chǔ)上做變化拓展延伸.

1. 延伸1：對(duì)于原題的第一問(wèn)（求證兩角相等），結(jié)合一個(gè)公共角相等，可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)△AEG∽△FEA，即由此可拓展延伸為：求證AE2=EG·EF，或由于對(duì)稱(chēng)性得到AE=EC，可設(shè)置問(wèn)題“探索EC，EG，EF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由”.

2. 延伸2：原題的第二問(wèn)設(shè)置了直角三角形的存在探究類(lèi)問(wèn)題，嘗試拓展為：當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng). 這里同樣需要分情況討論.

簡(jiǎn)解 ?（1）若FA=FE，如圖5，可求得∠F=20°，進(jìn)而得出∠EAO=40°，并將BE轉(zhuǎn)化，進(jìn)而可求出BE=OB-OE=2 -2 tan40°;

（2）若AE=AF，如圖6，可求得∠F=40°，進(jìn)而得出∠EAO=20°，并將BE轉(zhuǎn)化，即可求出BE=OB-OE=2 -2tan20°;

（3）若EA=EF，出現(xiàn)∠EFA=∠FAE=∠BAE的情況，即∠FAB=0°，與已知產(chǎn)生矛盾，故這種情況不可能存在.

這里發(fā)現(xiàn)一個(gè)遺憾：就是求BE的長(zhǎng)時(shí)要用到非特殊角的三角函數(shù)，學(xué)生解答時(shí)應(yīng)提供給其具體數(shù)據(jù)，并且答案要取近似值.

3. 延伸3：如圖7，原題中的第二問(wèn)（直角三角形），當(dāng)∠AEF為直角時(shí)，可得出∠AEC為直角，此時(shí)若把∠AEC看作圓周角，此時(shí)AC應(yīng)為直徑，由此可設(shè)置問(wèn)題“當(dāng)點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上時(shí)，求AF的長(zhǎng)”.

簡(jiǎn)解 ?可將此問(wèn)題化歸為原題中的第二問(wèn)（直角三角形存在問(wèn)題），再通過(guò)相似求出AF.

4. 延伸4：以上研究△AFG的存在探究問(wèn)題，嘗試研究其周長(zhǎng)或面積，拖動(dòng)點(diǎn)E，發(fā)現(xiàn)其面積隨著點(diǎn)E的變化而變化，受此啟示，嘗試滲透“函數(shù)”思想，如圖8，設(shè)AF=x為自變量，△AFG的面積y為因變量，設(shè)置問(wèn)題是“求y與x的函數(shù)關(guān)系式”.

簡(jiǎn)解 ?由于AF∥BC，因此△AFG∽△BCG，設(shè)△AFG的高為h， = ，h= ，進(jìn)而表示出面積.

5. 對(duì)于第三問(wèn)的最值問(wèn)題可拓展為：隱去中點(diǎn)M，改變問(wèn)題的形式，將原問(wèn)中的系數(shù)為1的兩線段相加變式為系數(shù)不等的兩線段相加，考查學(xué)生思維應(yīng)變能力，這個(gè)問(wèn)題與原題本質(zhì)相同，形式不同，關(guān)注考查學(xué)生對(duì) BE如何合理轉(zhuǎn)化，這就出現(xiàn)了延伸5的問(wèn)題：求CE+ BE的最小值.

6. 在此基礎(chǔ)上，將α的度數(shù)進(jìn)行變化，當(dāng)α=90°時(shí)，如圖9，此時(shí)菱形就為正方形，問(wèn)題拓展為：求CE+ BE的最小值，從60度變化為90度，即從菱形變?yōu)檎叫?，如圖9，探究對(duì) BE如何轉(zhuǎn)化. 再將問(wèn)題一般化，α角是一個(gè)任意角呢？如圖10，求CE+BE·sin 的最小值，設(shè)計(jì)意圖是將BE·sin 轉(zhuǎn)化為EH，CE轉(zhuǎn)化為AE，化折為直，化斜為直，從特殊到一般將問(wèn)題逐步推向深處.

7. 延伸7：對(duì)于最值問(wèn)題，利用菱形的對(duì)角線特征，在此圖形中還可做如下的延伸拓展：如圖11，取DE中點(diǎn)N，求CM 2+CN 2的最小值.

簡(jiǎn)解 ?設(shè)BM=x，ME=BM=x，CM 2=OM 2+OC 2=（2 -x）2+22，CN 2=x2+22，CM 2+CN 2=（2 -x）2+22+x2+22=2x2-4 x+20=2（x- ）2+14，當(dāng)x= 時(shí)，CM 2+CN 2的最小值為14.

