淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)正態(tài)分布問題

摘 要： 正態(tài)分布是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的最重要的一種分布問題，也是自然界中最常見的一種分布。許多實(shí)際問題中的變量，如人的身高、體重，產(chǎn)品的長度、寬度、重量等，測(cè)量誤差以及射擊時(shí)彈著點(diǎn)與靶心間的距離等都近似服從正態(tài)分布。它生活中、醫(yī)學(xué)中更是有著重要的應(yīng)用，并隨著技術(shù)的發(fā)展正態(tài)分布越來越受到重視。

關(guān)鍵詞： 總體密度;正態(tài)分布;鐘形;應(yīng)用

正態(tài)概率分布通常是廣義數(shù)學(xué)中所有有關(guān)概率的最重要的一種概率分布。正態(tài)高斯分布這個(gè)概念最早是在1733年由德國的英國數(shù)學(xué)家和現(xiàn)代天文學(xué)moivre首次提出的，但由于德國中的數(shù)學(xué)家mogaussre首次把正態(tài)高斯分布概念應(yīng)用于現(xiàn)代天文學(xué)家們的研究，故正態(tài)高斯分布又可以叫高斯分布。后來到1837年，海根（g.hagen）在一篇學(xué)術(shù)論文中正式明確提出了這個(gè)量子學(xué)說。其實(shí)，海倫提出的正態(tài)中心分布誤差函數(shù)這種形式也具有相當(dāng)大的物理局限性：他把中心誤差概率設(shè)想為分成兩只個(gè)數(shù)很多的、獨(dú)立同正態(tài)分布的“元誤差”之和，由此定理出發(fā)，按照阿狄莫佛的正態(tài)中心誤差極限分布定理，立即就可以得出這個(gè)誤差（近似自然地）完全服從正態(tài)下的分布。

拉普拉斯指出的這一點(diǎn)更具有重大的現(xiàn)實(shí)意義，在于他給具有誤差的正態(tài)數(shù)學(xué)理論一個(gè)更自然合理、更令人信服的科學(xué)解釋。拉普拉斯的哲學(xué)理論把這個(gè)已斷裂的兩個(gè)環(huán)連接起來，使之組合成為一個(gè)和諧的哲學(xué)整體，實(shí)際上有著極重大的哲學(xué)意義。

一、 總體分組密度分布曲線定義介紹

樣本總體分組密度分布曲線的基本定義我們可以簡單解釋為公式如下：就是當(dāng)一個(gè)樣本的分組容量愈來越多，同時(shí)間的分組數(shù)量越多時(shí)，各組的密度分布變化頻率就越來越高而接近于樣本總體在各個(gè)分組間根據(jù)相應(yīng)密度取得差值的分布概率。理想化的狀態(tài)下，假設(shè)樣本容量為無限大，各樣本分組的參數(shù)組之間距離為無限小。但是，這種理想情況下，所需要呈現(xiàn)的一個(gè)頻率密度直方曲線圖寬度會(huì)逐漸趨近于一條光滑的頻率曲線。

接下來，我們主要分析總體密度曲線的形狀特征、意義以及性質(zhì)。從曲線圖中我們可以直接明顯看出，該高度曲線的整體形狀基本特征為中間高，兩邊低，均勻分布，成鐘形分布。使用總體密度曲線主要反映的是概率問題，即一個(gè)連續(xù)型的每個(gè)隨機(jī)變量在每個(gè)可以取得閾值點(diǎn)的范圍空間中的概率分布。它的主要性質(zhì)有：

1. 非負(fù)性：曲線全部位于x軸的上方。

2. 定值性：曲線與x軸圍成的面積恒為1，即正態(tài)概率分布之和為1。

接下來，我們開始從概念學(xué)習(xí)正態(tài)分布。

二、 正態(tài)分布

（一）正態(tài)分布介紹

1. 正態(tài)分布

正態(tài)概率分布目前總體來看仍舊可以是目前應(yīng)用最廣泛的連續(xù)概率分布。我們其實(shí)可以對(duì)圖做出一個(gè)標(biāo)記，若圖中已知的頻率密度服從函數(shù)（也稱頻率密度曲線）為正態(tài)函數(shù)（曲線）則我們稱其為已知頻率曲線密度服從正態(tài)密度分布，記號(hào)值為～。其中

μ、σ2是的平均值和方差，可以把它作為兩個(gè)不同于確定值的常數(shù)，是正態(tài)常數(shù)分布的一個(gè)參數(shù)，在我們應(yīng)用它來解決這個(gè)問題時(shí)，不同的常數(shù)μ、σ2，不同的值都對(duì)應(yīng)不同的正態(tài)常數(shù)分布。正態(tài)曲線在左右圖中各點(diǎn)呈順時(shí)針型方向分布，兩頭低，中間高，左右對(duì)稱，曲線與橫坐標(biāo)軸間的橫截面積和長度等于1。

