溫稠密鋁等離子體物態(tài)方程及其電離平衡研究*

王天浩 王坤? 張閱 姜林村

1) (河北工業(yè)大學, 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室, 天津 300130)

2) (河北工業(yè)大學, 河北省電磁場與電器可靠性重點實驗室, 天津 300130)

溫稠密物質(zhì)的物性參數(shù)在慣性約束聚變能源、Z箍縮等高能量密度物理領(lǐng)域的實驗結(jié)果分析和物理過程數(shù)值模擬等方面有著重要的應(yīng)用價值.本文應(yīng)用部分電離等離子體模型, 在理想自由能的基礎(chǔ)上考慮了庫侖相互作用、排斥體積作用和極化作用等非理想特性, 開展了溫稠密等離子體物態(tài)方程和電離平衡的研究.計算了溫稠密鋁等離子體的壓強等物態(tài)方程數(shù)據(jù)和在密度為 1.0 × 10–4—3.0 g/cm3, 溫度為 1.0 × 104—3.0 ×104 K范圍內(nèi)的粒子組分.計算結(jié)果顯示, 鋁等離子體的平均電離度在臨界密度區(qū)域內(nèi)隨著密度的增加而突然增大.根據(jù)非理想Saha方程中有效電離能這一關(guān)鍵參數(shù), 分析了鋁等離子體平均電離度在臨界密度區(qū)域內(nèi)隨密度迅速增大的現(xiàn)象.

1 引 言

溫稠密物質(zhì)是指介于固態(tài)和理想等離子體態(tài)之間的物質(zhì)形態(tài)[1], 常見于絲陣Z箍縮[2]、X射線源[3]、慣性約束聚變能源[4]等高能量密度物理領(lǐng)域.物態(tài)方程和電離平衡模型描述一定熱力學條件下物質(zhì)的宏觀性質(zhì)和粒子組分[5,6], 是高能量密度物理領(lǐng)域相關(guān)實驗結(jié)果分析和物理過程數(shù)值模擬的重要物性參數(shù).

物質(zhì)在固態(tài)和理想等離子體態(tài)都有較為精確的物態(tài)方程模型.基于晶格點陣運動理論的Grüneisen物態(tài)方程是比較完善的高壓固體物態(tài)方程[7], 而理想等離子體滿足經(jīng)典Boltzmann統(tǒng)計,可以采用理想氣體物態(tài)方程進行描述.溫稠密物質(zhì)處于部分簡并、強耦合和非理想等離子體狀態(tài)[8],這給準確描述溫稠密等離子體特性帶來了極大的困難和挑戰(zhàn).研究者通常將不同相區(qū)的物態(tài)方程模型進行銜接處理, 或采用半經(jīng)驗的方法來建立適用溫度-密度范圍寬的多項物態(tài)方程[9].Thomas-Fermi (TF)模型及相關(guān)的改進模型以其適用溫度-密度范圍寬、數(shù)學處理簡潔等優(yōu)點常用于描述溫稠密等離子體的性質(zhì)[10], 然而TF模型只能估算等離子體的平均電離度, 不能得到不同價態(tài)的離子分布.為了獲得更為精確的物性參數(shù), 從頭算方法、化學模型等也應(yīng)用于溫稠密物質(zhì)物態(tài)方程和輸運參數(shù)研究[11].湯文輝等[12]根據(jù)離子耦合系數(shù)和電子簡并度參數(shù)對等離子體進行了劃分, 并對不同區(qū)域內(nèi)等離子體物態(tài)方程理論進行了總結(jié).張穎等[13]結(jié)合了微擾理論和線性響應(yīng)理論, 在位形相互作用中考慮了原子間的微擾自由能和量子力學修正自由能, 庫侖相互作用中考慮了電子間的交換作用,能夠自洽地對電離能進行修正, 建立了稠密氦等離子體的物態(tài)方程, 計算了電離度、壓強等物性參數(shù),得到了粒子間的非理想相互作用引起的電離能降低是出現(xiàn)壓致電離現(xiàn)象的主要原因的重要結(jié)論, 并將模型進一步改進, 推廣至氬、疝等惰性元素等離子體物態(tài)方程的計算中[14?16].俄羅斯高溫聯(lián)合研究院的Apfelbaum[17,18]在提出的廣義化學模型中考慮了電子間交換相互作用的影響, 計算了鎳、鈦、鋅等離子體在溫稠密區(qū)域的物態(tài)方程.羅斯托克大學的Kuhlbrodt等[19]利用考慮了庫侖相互作用和極化作用的自由能模型計算了等離子體組分及輸運參數(shù).考慮非理想特性的溫稠密等離子體特性研究顯示平均電離度在臨界密度區(qū)域內(nèi)隨著密度增加突然增大, 而解釋這一現(xiàn)象需要針對溫稠密等離子體物態(tài)方程和電離平衡開展更為深入的研究.