8. 延伸8：受到上述啟發(fā)，兩線段平方和的最值可求，那么兩線段的和是否存在最值呢？如圖12，由于M，N分別是BE，DE的中點(diǎn)，BD是定長(zhǎng)，MN也是定長(zhǎng)，基于此思考，還可設(shè)問(wèn)：“取DE中點(diǎn)N，求△CMN周長(zhǎng)的最小值”.

現(xiàn)將兩種解法呈現(xiàn)如下：

解法1 ?可將CM+CN轉(zhuǎn)化為含x的兩根式相加，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化成平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離問(wèn)題.

解法2 ?如圖12，過(guò)點(diǎn)C作CP∥MN，且CP=MN，易得到？荀MNPC，從而CM+CN=CN+NP，而A，C兩點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，即轉(zhuǎn)化為AP的長(zhǎng)，將“一定兩動(dòng)”轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)”問(wèn)題，而MN為定長(zhǎng)，從而三角形周長(zhǎng)最小值問(wèn)題得以解決.

9. 延伸9：進(jìn)一步挖掘圖形特征，如圖13，∠ABC為任意銳角，在∠F=∠BAE已證的基礎(chǔ)上，而這兩角為一線上的兩等角，試想如果∠ADB=∠F=∠BAE，這個(gè)圖形就具備“一線三等角”的圖形特征. 順著這個(gè)思路往下走，若∠ADB=∠ABD=∠BAE，相當(dāng)于EA=EB=EC，因此就加了一個(gè)條件：動(dòng)點(diǎn)E為△ABC的外心，在此前提下，可發(fā)現(xiàn)△ADE∽△GFA. 又△GFA∽△GCB，所以△ADE∽△GCB. 這兩個(gè)三角形中，AD與BC均為已知邊，且不是對(duì)應(yīng)邊，因此就有了結(jié)論：DE·CG為定值.

簡(jiǎn)解 ?因?yàn)镋為外心，可知EA=EB=EC，這就有∠EAB=∠ABE=∠ADE=∠AFG，從而△ADE∽△GFA∽△GCB，所以 = ，DE·CG=AD·CB=4×4=16.

10. 延伸10：如圖14，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E為△ABC的外心時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠AFE=∠ABE，看到了A，F(xiàn)，B，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，只是“共圓”的證明過(guò)程較煩瑣，回避這個(gè)問(wèn)題. 從另一角度可以看到△AFG∽△EBG，再進(jìn)一步得出△AEG∽△FBG，進(jìn)而得到∠GAE=∠GFB=∠AFG，基于以上這些分析，可設(shè)置問(wèn)題：“求證：EF平分∠AFB”.

簡(jiǎn)解 ?E是外心時(shí)，可知EA=EB=EC，可得∠EAB=∠ABE=∠AFE，進(jìn)一步得到△AFG∽△EBG，就有 = ，依此可發(fā)現(xiàn)△AEG∽△FBG，從而就有∠GAE=∠GFB=∠AFG，所以EF平分∠AFB.

命題反思

（一）重視教材，關(guān)注學(xué)生發(fā)展

試題應(yīng)對(duì)一線教學(xué)具有一定的導(dǎo)向作用與指導(dǎo)價(jià)值，引領(lǐng)老師們重視教材，創(chuàng)造性運(yùn)用教材，引領(lǐng)老師們反思教學(xué)，樹(shù)立以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，在課堂教學(xué)中關(guān)注知識(shí)的內(nèi)涵，知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，關(guān)注幾何圖形變化過(guò)程中的不變性，關(guān)注分類(lèi)討論轉(zhuǎn)化思想的滲透.

（二）關(guān)注能力，提升素養(yǎng)發(fā)展

試題源自教材例題、習(xí)題，依托圖形特征，利于學(xué)生找到解決問(wèn)題的切入口，學(xué)生會(huì)有似曾相識(shí)的感覺(jué)，因此可以有效激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)探究欲望，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，在思考的同時(shí)關(guān)注其能力的發(fā)展;同時(shí)試題的設(shè)計(jì)、拓展問(wèn)題的設(shè)置實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想、方法的高度融合、運(yùn)用與考查. 試題的解決，需要學(xué)生具有邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（三）恒久堅(jiān)守，不斷追求卓越

數(shù)學(xué)命題過(guò)程辛苦而又孤獨(dú)，常常是獨(dú)自一人閉門(mén)而思，往往是長(zhǎng)時(shí)間的不懈思考，為尋求好的問(wèn)題經(jīng)常絞盡腦汁，對(duì)身心是極大的挑戰(zhàn). 這就需要恒心毅力，以高標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)格要求自我，突破自我，超越自我，把命題過(guò)程當(dāng)作是一次愜意的旅行，不在乎目的地，在乎沿途的風(fēng)景. 多年的堅(jiān)守只為了不斷追求卓越，命題路漫漫，無(wú)畏路途的崎嶇，只因初心不改！