幾何畫板與高中函數(shù)教學的整合研究

殷開勇

摘?要：在新課程改革不斷深入的背景下，現(xiàn)代教育技術(shù)（如幾何畫板、geogebra等）與高中數(shù)學教學的結(jié)合是一個非常好的改革方向。多年以來的教學實踐已經(jīng)證明，將現(xiàn)代教育技術(shù)整合到高中數(shù)學教學，對于教學質(zhì)量和教學成果起到了顯著的提升效果。

關(guān)鍵詞：現(xiàn)代教育技術(shù);高中數(shù)學教學;整合研究

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2020）05-056-2

一、教學過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

教師：我們通常用函數(shù)來描述物體運動變化的規(guī)律。接下來我們要學習的導數(shù)也是研究解決函數(shù)問題的一個重要工具。今天，我們就從平均變化率開始來進行導數(shù)的學習吧。（用PPT給出材料）

教師：這是姚明的身高變化曲線圖，請同學們讀圖并思考：在哪個年齡段，他的身高變化是最快的呢？

學生1：從圖形上來看，13～16這段圖像最陡，所以他的身高變化是最快的。

教師：我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾經(jīng)說過：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。如果我們想進一步判斷4～13歲，16～22歲這兩個年齡段的身高變化快慢，光靠看圖還夠不夠？還有沒有什么辦法可以進一步地來刻畫呢？

學生2：可以用身高的增長量來除以所用的年齡。

4～13歲：1.61-0.813-4=0.09（米/年），13-16：2.12-1.6116-13=0.17（米/年），

16～22歲：2.26-2.1222-16=0.02（米/年），所以在16～22歲這個年齡段身高增長最慢。

教師：很好。通過計算，我們可以看出13～16這個年齡段他的身高增長確實是最快的。在16～22這個年齡段他的身高增長是最慢的。在這個問題中，我們從圖像的陡和緩（形）來得到一個直觀的判斷，然后從數(shù)的角度（也就是身高差和年齡差的比值，即身高的年平均變化率）來做了一個進一步的刻畫。數(shù)形結(jié)合的方法往往可以給我們的解題帶來很大的方便。

2.過程感知，建構(gòu)數(shù)學

教師：數(shù)學來源于生活，又服務(wù)于生活。我們在座的同學應(yīng)該都有過吹氣球的經(jīng)歷，在吹氣球的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，隨著氣球體積的增加，氣球半徑的增加卻越來越慢。那么從數(shù)學的角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？

教師：我們可以把氣球近似地看作一個球體，那么氣球的體積V與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系是V（r）=43π·r3，反過來，如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么r（V）=33V4π。下面，我們就利用這兩個函數(shù)，借助幾何畫板，來模擬一次吹氣球?qū)嶒?。在這個過程中，我將分3次連續(xù)給氣球充氣。第一次打氣10下，第二次再打10下，第3次打5下。在幾何畫板課件中，我已經(jīng)編寫好了函數(shù)，只要我們采集到第一次充氣10下之后氣球的半徑的測量值r1，就可以算出此時的氣球體積V1，從而算出V2和V3，然后利用半徑關(guān)于體積的函數(shù)式，由V2求出r2，由V3求出r3，這樣我們便可以得出一組吹氣球的模擬數(shù)據(jù)了。

教師：請同學們利用這一組數(shù)據(jù)，想一想如何描述題中所提出的問題。

學生3：通過計算我發(fā)現(xiàn)：r1-r0=0.45，r2-r1=0.12，r3-r2=0.04。隨著氣球體積的增大，半徑的增加越來越小。

學生4：我覺得你的計算方法有點問題，第一次和第二次打氣的量是相同的，但是第三次打氣的量和前面兩次不一樣，這樣單純地作差不科學。我計算了體積的變化：V1-V0=0.38，V2-V1=0.38，V3-V2=0.19。然后又計算了V1-V0r1-r0=0.85，V2-V1r2-r1=3.26，V3-V2r3-r2=4.36。但是我感覺好像有點不對。

教師：哪里不對了呢？

學生4：這個比值是遞增的，這和題目中氣球半徑的增加越來越慢好像矛盾了。

學生5：老師，我是把這幾個式子的分子分母交換一下計算的：r1-r0V1-V0=1.18，r2-r1V2-V1=0.31，r3-r2V3-V2=0.23。我感覺可以解釋這個現(xiàn)象。

教師：很好！那么你是怎么想到要用半徑的差值來除以體積的差值的呢？

學生5：因為題目中說的是隨著氣球體積的增大，半徑增加得越來越慢。所以氣球的體積V應(yīng)該是自變量，半徑r是函數(shù)。所以應(yīng)該這樣列式。

教師：非常好?。ㄕ故編缀萎嫲咫[藏的計算值）

教師：下面我們再從形的角度來觀察一下函數(shù)r（V）=33V4π的圖像變化趨勢。（幾何畫板演示）

3.歸納概括，表征概念

教師：請同學們思考：在上述案例中，1.我們是如何刻畫物體的變化率的？2.他們有什么共同之處？（師生討論、交流）

板書：一般地，函數(shù)f（x）在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為f（x2）-f（x1）x2-x1。

教師：如果我們用Δx來表示x2相對于x1的增量，那么f（x2）相對于f（x1）的增量可以記為Δy。那么，平均變化率也可以表示成f（x2）-f（x1）x2-x1=ΔyΔx=f（x1+Δx）-f（x1）Δx。

教師：請同學們觀察平均變化率的表達式，如果我們從幾何的角度來看，這和我們之前學過的哪個公式比較接近？

學生6：兩點間的斜率公式。（利用PPT展示平均變化率的幾何意義，在平均變化率的幾何意義得出的過程中，引導學生從式子的結(jié)構(gòu)特征，展開數(shù)學聯(lián)想，培養(yǎng)學生的直觀想象能力）。

4.學以致用，小試牛刀

例題1：某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率。

（學生自主計算，教師巡視，再通過實物投影儀展示學生的答題情況并加以點評。）