淺談分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

鄔吉利

[摘 ?要] 分類思想是初中數(shù)學(xué)知識(shí)生成的過(guò)程中需要運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想方法，分類思想的具體體現(xiàn)就是分類討論方法. 分類思想滲透的基本思路是教師通過(guò)問(wèn)題的提出，讓學(xué)生有了一個(gè)體驗(yàn)分類的過(guò)程. 分類思想從方法層面來(lái)看，屬于數(shù)學(xué)思想方法一類;而從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度來(lái)看，分類思想則是指向?qū)W生的思維發(fā)展的. 只有瞄準(zhǔn)學(xué)生的思維需要，瞄準(zhǔn)學(xué)生思維成長(zhǎng)的方法，分類思想方法才能在滲透的過(guò)程中體現(xiàn)其價(jià)值，彰顯其意義.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);分類思想;數(shù)學(xué)教學(xué);滲透

隨著課程改革的深入發(fā)展，隨著核心素養(yǎng)的有序推進(jìn)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視思想方法的教學(xué)，已經(jīng)成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教師的基本共識(shí). 而且對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，目前也基本上都認(rèn)同一個(gè)觀點(diǎn)，那就是思想方法是重要的，思想方法具有一定的嚴(yán)格定義與實(shí)現(xiàn)途徑，但是思想方法本身并不適宜作為一個(gè)直接教學(xué)的內(nèi)容，尤其是面向初中學(xué)生，思想方法更應(yīng)當(dāng)是一滲透的教學(xué)方式，即讓學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)與運(yùn)用的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)性運(yùn)用，去實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)與內(nèi)化. 這種滲透的教學(xué)思路，是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的主流思路. 筆者近來(lái)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)分類思想進(jìn)行了相關(guān)的研究，取得了比較豐富的認(rèn)識(shí).

所謂數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類的一種數(shù)學(xué)思想. 分類思想既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法. 分類思想在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中，常常是與數(shù)學(xué)分類討論的方法結(jié)合在一起的，而所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對(duì)象分成幾類，分別進(jìn)行討論來(lái)解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)方法. 可以簡(jiǎn)略地講，分類思想是初中數(shù)學(xué)知識(shí)生成的過(guò)程中需要運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想方法，分類思想的具體體現(xiàn)就是以分類討論方法為形式的體現(xiàn). 下面從三個(gè)方面闡述筆者的相關(guān)認(rèn)識(shí).

分類思想促進(jìn)學(xué)生更好地分析并解決問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)教學(xué)可以分成新知識(shí)學(xué)習(xí)與運(yùn)用兩個(gè)方面，無(wú)論是新的概念、規(guī)律的學(xué)習(xí)，還是其運(yùn)用，都有一個(gè)共同的環(huán)節(jié)，那就是問(wèn)題解決. 數(shù)學(xué)概念建立的過(guò)程中有問(wèn)題解決，數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的過(guò)程中也有問(wèn)題解決，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生要會(huì)用觀察、比較和分析的方法思考問(wèn)題，會(huì)用有條理的語(yǔ)言來(lái)闡述自己的思想，而這就需要學(xué)生運(yùn)用分類的思維方法來(lái)思考問(wèn)題.

例如，在“有理數(shù)”的學(xué)習(xí)中，有一類問(wèn)題非?；A(chǔ)，也具有一定的典型意義，這就是比較有理數(shù)的大小的問(wèn)題，初一新生對(duì)此問(wèn)題常常比較苦惱，因?yàn)榭傆幸恍╊}目會(huì)出錯(cuò). 很多情況下，教師教給學(xué)生的常常是一些比較技巧，目的是為了讓學(xué)生正確比較出有理數(shù)的大小，以為考試時(shí)拿分，這樣的策略不足以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí).