本文基于部分電離等離子體模型, 在理想自由能模型的基礎(chǔ)上考慮了庫侖相互作用、排斥體積作用和極化作用等非理想特性, 對溫稠密鋁等離子體物態(tài)方程和電離平衡開展了研究.獲得了寬溫度-密度范圍內(nèi)的物態(tài)方程和等離子體組分數(shù)據(jù), 分析了非理想特性對等離子體組分內(nèi)不同價態(tài)離子電離能的影響.通過自由能和電離能的變化對臨界密度區(qū)域內(nèi)溫稠密鋁等離子體平均電離度隨密度增加突然上升的現(xiàn)象進行了分析.

2 溫稠密等離子體物態(tài)方程模型

溫稠密等離子體處于部分電離等離子體狀態(tài),由電子、原子和不同價態(tài)的離子組成.對于給定體積V、溫度T的熱力學系統(tǒng), 其自由能為F, 本文采用自由能密度f = F/V來建立溫稠密等離子體物態(tài)方程模型.等離子體的自由能密度f可以分為理想自由能部分fid和非理想自由能部分fint, 理想自由能密度可以表示為, 其中上標i,e分別表示重粒子和電子.重粒子的理想自由能密度可以表示成如下形式[16,18]

其中kB是玻爾茲曼常數(shù); nk是粒子數(shù)密度; Qk是粒子的內(nèi)部電子配分函數(shù); lk= h/(2πmkkBT)1/2是德布羅意波長, h是普朗克常數(shù), mk是粒子質(zhì)量.電子的理想自由能密度可以表示為[16]

其中 ne是電子數(shù)密度;是理想電子化學勢; In是Fermi-Dirac積分.

當?shù)入x子體處于溫稠密區(qū)域時, 粒子間的相互作用不可忽略[20].在本文中, 非理想自由能密度fint主要考慮帶電粒子之間的庫侖相互作用fcoul、重粒子之間的排斥體積作用fhs以及中性原子與帶電粒子之間的極化作用fpol的貢獻, 如下式所示:

帶電粒子之間的庫侖相互作用可以分為四部分[21]

排斥體積作用對自由能密度的貢獻可以表示為[19,23]

帶電粒子和中性原子間的極化作用可以表示為[24,25]

其中B0j是第二維里系數(shù), 可以由極化勢UPP計算,極化勢表達式為

其中e0是真空介電常數(shù), aD是偶極化率, k是德拜長度, rc是截斷半徑.本文采用部分電離等離子體模型來描述溫稠密等離子體, 因此極化作用項中只計算了電子-中性原子相互作用.通過上述物態(tài)方程模型可以獲得溫稠密等離子體壓強、粒子化學勢等熱力學量.

3 電離平衡模型

電離平衡模型對準確計算物態(tài)方程和表征等離子體粒子組分有著重要作用.鋁等離子體內(nèi)電離過程如下式所示:

式中k = 0表示中性原子.若等離子體處于電離平衡狀態(tài), 不同電離態(tài)離子、中性原子和電子也處于相平衡狀態(tài), 由化學勢表示的多粒子體系電離平衡對應(yīng)的相平衡表達式為[26]

其中 Ek + 1是電離能, μk是重粒子化學勢, μe是電子化學勢.

溫稠密等離子體物態(tài)方程中自由能密度劃分為理想部分和非理想部分.與之相對應(yīng), 等離子體中粒子化學勢也可劃分為理想部分和非理想部分,即μ = μid+ μint, 將該式代入 (9)式可以得到

等離子體中粒子化學勢的理想部分及非理想部分可由自由能密度求解, 如下式所示:

將(1)式和(11)式代入(10)式, 化簡可得到非理想Saha方程

非理想Saha方程結(jié)合質(zhì)量守恒定律和電荷守恒定律形成的封閉方程組, 通過與物態(tài)方程模型迭代求解可以得到等離子體的組分.質(zhì)量守恒定律和電荷守恒定律如(13)式和(14)式所示:

本文應(yīng)用上述物態(tài)方程和電離平衡模型針對溫稠密鋁等離子體物性參數(shù)開展了研究, 模型中相關(guān)參數(shù)(里德伯單位制)詳見表1.

表1 物態(tài)方程及電離平衡模型參數(shù)列表Table 1.Parameters of equation of state and ionization equilibrium model.

