導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
——三次函數(shù)的探究

于金燕

(新疆博州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 新疆 博樂(lè) 833400)

利用導(dǎo)數(shù)及二次函數(shù)的知識(shí)去研究三次函數(shù)的圖象，進(jìn)一步利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象間的關(guān)系來(lái)解決函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、方程根的個(gè)數(shù)(圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù))、和含參問(wèn)題的討論.

1.知識(shí)梳理

定義:形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函數(shù)叫做三次函數(shù).

定義域R,值域R.

2. 基本應(yīng)用

2.1 思考：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)是什么？

f′(x)>0?f(x)單調(diào)遞增；f′(x)<0?f(x)單調(diào)遞減

例題展示：例1、已知函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x+1，(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

點(diǎn)評(píng)：三次函數(shù)單調(diào)性?求解導(dǎo)數(shù)(二次)不等式

2.2 例、已知函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x+1，(2)求函數(shù)的極值.

點(diǎn)評(píng)：(1).f(x0)為極值?x0為y=f′(x)的變號(hào)零點(diǎn)

(2).函數(shù)單調(diào)性可以研究函數(shù)的極值

2.3 例、已知函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x+1，(3)求函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。

點(diǎn)評(píng)：(1).函數(shù)的最大值、最小值在極值或區(qū)間端點(diǎn)處取到；

(2).有了函數(shù)的極值可以求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。

2.4 例、已知函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x+1，(4)根據(jù)前面得到的單調(diào)性和極值你能做出函數(shù)的草圖嗎？

2.5 例、已知函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x+1，(5)請(qǐng)問(wèn)函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x+1有幾個(gè)零點(diǎn)？

點(diǎn)評(píng)：(1).有了函數(shù)的一些性質(zhì)我們可以做出函數(shù)的草圖；

(2).有了函數(shù)的草圖我們就知道函數(shù)的零點(diǎn)情況。

2.6 例、已知函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x+1，(6)求函數(shù)與函數(shù)y=a有幾個(gè)交點(diǎn)？

畫(huà)出函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x+1的草圖與y=a的圖象，并觀(guān)察當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化情況。

3.拓展升華

思考：當(dāng)三次函數(shù)含有參數(shù)后，如何研究其單調(diào)性？

∴y′=x2+2ax-3a2=(x+3a)(x-a)

(1)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(-∞，-3a)和(a,+∞)上單調(diào)遞增；

在(-3a,a)上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)≥0,則f(x)在R上單調(diào)遞增.

(3)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(-∞，a)和(-3a,+∞)上單調(diào)遞增；

在(a,-3a)上單調(diào)遞減.

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)的根含有參數(shù)，所以不能確定兩根的大小，所以要先討論兩個(gè)根誰(shuí)大誰(shuí)小。

4.練習(xí)

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)不能因式分解，所以利用求根公式，但是發(fā)現(xiàn)判別式符號(hào)不定，所以要討論判別式確定有根無(wú)根。

5.課堂小結(jié)

5.1 利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

5.2 三次函數(shù)含參的問(wèn)題的討論。

6.作業(yè)布置

b.已知函數(shù)y=x3-ax，求它的單調(diào)區(qū)間;

三次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，有著特殊的地位，現(xiàn)在已成為高考熱點(diǎn)之一，但教材中只是通過(guò)幾個(gè)例題對(duì)其圖像及性質(zhì)進(jìn)行較淺顯的介紹。因此，本人借助于導(dǎo)數(shù)探究三次函數(shù)的圖象，由圖像看性質(zhì)，最后應(yīng)用到高考中含參問(wèn)題單調(diào)性的討論，使學(xué)生加深印象。本探究先易后難有過(guò)度，為今后解決其他含參問(wèn)題，單調(diào)性的討論打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。