實(shí)際上，此處可以采用分類思想來(lái)幫學(xué)生解決問(wèn)題. 筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的幾個(gè)問(wèn)題：在有理數(shù)的大小比較中，你遇到過(guò)哪些情況？能否進(jìn)行一下分類？（提出這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，筆者下發(fā)了學(xué)生近期所做過(guò)的比較有理數(shù)大小的題目）在這個(gè)問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)之下，在學(xué)生對(duì)自己所做過(guò)的相關(guān)題目的回顧與分析中，可以通過(guò)分類得出這樣一些結(jié)果：一是正數(shù)與負(fù)數(shù)的比較（這個(gè)最簡(jiǎn)單，學(xué)生最容易想到）;二是正數(shù)、負(fù)數(shù)跟0的比較;三是正數(shù)跟正數(shù)的比較;四是負(fù)數(shù)跟負(fù)數(shù)的比較.

隨后進(jìn)一步提出的問(wèn)題是：這四類比較中，哪些你是有把握的？哪些你是感覺(jué)有困難的？學(xué)生通過(guò)討論交流發(fā)現(xiàn)：第一、二、三類其實(shí)都是比較容易解決的，唯獨(dú)第四類負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)的比較，存在著一些困難，而究其原因是學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)原本比較陌生，缺少對(duì)負(fù)數(shù)的直覺(jué)認(rèn)識(shí)，現(xiàn)在讓他比較負(fù)數(shù)大小，更加會(huì)捉襟見(jiàn)肘. 通過(guò)分類發(fā)現(xiàn)了難點(diǎn)所在，下面的關(guān)鍵就是想辦法解決問(wèn)題，考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，筆者讓學(xué)生將負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)比較大小，與正數(shù)與正數(shù)比較大小進(jìn)行對(duì)比，譬如a，b均為正數(shù)，且a>b，那當(dāng)a，b取相反數(shù)時(shí)，結(jié)果是什么呢？

以上就是一個(gè)典型的通過(guò)分類去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的案例，而這個(gè)過(guò)程中的分類并沒(méi)有以貼標(biāo)簽的形式出現(xiàn)，只是教師通過(guò)問(wèn)題的提出，讓學(xué)生有了一個(gè)體驗(yàn)分類的過(guò)程，這正是分類思想滲透的基本思路.

在初中數(shù)學(xué)習(xí)題解答過(guò)程中滲透分類思想

眾所周知，“分類”最初是源于生活用于生活，分類思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)中的基本邏輯方法，也是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，它應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中. 但同時(shí)不可否認(rèn)的是，除了新的知識(shí)學(xué)習(xí)之外，初中學(xué)生最主要的任務(wù)，就是做題目. 筆者以為，在當(dāng)前評(píng)價(jià)考核機(jī)制的背景之下，習(xí)題解答并不宜“妖魔化”，應(yīng)當(dāng)視其為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)、生成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要機(jī)會(huì). 習(xí)題解答不同于一般的問(wèn)題解決，數(shù)學(xué)習(xí)題往往沒(méi)有太多的生活元素，更多的是通過(guò)已知條件的呈現(xiàn)并讓學(xué)生在解答未知的過(guò)程中，去運(yùn)用自己的邏輯推理能力實(shí)現(xiàn)解題. 如果在習(xí)題教學(xué)中能夠引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類思想，那也能起到很好的滲透作用.

例如，在函數(shù)知識(shí)的教學(xué)中，有這樣的一類習(xí)題比較典型：已知函數(shù)y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m為實(shí)數(shù)），如果函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，那m的值是多少？

教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，很多學(xué)生在這道習(xí)題的解答中，往往第一反應(yīng)就是認(rèn)為這是一個(gè)二次函數(shù)——對(duì)應(yīng)著一元二次方程，當(dāng)其與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，說(shuō)明該一元二次方程的Δ值為0，然后通過(guò)Δ=b2-4ac去求出m的值. 而等到教師強(qiáng)調(diào)這一思路的缺陷時(shí)，相當(dāng)一部分學(xué)生呈現(xiàn)出恍然大悟的樣子：是自己粗心，沒(méi)有想到這個(gè)函數(shù)有可能不是二次函數(shù).