正態(tài)分布函數(shù)為：

f（x）= 1? 2π σ e- （x-μ）2 2σ2 ，x∈（-∞，+∞）

2. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)映射分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)映射分布函數(shù)是一種特殊的正態(tài)映射分布，即是每當(dāng)正態(tài)映射分布函數(shù)

N～（μ，σ2）及其中的函數(shù)μ=0，σ=1時(shí)，這樣的正態(tài)映射分布就被稱為一種標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)映射分布。記為：N～（0，1）。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度分布的概率密度函數(shù)基本公式可以表示如下為：

f（x）= 1? 2π? e- x2 2 ，

x∈（-∞，+∞），（σ>0）

下面我們介紹正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布兩者相同點(diǎn)和不同點(diǎn)比較：

（1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是正態(tài)分布的子集，所以形狀一致，都是關(guān)于μ的對(duì)稱形狀。當(dāng)曲線在μ的位置時(shí)，在最高點(diǎn)，然后逐漸向兩側(cè)依次下降，曲線的內(nèi)部形狀之可以這樣描述是因?yàn)樗紫认騼?nèi)側(cè)下彎，再向外彎。

（2）一個(gè)正態(tài)曲線與橫坐標(biāo)軸曲線相交的面積一定恒為1。

（3）正態(tài)概率分布面積曲線下標(biāo)準(zhǔn)差與固定概率的分布面積并沒有固定一個(gè)數(shù)量級(jí)的關(guān)系。所有正態(tài)函數(shù)分布都同樣可以通過z分?jǐn)?shù)分布公式轉(zhuǎn)換成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布。

下面說一下不同的地方，正態(tài)密度分布指的是一元正態(tài)分布，它隨每個(gè)隨機(jī)變量的密度平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的面積大小與計(jì)量單位不同而有不同的正態(tài)分布結(jié)構(gòu)形態(tài)。而它的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)平均分布一般是正態(tài)平均分布的一種，其中的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差都一般是固定的，平均數(shù)一般為0，標(biāo)準(zhǔn)差一般為1。

（二）正態(tài)分布的曲線特性

從正態(tài)分布曲線的特征以及與μ、σ之間的關(guān)系，我們可以得出以下幾點(diǎn)內(nèi)容。

（1）所有的正態(tài)曲線都是左右對(duì)稱，呈鐘形。

（2）正態(tài)分布曲線懸在橫軸上方。

（3）當(dāng)x=μ時(shí)，曲線是最大的。

（4）當(dāng)x<0時(shí)，曲線呈上升狀態(tài)，而當(dāng)x>0時(shí)，曲線呈下降狀態(tài)。當(dāng)正無窮或者負(fù)無窮時(shí)，曲線接近于0。

（5）μ一定時(shí)，曲線整體形狀由σ確定，具體是σ越大，曲線越扁平，總體分布越分散;σ越小，曲線越高聳，總體分布越集中。

（三）正態(tài)分布特征

了解了正態(tài)分布之后，都會(huì)知道μ、σ的關(guān)鍵性，關(guān)于正態(tài)分布可以從以下幾點(diǎn)入手：

（1）集中性：一個(gè)正態(tài)曲線的函數(shù)高峰起點(diǎn)位于正曲線中央，即其平均數(shù)高峰所在的集中位置。

（2）均勻方向變動(dòng)性：一個(gè)正態(tài)曲線由兩個(gè)均數(shù)基點(diǎn)所在中心處的點(diǎn)開始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻方向下降。

（3）對(duì)稱性：一條正態(tài)曲線以兩個(gè)均數(shù)交點(diǎn)為曲線中心，左右對(duì)稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與任何橫或縱軸曲線相交。

（4）正態(tài)曲線分布函數(shù)有兩個(gè)基本參數(shù)，即兩個(gè)均數(shù)中的μ和μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ，可以被記作為在N～（μ，σ2）中：兩個(gè)均數(shù)μ和σ可以決定一個(gè)正態(tài)曲線的每個(gè)中心節(jié)點(diǎn)位置;μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ可以決定一個(gè)正態(tài)曲線的陡峭或扁平變化程度。σ越小，曲線越陡峭;σ越大，曲線越扁平。

（5）為了充分便于理論描述和實(shí)際應(yīng)用，常將正態(tài)變量變換作為對(duì)數(shù)據(jù)值的轉(zhuǎn)換。μ是正態(tài)趨勢(shì)分布的一個(gè)位置測(cè)量參數(shù)，描述的是正態(tài)趨勢(shì)分布的每個(gè)集中點(diǎn)在趨勢(shì)中的位置。正態(tài)時(shí)間分布以x=μ為對(duì)稱時(shí)間軸，左右完全互相對(duì)稱。正態(tài)函數(shù)分布的值與均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，均等于μ。