4 計算結(jié)果與討論

溫稠密等離子體壓強等熱力學量可通過自由能求得 P = –( ? F/ ? V)|T.本文模型計算的鋁等離子體壓強在0.1 g/cm3時隨溫度的變化曲線見圖1,由 SCAALP-FT, QEOS 以及 VASP 等模型[27?29]計算的結(jié)果也列于圖中對比.本文得到的壓強曲線與VASP, SCAALP-FT模型計算的結(jié)果較為接近, 而QEOS模型的結(jié)果明顯高于其他模型, 并且差別隨著溫度升高而變大.

圖1 在密度為 0.1 g/cm3 時, 不同模型計算的鋁等離子體壓強隨溫度的變化Fig.1.The pressure of aluminum plasma calculated by different models as a function of temperature at density of 0.1 g/cm3.

描述多粒子體系的物態(tài)方程與非理想Saha方程迭代求解可獲得等離子體的粒子組分.本文計算了鋁等離子體在密度 1.0 × 10–4g/cm3< r <3.0 g/cm3, 溫度 1.0 × 104K < T < 3.0 × 104K范圍內(nèi)平均電離度的等值線分布, 結(jié)果如圖2所示.等離子體的電離機制在低密度、高溫度區(qū)域由熱電離主導, 而在高密度、低溫度區(qū)域由壓致電離主導.臨界點是氣-液相界線的終點, 已有大量研究工作對鋁的臨界點參數(shù)進行了估算[30?32], 一般認為金屬鋁的臨界溫度處于 8.0 × 103—1.0 × 104K范圍內(nèi), 臨界密度處于 0.4—1.0 g/cm3范圍內(nèi).在本文中, 將上述密度區(qū)域稱為臨界密度區(qū)域.在臨界密度區(qū)域內(nèi), 平均電離度呈現(xiàn)隨密度增大而迅速上升趨勢.在高密度區(qū)域, 當溫度小于 1.2 × 104K時, 鋁等離子體主要發(fā)生一級電離和二級電離, 體系主要由Al1+, Al2+和電子組成, 平均電離度的最大值為 2; 而當溫度大于 1.2 × 104K 時, 二級電離隨密度增大而減弱, 鋁等離子體發(fā)生三級電離, 等離子體中帶電粒子主要由Al3+和電子組成, 平均電離度的最大值為3.

圖2 鋁等離子體的平均電離度隨密度與溫度變化等值線分布Fig.2.Contour map of average ionization degree of aluminum plasma as a function of density and temperature.

等離子體中不同粒子的相對粒子分數(shù)在密度為0.1 g/cm3時隨溫度的變化如圖3所示.從圖3可以看出, 鋁等離子體在溫度為 1.0 × 104—2.0 ×106K的范圍內(nèi)電離形成的離子最高, 為六價鋁離子.鋁原子相對粒子分數(shù)隨著溫度的升高不斷降低, 當溫度達到 3.0 × 104K 時, 鋁原子相對粒子分數(shù)已低于0.1.等離子體中一價到五價離子的相對粒子分數(shù)隨著溫度的增加都呈現(xiàn)出先增大后減小的變化規(guī)律.各價態(tài)離子的相對粒子分數(shù)峰值所對應(yīng)的溫度隨著電離態(tài)的增大而逐漸升高.在溫度為 1.0 × 104—3.0 × 104K、密度為 1.0 × 10–4—3.0 g/cm3的范圍內(nèi), 等離子體中重粒子組分主要由 Al0, Al1+, Al2+和 Al3+組成, 更高電離態(tài)離子可忽略不計.

圖3 等離子體中不同粒子的相對粒子分數(shù)在密度為0.1 g/cm3時隨溫度的變化Fig.3.Dependence of relative particle fraction of different particles on temperature at density of 0.1 g/cm3.

采用非理想Saha方程計算得到的鋁等離子體在溫度為10000和15000 K時平均電離度隨密度的變化如圖4所示.德拜理論修正的Saha方程、Ecker-Kr?ll (DmEK)模型[33,34]、FEOS 模型[35]和COMPTRA04程序[19]等計算的結(jié)果以及實驗測量的平均電離度數(shù)據(jù)[36]也列于圖4中進行對比.從圖4(a)可以看出, 本文計算結(jié)果、德拜理論修正的Saha方程、DmEK模型和COMPTRA04程序計算的平均電離度分別在密度為0.63, 0.02, 1.71和0.21 g/cm3時出現(xiàn)突然上升的現(xiàn)象.德拜理論修正的Saha方程在耦合系數(shù)小于1的范圍內(nèi)計算結(jié)果處于比較合理的范圍內(nèi), 但在耦合系數(shù)大于1的高密度區(qū)域, 其計算結(jié)果存在比較大的偏差.DmEK模型在小于臨界密度區(qū)域內(nèi)能夠描述電離機制由熱電離向壓致電離的轉(zhuǎn)變, 但平均電離度突變時的密度較高.COMPTRA04程序計算的平均電離度在高密度區(qū)域最高達到2, 本文計算結(jié)果顯示平均電離度在10000 K時最高可達到2, 而在15000 K時可達到3.平均電離度隨密度的突然增加導致采用過小的體積步長計算壓強等熱力學量時出現(xiàn)波動, 因此在該溫度、密度區(qū)域內(nèi)采用稍大的體積步長來獲得平滑的壓強曲線.

