基于多元表征的數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究

摘 要：由于學(xué)生接受能力的不同，因而數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式也各不相同，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中最主要的兩種表示方式是描述式概念與定義式概念。教師在平時教學(xué)中，常常重趣味，輕實效;重抽象，輕表象;重結(jié)論，輕過程;重實物，輕語言;重建立，輕運用的現(xiàn)象。我們教師應(yīng)重視小學(xué)生的認知規(guī)律，進行有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)。

關(guān)鍵詞：表征;多元表征;小學(xué)數(shù)學(xué);概念教學(xué);教學(xué)策略

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀強調(diào)：“要對知識形成深刻的、真正的理解，這就意味著學(xué)習(xí)者所獲得的知識是結(jié)構(gòu)化的、整合的，而不是零散的、只字片語的?！痹跀?shù)學(xué)課堂中運用多元表征，更有利于學(xué)生把握概念的內(nèi)涵與外延，學(xué)生在生成新知識的同時，還能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維與解決問題的能力。數(shù)學(xué)概念被多層次抽象，數(shù)學(xué)概念被多視角歸納，數(shù)學(xué)概念被多維度建構(gòu)，數(shù)學(xué)內(nèi)在表征和數(shù)學(xué)思維過程在多元表征下變得可視可感。

一、 多元表征的內(nèi)涵掃描

表征是認知心理學(xué)的核心概念之一，指將接收到的信息和知識進行內(nèi)部加工，在大腦中建構(gòu)后重新以新形式表現(xiàn)出來。因此，表征是認知過程與認知結(jié)果的統(tǒng)一。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解與掌握與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率都取決于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的設(shè)計成功與否。在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計過于注重教學(xué)經(jīng)驗，缺乏應(yīng)有的教與學(xué)的理論指導(dǎo)，科學(xué)性與合理性均不足的教學(xué)設(shè)計，數(shù)學(xué)概念的理解對于學(xué)生而言就相當?shù)睦щy了。

教師進行教學(xué)設(shè)計時應(yīng)從多元表征角度出發(fā)，以學(xué)生認知的心理機制出發(fā)，將數(shù)學(xué)概念多維度呈現(xiàn)，學(xué)生在構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的知識體系中對數(shù)學(xué)概念融合貫通，提高運用數(shù)學(xué)概念解決實際問題的能力。

二、 數(shù)學(xué)概念教學(xué)中運用多元表征的成因分析

作為小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的一項重要內(nèi)容的數(shù)學(xué)概念，它也是數(shù)學(xué)理論體系的基礎(chǔ)，學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的首要條件就是掌握數(shù)學(xué)概念，計算和解題的前提就是理解數(shù)學(xué)概念。概念充斥于一切小學(xué)生所會遇到的問題中，比如：先要明白什么是乘除法才能進行簡單的乘除計算;先要明白各種圖形的定義以及面積的定義才能求某圖形的面積等。思維混亂源于概念的不清，自然就更加無法運用不清的概念去解決相關(guān)問題。

表征既是數(shù)學(xué)的一部分，又是理解數(shù)學(xué)的一種教學(xué)手段，利用多元表征，幫助學(xué)生從多角度深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，一方面能促進學(xué)生運用多種感官參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，拓寬數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，有利于建構(gòu)知識體系;另一方面學(xué)生也能應(yīng)用多種表征外顯學(xué)習(xí)過程，幫助老師評價其學(xué)習(xí)進程。

三、 數(shù)學(xué)概念教學(xué)中運用多元表征的踐行策略

數(shù)學(xué)概念教學(xué)伴隨認知心理學(xué)的發(fā)展也有了新的發(fā)展：單一表征到多元表征的跨越，概念本質(zhì)的追求到與意義發(fā)生共鳴的飛躍。不同形式的表征是數(shù)學(xué)概念用不同的方式進行表達，即從多維度闡述其本質(zhì)。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷語言表征、材料表征、問題表征、對比表征等多種形式的表征過程，從而豐富數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵外延，同時還補充和完善各種表征形式，促使學(xué)生準確定位與把握數(shù)學(xué)概念。