三、 應(yīng)用

應(yīng)用對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)而言，本身就是針對(duì)性地解決我們的在現(xiàn)實(shí)生活中可能存在的許多問題。而正態(tài)分布同樣不可能停留在數(shù)學(xué)層面，應(yīng)用于生活才是數(shù)學(xué)本身的意義。

（一）學(xué)生身高

我們?cè)诮y(tǒng)計(jì)學(xué)生身高并觀察分布情況時(shí)，可以采用正態(tài)分布的方法來觀察。首先需要做的步驟就是統(tǒng)計(jì)所有的數(shù)據(jù)并畫出直方圖，把身高的最大和最小的找出來并在之間分若干個(gè)組別，之后計(jì)算每一組的身高人數(shù)以及頻率大小。以橫坐標(biāo)代表你的身高進(jìn)行分組，縱坐標(biāo)為頻率/組合的距離，再來看圖畫直方曲線圖，這樣才好看，每個(gè)矩形面積就是頻率。

之后我們就可以直接從圖中看出身高的分布。從頻率分布直方圖中我們可以看到，綜合呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的特點(diǎn)。在所有統(tǒng)計(jì)的男生中，超過1.85米和低于1.5米的人數(shù)都非常少，而大部分人的都分布在1.6米至1.75米之間。因此，雖然每個(gè)人的身高具有隨機(jī)性，但同一年齡同一性別的人群身高分布是有規(guī)律的，整體和正態(tài)分布非常相似。

（二）醫(yī)學(xué)

除了學(xué)生身高的統(tǒng)計(jì)外，在醫(yī)學(xué)上，依舊有它的用處，醫(yī)生可以應(yīng)用正態(tài)分布的特點(diǎn)來對(duì)人體一些指標(biāo)進(jìn)行估計(jì)從而給出一些對(duì)策。比如利用正態(tài)分布去估計(jì)白細(xì)胞數(shù)目，一般正常情況下，白細(xì)胞正態(tài)數(shù)在正常年齡人群中近似于或服從正態(tài)數(shù)的分布。我們可以制訂一個(gè)上限和下限，比如95 % 的人在正常范圍之內(nèi)，而超出這一范圍的人，我們就認(rèn)為需要對(duì)其進(jìn)行特殊關(guān)注。

四、 教學(xué)思考

（一）教學(xué)定位的把握

在數(shù)學(xué)層面上講，正態(tài)分布是高中數(shù)學(xué)教材中唯一一個(gè)對(duì)連續(xù)性隨機(jī)變量分析的內(nèi)容。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量的重要性，相信與離散型變量相比，很容易能區(qū)分出來。從應(yīng)用層面我們也能進(jìn)行比較，生活中連續(xù)型變量要偏多，比如上文提到的學(xué)生身高以及醫(yī)學(xué)應(yīng)用都能看出正態(tài)分布的影子。所以教師應(yīng)對(duì)正態(tài)分布的教學(xué)做深刻的教材分析和入微的學(xué)情分析，然后給學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)比較好的結(jié)果。

（二）數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升

怎么理解數(shù)學(xué)素養(yǎng)？數(shù)學(xué)素養(yǎng)定義為一個(gè)數(shù)學(xué)思考邏輯，就是學(xué)生在漫長的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)規(guī)律。而高中已經(jīng)是學(xué)生有自主思考能力的一個(gè)階段，所以教師要充分把握高中階段學(xué)生的心理以及應(yīng)用能力，早一點(diǎn)普及給學(xué)生重要的、更具有現(xiàn)實(shí)意義的知識(shí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中挖掘自己的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思考邏輯。

總而言之，作為教育工作者的高中教師群體，應(yīng)該掌握重點(diǎn)的教授，無論介入的深或淺，我們都應(yīng)充分挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)素材，尤其是正態(tài)分布知識(shí)的信息價(jià)值，真正以整合達(dá)到相長的目的，讓學(xué)生能夠在短暫時(shí)間學(xué)習(xí)到更多知識(shí)。

五、 結(jié)論

現(xiàn)在的教學(xué)過程中，相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)教師對(duì)正態(tài)分布的教學(xué)沒有提起重視，可能原因在于高考未把正態(tài)分布納入主要知識(shí)點(diǎn)，這也是教學(xué)重點(diǎn)定位的失誤，本文從整體介紹了正態(tài)分布的學(xué)習(xí)內(nèi)容、函數(shù)公式、特征、意義以及應(yīng)用在生活中的方面。重點(diǎn)在與學(xué)習(xí)正態(tài)分布的方法，能為學(xué)生在之后的發(fā)展以及學(xué)習(xí)奠定一定基礎(chǔ)。因此，教師一定要充分認(rèn)識(shí)到正態(tài)分布的重要性，并能以更加簡潔易懂的方式為學(xué)生介紹，同時(shí)能夠從整體以及未來風(fēng)向把握，讓學(xué)生充分學(xué)習(xí)到正態(tài)分布的好處。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：? 馬宏酉，福建省漳州市，廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū)。