高三數(shù)學綜合測試

一、填空題(本大題共有14小題,每小題5分，共計70分.請將答案填寫在答題卷相應位置)

1. 集合A={-1,0,2},B={x||x|<1},則A∩B=______.

3.命題p:“?x∈R,x2+2x-3≥0”,命題p的否定:______.

5.如圖是一個算法流程圖,輸出的結果為______.

6.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b與a-2b平行,則實數(shù)x=______.

7.若函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(1,2),則函數(shù)y=f(-x)+1的圖象必定經(jīng)過的點的坐標是______.

12.已知圓C:(x-1)2+y2=9,點B(-4,0).若存在不同于點B的定點A,使圓C上任意一點P到定點A、B的距離比為一個常數(shù),則此常數(shù)值為______.

二、解答題(本大題共6小題,計90分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)已知函數(shù)

(1) 求f(x)的最小正周期;

16.(本小題滿分14分)在三棱錐P-ABC中,D為AB的中點.

(1) 若與BC平行的平面PDE交AC于點E,判斷點E在AC上的位置，并說明理由;

(2) 若PA=PB,且?PCD為銳角三角形,又平面PCD⊥平面ABC,求證:AB⊥PC.

(1) 當AB沿正北方向時,試求商業(yè)中心到A、B兩處的距離之和;

(2) 若要使商業(yè)中心O到A、B兩處的距離和最短,請確定A、B的最佳位置.

(1) 求橢圓的方程；

19.(本小題滿分16分)設m個正數(shù)a1,a2,…,am(m≥4,m∈N*)依次圍成一個圓圈.其中a1,a2,…,ak-1,ak(k

(1) 若a1=d=2,k=8,求數(shù)列a1,a2,…,am的所有項的和Sm；

(2) 若a1=d=2,m<2020,求m的最大值；

(3) 是否存在正整數(shù)k,滿足a1+a2+…+ak-1+ak=3(ak+1+ak+2+…+am-1+am)?若存在,求出k值;若不存在,請說明理由.

20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=ax2+bx+c.

(1) 若f(x)的圖象與g(x)的圖象所在兩條曲線的一個公共點在y軸上,且在該點處兩條曲線的切線互相垂直,求b和c的值;

(2) 若a=c=1,b=0,試比較f(x)與g(x)的大小,并說明理由;

(3) 若b=c=0,證明:對任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)m,使得當x∈(m,+∞)時,恒有f(x)>g(x)成立.

附加題

(1) 求這3名學生選做A題的概率;

(2) 設這3名考生中選做B題的學生個數(shù)為X,求X的概率分布列及數(shù)學期望.

24.(本小題滿分10分)如圖,平面上已有一個邊長為1的正方形,現(xiàn)按如下規(guī)律作正方形:第一步向右作一個邊長也為1的正方形;第二步向下以上面兩個正方形的邊長之和為邊長作正方形;第三步向右以左面兩個正方形的邊長之和為邊長作正方形,…記第n步所作正方形的邊長為f(n),n∈N*.

(1) 求f(1)f(3)-f2(2)和f(2)f(4)-f2(3)的值;

(2) 試猜想f(n)f(n+2)-f2(n+1)的結果,并用數(shù)學歸納法證明.

參考答案

一、填空題

1.{0}； 2.-1； 3.?x∈R,x2+2x-3<0;

二、解答題

16.(1)E為AC中點.理由如下：因為平面PDE∩平面ABC=DE，而BC∥平面PDE，BC?平面ABC，所以BC∥DE.在?ABC中，因為D為AB的中點，所以E為AC中點.

(2)因為PA=PB，D為AB的中點，所以AB⊥PD.又平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD，在銳角?PCD所在平面內(nèi)，過P作PO⊥CD，垂足為O，所以PO⊥平面ABC.因為AB?平面ABC，所以PO⊥AB.

由PO∩PD=P，PO、PD?平面PCD，知AB⊥平面PCD.又PC?平面PCD，所以AB⊥PC.

綜上，商業(yè)中心到A、B兩處的距離和最短為9km,此時OA=16km，OB=3 km.

答：A選地址離商業(yè)中心6 km，B離商業(yè)中心3 km為最佳位置.

解法2 設P(x,y),x∈[-3,3],則

(本題也可以直接求出軌跡方程后再說明圓心恰好在橢圓上)

19.(1)依題意ak=16,故數(shù)列a1，a2……，am即為2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10個數(shù)，此時有m=10,Sm=84.

