鄭中團 王國強 李路 劉文博
摘 ?要:極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),通過極限概念的教與學(xué),以期激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。首先,通過定性描述,語義表達轉(zhuǎn)換,數(shù)形結(jié)合及問題轉(zhuǎn)化等,引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納,從特殊到一般,“探索式”得到數(shù)列極限的精確定義;其次,給出改進的描述性定義——“任意方式”和“唯一確定”的表述形式,啟發(fā)學(xué)生進行類比,從而更直觀、更快地理解極限定義和相關(guān)定理。
關(guān)鍵詞:極限 ?高等數(shù)學(xué) ?合情推理 ?創(chuàng)新思維
中圖分類號:O171 ? 文獻標(biāo)識碼:A 文章編號:1672-3791(2020)03(b)-0217-02
極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),無論導(dǎo)數(shù),還是各類積分的定義,都離不開極限的概念[1,2]。極限既是一個過程,又是一個狀態(tài)。它反映了一個函數(shù)在無窮變化過程中的發(fā)展趨勢和最終狀態(tài)。如何深入淺出,使學(xué)生準(zhǔn)確地理解掌握這一概念,筆者在教學(xué)過程中有一些體會,進行了一點探索,以期激發(fā)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新思維,從而激發(fā)他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。
從極限的定性描述出發(fā),通過轉(zhuǎn)換說法,數(shù)形結(jié)合,由有限到無限,問題轉(zhuǎn)化,最終探索式的“翻譯”成精確量化的ε-N表述,使定性和定量在講解時“快速”成為一體,從而借助極限一般性描述的易懂性,使學(xué)生在短時期內(nèi)較準(zhǔn)確理解抽象的極限的精確定義。
這個探索過程中蘊含了觀察歸納,特殊化和普遍化等合情推理策略[3-5]。合情推理,不同于論證推理,它是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與猜測探索的一種手段。重視猜想、學(xué)會猜想、運用猜想來進行探索思考,將此策略貫穿在高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)的過程中,必然會激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)思維,從而激發(fā)他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。
2 ?極限定義的“任意方式”和“唯一確定”表述形式
類比也是合情推理的一種策略。所謂類比,就是某種類型的相似。相似的系統(tǒng)在某個方面彼此一致,類比的系統(tǒng)則其相應(yīng)部分在某些關(guān)系上相似。例如,長方形可與長方體類比,事實上,長方形各邊之間的關(guān)系與長方體的各面之間的關(guān)系相似:長方形的每一邊恰與另一邊平行,而與其他邊垂直;長方體的每一面恰與另一面平行,而與其他面垂直。數(shù)學(xué)中可類比物很多。下文進一步通過極限定義的“任意方式”和“唯一確定”表述形式,對“類比”這種手段加以闡述。
由ε-N定義不難得出收斂數(shù)列極限的唯一性,結(jié)合此性質(zhì)和ε-N定義,對描述性定義進行改進。
定義1:對于數(shù)列{},如果當(dāng)n以任意方式無限增大時,數(shù)列值無限趨近唯一確定的數(shù)值α,則數(shù)列{}收斂于α。否則,數(shù)列是發(fā)散的。
從改進后的定義1中可以提煉兩個關(guān)鍵詞“任意方式”和“唯一確定”,也即在數(shù)列極限定義中自變量n→∞的方式任意,但相應(yīng)的數(shù)列值變化趨勢唯一。通俗地講,在數(shù)軸上,無論n以何種方式趨近∞,相應(yīng)的數(shù)列值僅無限接近一個確定的常數(shù)α,則稱該數(shù)列收斂且極限為α;反之,當(dāng)n以不同子列的方式趨近∞,相應(yīng)的數(shù)列值無限接近不同的常數(shù)(包括+∞或-∞),則該數(shù)列發(fā)散。通過類比,這種表述可歸結(jié)為下面的定理。
定理1:如果數(shù)列收斂于α,則其任意子列一定收斂且必收斂于α。
定理1表明,如果某數(shù)列的兩個子列收斂于不同的值(包括+∞或-∞),則此數(shù)列一定發(fā)散。如{(-1)n},這里n→∞選擇了兩種特殊方式,n以奇數(shù)或偶數(shù)的方式趨近∞,相應(yīng)地,,,故此數(shù)列發(fā)散。
進一步,類似于定義1,“任意方式”和“唯一確定”表述形式可以類比推廣到函數(shù)極限甚至多元函數(shù)極限,這種表述有利于更直觀、更快地理解極限定義和相關(guān)定理。
定義2.當(dāng)以任意方式無限趨近∞(或||以任意方式無限增大),相應(yīng)地函數(shù)值無限接近唯一確定的常數(shù)A,則A稱為函數(shù)當(dāng)時的極限,記為或→A(),否則發(fā)散。
由定義2,中的方式任意,包含了+∞與的同時進行,由此可得,;而+∞與-∞的同時進行包含了的任意方式,由此可得,。
由定義2,中的方式選擇正方向并以離散數(shù)列的特殊形式n,則,由此可利用函數(shù)極限求數(shù)列極限。
定義3。當(dāng)以任意方式無限趨近0,相應(yīng)地函數(shù)值無限接近唯一確定的常數(shù)A,則稱為函數(shù)當(dāng)時的極限,記為或(),否則發(fā)散。
類似于定義2的分析,等價于與的同時進行,從而。
由定義3,中當(dāng)以離散數(shù)列n的方式趨近0,相應(yīng)地就有;當(dāng)以不同的數(shù)列n方式趨近0,相應(yīng)的函數(shù)值無限接近不同的常數(shù)(包括+∞或-∞),則該當(dāng)時的極限不存在,由此給出了判斷函數(shù)極限不存在的一種方法。嚴格的結(jié)論表述為下面的定理。
定理2:如果極限,{}為函數(shù)定義域內(nèi)一收斂0的數(shù)列,且(n∈N),則對應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列也收斂,且。
注:定理2給出了用于判斷函數(shù)極限不存在的一種方法:(1)找一個數(shù)列{}(),使得時,不存在,則極限不存在;(2)找兩個趨于0的不同數(shù)列{},{yn},若,則極限不存在。
3 ?結(jié)語
該文是極限定義講解的兩點注記。觀察歸納、一般化與特殊化、類比推廣等策略不僅僅可用于極限定義講解的過程中,更應(yīng)貫穿于高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)的過程中。這一套合情推理策略是一套數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法,是提高解題能力的一條好途徑。又因數(shù)學(xué)題和生活工作中的問題有許多相近相似之處,故它又是解決一般問題的思想方法。這類方法的運用與實踐強調(diào)讓學(xué)生自己猜測探索與發(fā)現(xiàn)問題,勢必可以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的能力,有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于進取、科學(xué)探索的精神。
參考文獻
[1] 同濟大學(xué).高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京:高等教育出版社,2007.
[2] 華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析[M].3版.北京:高等教育出版社,2010.
[3] 喬治·波利亞.怎樣解題[M].北京:科學(xué)出版社,1982.
[4] 喬治·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M].呼和浩特:內(nèi)蒙古人民出版社,1980.
[5] 喬治·波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].北京:科學(xué)出版社,2001.