物態(tài)方程模型中非理想特性對非理想Saha方程準確描述等離子體電離機制隨密度的增加由熱電離到壓致電離的轉(zhuǎn)變有非常重要的影響.圖5是不同溫度下鋁等離子體物態(tài)方程中非理想部分的庫侖相互作用、排斥體積作用、極化作用和等離子體中電子以及原子的相對粒子分數(shù)隨密度的變化.隨著密度的增加, 等離子體由弱耦合區(qū)域過渡到強耦合區(qū)域, 非理想效應(yīng)增強.

圖4 不同模型計算的鋁等離子體平均電離度在不同溫度下隨密度的變化 (a) 10000 K; (b) 15000 KFig.4.Average ionization degree of aluminum plasma calculated by different models as a function of density at different temperatures: (a) 10000 K; (b) 15000 K.

圖5 不同溫度下非理想效應(yīng)自由能密度以及電子、原子相對粒子分數(shù)隨密度的變化 (a) 庫侖相互作用; (b) 排斥體積作用;(c) 極化作用; (d) 電子、原子相對粒子分數(shù)Fig.5.Free energy density of different non-ideal effects and relative particle fraction for electrons and atoms as a function of density at different temperatures: (a) Coulomb interaction; (b) excluded volume effect; (c) polarization effect; (d) relative particle fraction for electrons and atoms.

從圖5可以看出, 排斥體積作用和極化作用等非理想部分遠小于庫侖相互作用.因此, 溫稠密鋁等離子體的非理想特性由庫侖相互作用主導, 這與Apfelbaum[18]在其文章中所述結(jié)論一致.由(11)式可知, 非理想自由能密度的急劇變化會導致粒子化學勢的變化, 進而影響有效電離能和等離子體組分.各非理想特性隨密度、溫度的變化趨勢并不一致.庫侖相互作用隨著密度的增加而增強, 但隨溫度的變化并不明顯.如圖5(b)所示, 排斥體積作用在密度小于1 g/cm3的區(qū)域內(nèi)隨密度的增加呈現(xiàn)先增強后減弱的變化規(guī)律.當溫度為15000 K 時, 排斥體積作用在 0.54 g/cm3時達到最大值.此時, 鋁原子相對粒子分數(shù)已很低, 等離子體平均電離度接近1, 處于平均電離度迅速增大的密度區(qū)域.極化作用在密度為0.42 g/cm3時最強,隨著密度進一步增加, 鋁原子相對粒子分數(shù)降低導致極化作用減弱.排斥體積作用和極化作用的峰值所對應(yīng)的密度隨著溫度的升高稍有降低.圖5(d)顯示在溫度15000 K時鋁原子相對粒子分數(shù)在0.03 g/cm3時達到最大值 0.27.隨著溫度升高, 鋁原子相對粒子分數(shù)不斷降低.當溫度為30000 K時, 鋁原子相對粒子分數(shù)隨密度變化的峰值低于0.1.在平均電離度隨密度迅速增大的高密度區(qū)域,鋁原子幾乎全部被電離.

稠密等離子體處于部分電離等離子體狀態(tài), 很高的重粒子數(shù)密度使得電離產(chǎn)生的自由電子可占據(jù)的自由空間減少, 而帶電粒子也會使原子和離子自身的化學勢發(fā)生改變, 重粒子之間的空間也因此具有較低的勢能, 這會導致離子的能級結(jié)構(gòu)發(fā)生變化, 出現(xiàn)電離能下降的現(xiàn)象[34,37].為了獲得電離能的分布, 本文計算了15000 K時各粒子相互作用部分化學勢隨密度的分布, 如圖6所示.從圖6可以看出, 粒子的非理想化學勢隨密度增加而增大.當密度達到 0.5 g/cm3時, 由于離子密度增加, 非理想效應(yīng)增強, 價態(tài)較高的離子非理想化學勢的數(shù)值增大趨勢明顯.