（一）語言表征，清晰表述概念的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)概念教學(xué)，一般應(yīng)逐步由實物的直觀過渡到圖形的直觀，再逐步發(fā)展到語言的直觀，即由基于語言的表述描述來代替基于動作和形象的演示。用語言表述概念經(jīng)歷“用自己的自然語言表達概念——用數(shù)學(xué)語言表述所學(xué)概念——用自己的個性化科學(xué)的語言表達”這樣一個螺旋遞進式上升的過程。符號語言、文字語言和圖示語言等都屬于數(shù)學(xué)語言。學(xué)生需要具體形象的語言符號來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。為此，在概念教學(xué)中，我們需要豐富數(shù)學(xué)概念的感性材料，幫助學(xué)生奠定所學(xué)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)基礎(chǔ)，感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美妙。

比如數(shù)學(xué)書中提到：一個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，這個數(shù)叫質(zhì)數(shù)?！?”和“它本身”這兩個關(guān)鍵詞匯就是教學(xué)中的注意點，學(xué)生只有關(guān)注到概念的本質(zhì)內(nèi)容才能掌握質(zhì)數(shù)的概念。再比如在認識分數(shù)這一課時中，對四分之一這一概念，我們可以引導(dǎo)學(xué)生不斷用語言來進行表述，從一開始的不精準：如4份中的一份，到后來的準確表達：把一個蛋糕平均分成四份，其中的一份就是四分之一。在不斷地嘗試交流中，學(xué)生對四分之一建立了明晰的表象，對分數(shù)的本質(zhì)有了更深刻的理解。

語言是師生雙方表達意見的工具和思想交流的載體，概念的本質(zhì)特征是幫助學(xué)生明確此概念與其他概念進行區(qū)分的標志性屬性，因此教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生將概念性術(shù)語與日常用語嚴格區(qū)分開來。

（二）材料表征，建立概念表象

《數(shù)學(xué)課程標準》（2011年版）指出：“要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系，要重視直接經(jīng)驗，處理好直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關(guān)系?！痹谝恍?shù)學(xué)概念教學(xué)中，學(xué)生只有通過大量豐富的感性材料才能建立起數(shù)學(xué)概念的外部表象認知，進而在表象與抽象間建立聯(lián)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念體系。材料的單一或數(shù)量上簡單的堆疊都稱不上豐富，只有多渠道、多角度、多感官為學(xué)生提供建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的感性材料才能使學(xué)生從簡單的概念形成向復(fù)雜的概念同化過渡，從而內(nèi)化數(shù)學(xué)概念，為其所用，提高實際解決問題的能力。

比如教學(xué)“面積單位”時，學(xué)生對于面積單位缺乏一定認知，教師可以借助圖片的直觀呈現(xiàn)以學(xué)生所熟知的學(xué)校、游樂園面積與足球場進行比較，讓學(xué)生能初步體會以“足球場”作為一種標準來描述學(xué)校、游樂園的大小的方法;接著在小組合作測量課桌面的面積的活動中，教師可以巧用多種材料豐富課堂：40個紙杯口那么大大約是這張課桌面的大小;28片樹葉那么大大約是這張課桌面的大小;6本數(shù)學(xué)書那么大大約是這張課桌面的大小……學(xué)生采用不同的材料進行“打比方”，直接參與測量課桌面的面積，并能夠流利地描述結(jié)果。學(xué)生在循序漸進中得到感悟，為接下來引出需要“統(tǒng)一標準”做好充分的準備，學(xué)生能夠更加深刻感受“面積單位”這一概念的必要性。

材料表征是數(shù)學(xué)表征的一種重要形式。華羅庚說過：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”。這樣的材料表征非常直觀而又準確，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念有了更合理、合適的表象認知。

（三）問題表征，啟發(fā)對概念的理解

宋代教育學(xué)家朱熹說過：“讀書無疑者須先教有疑，有疑者卻要無疑，到這里方是長進?！苯虒W(xué)中，教師對于所提問題的重視，對學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念有著畫龍點睛的作用。課堂上設(shè)計恰當?shù)?、具有一定挑?zhàn)性的關(guān)鍵問題，更可以激勵學(xué)生深入展開數(shù)學(xué)思考。在動態(tài)生成的課堂中，教師不僅要注重備課中能夠反映數(shù)學(xué)概念實質(zhì)的問題，也應(yīng)關(guān)注學(xué)生在探索中的生成性問題，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)課堂上的核心概念。