(2)由數(shù)列a1,a2,a3,……，ak-1,ak是首項為2、公差為2的等差數(shù)列，知ak=2k,而由a1,am,am-1,……，ak+1,ak是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，知ak=2m+2-k,因此有2k=2m+2-k,k=2m+1-k，即k必是2的整數(shù)次冪.

由k·2k=2m+1知，要使m最大，k必須最大.又k

(3)由數(shù)列a1,a2,a3,……，ak-1,ak是公差為d的等差數(shù)列知，ak=a1+(k-1)d.

而由a1,am,am-1……,ak+1,ak是公比為2的等比數(shù)列，得ak=a1·2m+1-k.

故a1+(k-1)d=a1·2m+1-k,(k-1)d=a1(2m+1-k-1).

又a1+a2+…+ak-1+ak=3(ak+ak+1+…+am-1+am),且am=2a1，則

即k·2m+1-k+k=6×2m+1-k-12,

顯然k≠6,則

所以k<6,將k=1,2,3,4,5一一代入驗證知，當k=4時，上式右端為8，要使等式成立，此時m=6即可.

綜上，當且僅當m=6時，存在k=4滿足題意.

20.(1)f(0)=1,f′(x)=ex,f′(0)=1,g(0)=c,g′(x)=2ax+b,g′(0)=b.

(2)a=c=1,b=0時，g(x)=x2+1.

當x=0時，f(0)=1,g(0)=1,即f(x)=g(x).

當x<0時，f(x)<1,g(x)>1,即f(x)

當x>0時，令h(x)=f(x)-g(x)=ex-x2-1,則h′(x)=ex-2x.

設k(x)=h′(x)=ex-2x,則k′(x)=ex-2.

當xln 2時，k′(x)>0,k(x)單調(diào)增.故k(x)取極小值k(ln 2)=3ln 2-2ln 2=2-ln 4>0.于是k(x)=h′(x)=ex-2x>0恒成立，故h(x)在R上單調(diào)增，從而當x>0時，h(x)>h(0)>0,即f(x)>g(x).

綜上，當x<0時f(x)0時，f(x)>g(x).

(3)證法1 ①若00時，ex>x2+1，故ex>x2>cx2,取m=0，即有當x∈(m,+∞)，恒有ex>cx2.

②若a≥1，f(x)>g(x)，即ex>ax2，等價于x>ln(ax2)，即x>2lnx+lna.

又t(x0)=e2a-2lne2a-lna=e2a-3lna-4>7a-3lna-4=4(a-1)+3(a-lna)>0，即存在m=ae2,當x∈(m,+∞)時，恒有f(x)>g(x).

綜上，對任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)m,使得當x∈(m,+∞)，恒有f(x)>g(x).

綜上，對任意給定的正數(shù)a,總存在m,當x∈(m,+∞)時，恒有f(x)>g(x).

附加題

21.設P(x,y)是曲線C1上任意一點，點P(x,y)在矩陣A對應的變換下變?yōu)辄cP′(x′,y′)，則有

22.由ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ，所以x2+y2-4y=0,即圓C方程為x2+(y-2)2=4.

23.(1)記“這3名學生選做A題”為事件C，則

故變量X的概率分布列為

X0123P18383818

24.(1)依題意，f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,f(4)=5.故f(1)f(3)-f2(2)=-1,f(2)f(4)-f2(3)=1.

(2)猜想：f(n)f(n+2)-f2(n+1)=(-1)n,n∈N*.

①當n=1時，f(1)f(3)-f2(2)=-1,結論成立；

②假設n=k時，結論成立，即f(k)f(k+2)-f2(k+1)=(-1)k.

由題意，知f(n+2)=f(n+1)+f(n)對n∈N*恒成立.則當n=k+1時，

f(k+1)f(k+3)-f2(k+2)

=f(k+1)[f(k+1)+f(k+2)]-f2(k+2)

=f(k+1)f(k+2)+f2(k+1)-f2(k+2)

=f(k+2)[f(k+1)-f(k+2)]+f2(k+1)

=f2(k+1)-f(k)f(k+2)

=-[f(k)f(k+2)-f2(k+1)]

=(-1)·(-1)k

=(-1)k+1，

即當n=k+1時，結論成立.

綜合①、②，恒有等式f(n)f(n+2)-f2(n+1)=(-1)n,n∈N*.