這真的是粗心嗎？不是！本質(zhì)上這是學(xué)生的思維認(rèn)知水平偏低，不知道習(xí)題的復(fù)雜性，而說(shuō)得更加徹底一點(diǎn)，就是學(xué)生對(duì)于一元二次方程的最基本要求，即二次項(xiàng)系數(shù)不為0恰恰是忽視的. 那么怎樣增強(qiáng)學(xué)生的這個(gè)印象呢？——實(shí)際上這也是學(xué)生自己提出的問(wèn)題：怎樣才能讓自己在關(guān)鍵時(shí)刻知道要注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0呢？在筆者看來(lái)，最好的方法就是“分類”，讓學(xué)生結(jié)合上面的習(xí)題，首先就分二次項(xiàng)系數(shù)等于0和不等于0兩種情況，然后得出m的值為“等于1”和“不等于1”兩種情況.

應(yīng)當(dāng)說(shuō)，在學(xué)生初次接觸這類題目的時(shí)候，由于原先大腦里只有一元二次方程的認(rèn)識(shí)，因此一旦開(kāi)始跟學(xué)生進(jìn)行分類討論，實(shí)際上就是打破了學(xué)生原先的認(rèn)知平衡，學(xué)生自然會(huì)帶著較為強(qiáng)烈的興趣去探究，而探究的基礎(chǔ)實(shí)際上就是分類討論的兩種情形，探究的過(guò)程則是分類之后運(yùn)用一元二次方程與一次方程的知識(shí)分別去進(jìn)行判斷. 在這樣的過(guò)程中，分類討論的方法驅(qū)動(dòng)著學(xué)生思考，學(xué)生在對(duì)分類思想的體悟中，不僅豐富了知識(shí)層面的認(rèn)識(shí)，更加豐富了方法層面的認(rèn)識(shí). 這樣的一個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師沒(méi)有刻意地跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)“分類思想”，但學(xué)生卻實(shí)實(shí)在在地體驗(yàn)到了分類思想方法的運(yùn)用，因此這是一個(gè)十分典型且有效的分類思想方法滲透的過(guò)程，對(duì)于學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)、提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力是非常有幫助的.

分類思想的有效滲透指向?qū)W生的思維發(fā)展

分類思想從方法層面來(lái)看，屬于數(shù)學(xué)思想方法一類;而從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度來(lái)看，分類思想則是指向?qū)W生的思維發(fā)展的. 盡管強(qiáng)調(diào)分類思想在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)秉承滲透思路，但初中學(xué)生已經(jīng)具有了方法認(rèn)識(shí)的意識(shí)，他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也注意要掌握一定的方法，因此某種程度上講，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)由于被研究對(duì)象的屬性不同，影響了研究問(wèn)題的結(jié)果，因而需對(duì)不同屬性的對(duì)象進(jìn)行分類研究，或者由于在研究問(wèn)題過(guò)程中出現(xiàn)了不同情況，因而需對(duì)不同情況進(jìn)行分類研究，也是非常必要的.

例如，同樣在函數(shù)知識(shí)的教學(xué)中，有一類證明題非?！傲眍悺?，而其中的方法因素又非常豐富，讓學(xué)生解決這類題目時(shí)，通過(guò)分類思想的運(yùn)用，可以拓寬學(xué)生的知識(shí)面，豐富學(xué)生的解題思路. 如函數(shù)y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1，證明：y的值恒大于0. 不少學(xué)生在解決此問(wèn)題時(shí)常常感覺(jué)無(wú)法下手，這也就是在思維上表現(xiàn)出了困難，實(shí)際上若采用分類的思路去解決問(wèn)題，讓學(xué)生從x≤0，01四個(gè)角度進(jìn)行分析，則可以輕易地證明. 這種分類看起來(lái)是方法層面的，實(shí)際上就是指向?qū)W生的思維的，學(xué)生通過(guò)分類會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來(lái)解決此類問(wèn)題還可以通過(guò)分類的方法得以實(shí)現(xiàn)，這不僅拓寬了學(xué)生思維的廣度，還挖掘了學(xué)生思維的深度，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)有著十分重要的促進(jìn)作用.

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類思想方法的滲透關(guān)鍵在于指向?qū)W生的思維，只有瞄準(zhǔn)學(xué)生的思維需要，瞄準(zhǔn)學(xué)生思維成長(zhǎng)的方法，分類思想方法才能在滲透的過(guò)程中體現(xiàn)其價(jià)值，彰顯其意義.