比如還是在教學(xué)“面積單位”時，教師可以創(chuàng)設(shè)情境，以此提出問題：“如果讓你回去告訴你的媽媽這張課桌面的大小，你準備用什么來打比方？”引出在測量或計算平面圖形的大小時，需要用一個統(tǒng)一的單位，為接下來學(xué)習(xí)面積單位作了一個很好的鋪墊;再如教師也可以激發(fā)認知沖突提問：“同樣大小的課桌面，有的說有40個紙杯口那么大，有的說有28片樹葉那么大，還有的說有6本數(shù)學(xué)書那么大，這是怎么回事呀？”使學(xué)生感受到統(tǒng)一測量單位的必要性，從而引出面積單位。

再如教學(xué)“2和5的倍數(shù)的特征”時，教師可聯(lián)想設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察—猜想—驗證—結(jié)論”的探究過程：學(xué)生觀察百數(shù)表中2和5的倍數(shù)的特征之后，讓學(xué)生提出猜想：“5的倍數(shù)個位是5或0，2的倍數(shù)個位是2、4、6、8或0”，然后啟發(fā)學(xué)生：“100的數(shù)有這樣的規(guī)律，能不能保證這個結(jié)論是正確的呢？”引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)舉例100以外的數(shù)進行驗證，最后通過交流得出結(jié)論，猜想正確。

問題表征增加了問題的呈現(xiàn)方式，有利于感悟問題的本質(zhì)，解決抽象的數(shù)學(xué)問題。教師應(yīng)深度挖掘教材中的問題;又應(yīng)重視課堂上的生成性問題，融合課堂提問的科學(xué)性與藝術(shù)性，啟發(fā)學(xué)生更深層次的理解數(shù)學(xué)概念。

（四）對比表征，辨析概念區(qū)別與聯(lián)系

著名教育家烏申斯基認為：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的?！毙W(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念需要經(jīng)歷引入概念——鞏固概念——深化、應(yīng)用概念的認知過程。教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時、恰當?shù)剡\用比較法讓學(xué)生積極參與到比較、同化、變式等數(shù)學(xué)活動中，親歷概念的產(chǎn)生、形成、發(fā)展、應(yīng)用的過程，使學(xué)生在明確新舊概念之間的區(qū)別與聯(lián)系中，更為準確理解新概念，讓概念的“形象”清晰起來，讓概念的本質(zhì)屬性凸顯出來。

如執(zhí)教《分數(shù)的初步認識（二）》時，教師通過兩次變化（變總數(shù)和變份數(shù)）進行比較，讓學(xué)生在變與不變中理解一個整體的幾分之一的含義，把握分數(shù)的本質(zhì)屬性;接著通過進行練習(xí)的變式、對比新舊知識等幫助學(xué)生搭建起已有分數(shù)知識和新學(xué)分數(shù)知識的橋梁：“把一個物體（把一些物體看作一個整體），平均分成（ ）份，每份就是這個物體（整體）的1/（ ）。”學(xué)生在這課堂教學(xué)中實現(xiàn)了“實物——圖像——符號”的螺旋式轉(zhuǎn)化提升，利用比較外顯豐富了分數(shù)的概念，引領(lǐng)學(xué)生實現(xiàn)了對概念學(xué)習(xí)的意義建構(gòu)，促使學(xué)生對概念體系的搭建，并讓學(xué)生在“發(fā)現(xiàn)”中學(xué)會“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”。

對比表征可以將數(shù)學(xué)概念從不同的角度進行研究其中的意義并建立起完整的概念體系，讓數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)從內(nèi)部消化到知識點、對象相互聯(lián)系，再到外化的過程，有效的幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)概念進行多方面的建構(gòu)。

波利亞指出“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”。人類的認識過程是一個特殊的心理過程，不同的學(xué)生在理解和掌握數(shù)學(xué)概念的過程中往往存在明顯的差異。因此教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)該巧妙利用語言表征、材料表征、問題表征、對比表征等多元表征，并且善于將抽象的概念直觀化、散狀的概念結(jié)構(gòu)化、內(nèi)隱的概念可視化，這樣才能有助于學(xué)生走進數(shù)學(xué)概念的世界，有助于學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)概念體系，真正實現(xiàn)《數(shù)學(xué)課程標準》（2011年版）提出的“面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個性發(fā)展的需要，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的基本理念。

作者簡介：陶冬芝，江蘇省常州市，武進區(qū)劉海粟小學(xué)。