圖6 溫度為 15000 K 時等離子體中不同粒子化學勢的非理想部分隨密度的變化Fig.6.Dependence of non-ideal chemical potential of particles on density at temperature of 15000 K.

粒子的非理想部分化學勢決定了電離能下降,本文模型計算的鋁等離子體在溫度為15000 K時不同價態(tài)離子電離能降低隨密度的變化如圖7所示.DmEK模型計算結(jié)果也畫于圖中對比.從圖7可以看出, 不同價態(tài)離子電離能的降低均隨密度增加而增大, 且價態(tài)越高的離子電離能下降程度越大, 這與Son等[38]在其文章中所述結(jié)論是一致的.非理想效應(yīng)的增強導致有效電離能減小, Al1+,Al2+和Al3+的有效電離能分別在密度為0.11, 0.53和0.54 g/cm3時接近0, 過小的電離能閾值會使原子和低價態(tài)離子進一步電離.當密度高于0.54 g/cm3時, Al2+全部電離為Al3+, 而這導致鋁等離子體的平均電離度在臨界密度區(qū)域出現(xiàn)突然上升的趨勢.DmEK模型計算的電離能在密度小于0.1 g/cm3的區(qū)域與本文計算結(jié)果符合較好, 但低估了各級粒子電離能的降低, 從而平均電離度在密度約為3 g/cm3時才出現(xiàn)增大的現(xiàn)象.

圖7 溫度為 15000 K 時不同模型計算的電離能的降低?E隨密度的變化(黑色曲線, 非理想Saha方程; 紅色曲線,DmEK模型)Fig.7.Depression of ionization potential calculated by different models as a function of density at 15000 K.Black lines correspond to nonideal Saha equation; red lines correspond to DmEK model.

5 結(jié) 論

溫稠密等離子體態(tài)是高能量密度物理領(lǐng)域中最為常見的物理狀態(tài), 準確的描述溫稠密態(tài)物質(zhì)的特性是非常復雜的物理問題.本文在理想自由能的基礎(chǔ)上考慮了庫侖相互作用、排斥體積作用和極化作用等重要的非理想特性, 結(jié)合非理想Saha方程開展了溫稠密鋁等離子體物態(tài)方程和電離平衡研究, 獲得了壓強、等離子體粒子組分等數(shù)據(jù), 并與其他模型計算結(jié)果及相關(guān)實驗數(shù)據(jù)作了對比、分析.不同溫度、密度下的非理想自由能曲線表明,庫侖相互作用隨著密度增大而增強, 但對溫度并不敏感; 在小于 1 g/cm3的密度范圍內(nèi), 排斥體積作用和極化作用都隨著密度增加呈現(xiàn)先增強后減弱的變化規(guī)律.多粒子體系物態(tài)方程與非理想Saha方程迭代求解獲得了等離子體中不同電離態(tài)離子分布.在溫度為 10000 K 時, 高密度等離子體平均電離度為2, 而在溫度為15000 K時, 高密度等離子體平均電離度為3.通過等離子體中粒子非理想化學勢分析了由于非理想特性導致的不同價態(tài)離子的電離能下降.計算結(jié)果顯示, 在某些溫度、密度下, 離子的電離能下降與其電離能相當,從而導致有效電離能接近 0.在 1.0 × 104K < T <3.0 × 104K 的溫度范圍內(nèi), 當?shù)入x子體密度達到0.54 g/cm3時, Al3+的有效電離能降低至接近 0,從而導致Al2+電離成為Al3+, 等離子體平均電離度在這一密度區(qū)域內(nèi)隨著密度增加迅速地增大.本文模型能夠計算密度為 1.0 × 10–4—3.0 g/cm3范圍內(nèi)的鋁等離子體物態(tài)方程和粒子組分, 當密度進一步增加時, 迭代求解計算量增加, 迭代收斂性逐漸變差, 電離平衡方程變得難以求解, 并且過小的體積步長也會在臨界密度區(qū)域內(nèi)對壓強的計算結(jié)果造成影響.今后將對上述問題開展進一步深入的研究.

附錄A 等離子體物態(tài)方程中庫侖相互作用項各部分表達式

本文采用Pade近似公式描述庫侖相互作用, 電子-電子相互作用、電子-離子相互作用和離子-離子相互作用的表達式如下[39]:

其中 f0—2, e1—2, q0—2以及 Q0—5的表達式為

其中 z4= 0.827702, z5= 1.131, z6= 0.55045, 函數(shù) qi(t) 可以通過(A17)—(A20)式計算