概率中的六個(gè)易混淆問(wèn)題分析

王生林

(甘肅省高臺(tái)縣第一中學(xué)，734300)

概率是高中教材的新增內(nèi)容,它是以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為載體,以排列組合和概率的相關(guān)知識(shí)為工具,以考查對(duì)五個(gè)概率事件的判斷識(shí)別及其概率的計(jì)算和應(yīng)用為目的的一類(lèi)必考題型.但由于其概念具有一定的抽象性和相似形,有些問(wèn)題看似相同,實(shí)則不同,在解題時(shí)稍有疏忽就會(huì)致錯(cuò)．本文就以概率學(xué)習(xí)中幾個(gè)易混淆的問(wèn)題予以剖析,以期對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助．

一、 等可能事件中的“等可能”與“非等可能”混淆

例1 投一枚骰子兩次,求兩次點(diǎn)數(shù)之和是3的概率．

分析 錯(cuò)解將投一枚骰子兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的所有可能取值歸結(jié)為2,3,4…,11,12時(shí),其中每一個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的(如和為2只有(1,1)一種情況,而和為3的情況有(1,2)與(2,1)兩種,其它的情況可類(lèi)推),既然每一個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的,就不可套用等可能事件中的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算．

正解 記所求事件為A,因?yàn)橥兑幻恩蛔觾纱纬霈F(xiàn)的所有可能的情況是:(1,1)，(1,2)，…,(1,6),(2,1)，(2,2),…,(2,6),…,(6,6),因此基本事件總數(shù)為6×6=36個(gè).而出現(xiàn)和為3的情況有兩種:(1,2)與(2,1),故

二、“互斥”與“獨(dú)立”混淆

例2 甲投籃命中率為0.8,乙投籃命中率為0.7,每人投3次,兩人恰好都命中2次的概率是多少?

錯(cuò)解 記甲、乙兩人投籃3次各命中2次分別為事件A、B,則“兩人恰好都命中2次”為事件A+B.于是，P(A+B)=P(A)+P(B)=C230.82×0.2+C230.72×0.3=0.825.

分析 錯(cuò)解的原因是將事件A、B錯(cuò)誤地認(rèn)為是互斥事件,將兩人恰好都命中2次理解為“甲恰好命中2次”與“乙恰好命中2次”的和來(lái)處理．

正解 記“甲、乙兩人投籃各命中2次”分別為事件A、B,且A、B為相互獨(dú)立事件,則“兩人恰好都命中2次”為事件AB.于是，P(AB)=P(A)P(B)=C230.82×0.2×C230.72×0.3≈0.169.

三、“獨(dú)立”與“不獨(dú)立”混淆

例3 甲、乙兩人參加歷史知識(shí)競(jìng)答,共有10個(gè)不同的題目,其中選擇題6個(gè),判斷題4個(gè),甲、乙兩人依次各抽取一題.

(1)甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少?

(2)甲、乙兩人至少有一人抽取選擇題的概率是多少?

分析 錯(cuò)解是對(duì)獨(dú)立事件概念模糊,將事件A、B錯(cuò)誤地認(rèn)為是獨(dú)立事件,其實(shí)不然,甲先抽取一題后乙再抽取時(shí)樣本空間已發(fā)生變化，甲抽到選擇題與否對(duì)乙抽到判斷題的概率是有影響的,故事件A、B不是相互獨(dú)立事件．

四、“有序”與“無(wú)序”混淆

例4 一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球,從中摸出一個(gè)球,放回后再摸出一個(gè)球,求兩球恰好顏色不同的概率．

分析 由上面的摸球過(guò)程知摸球的過(guò)程是有序的,故兩球恰好顏色不同要分先白球后黑球與先黑球后白球兩種不同情況．

正解 記所求事件為A,則

五、抽樣中的“放回”與“不放回”混淆

例5 一袋中有5個(gè)白球,3個(gè)黑球,從袋中連取三次,一次取一個(gè),求下列事件的概率.

(1)若取后不放回,恰好取到一個(gè)黑球;

(2)若取后放回,恰好取到一個(gè)黑球.

錯(cuò)解 (1)記所求事件為A,由分步計(jì)數(shù)原理，可知取球方法共有8×7×6種,其中恰好取到一個(gè)黑球有C25C13種取法,故

(2)記所求為事件B,由分步計(jì)數(shù)原理，可知取球方法共有8×8×8種,其中恰好取到一個(gè)黑球有A25A13種取法,故

分析 問(wèn)題(1)計(jì)算基本事件的總數(shù)考慮了抽取的順序,而計(jì)算A含有的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)沒(méi)有考慮順序,是用了組合的方法；同樣，問(wèn)題(2)計(jì)算所有的基本事件數(shù)時(shí)考慮了抽取的順序,而計(jì)算B含有的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)考慮順序不夠全面．

評(píng)注 不放回取球各次的取法不是相互獨(dú)立的,故不可按獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率來(lái)計(jì)算，可以按等可能事件的概率來(lái)計(jì)算(如正解1).對(duì)不放回摸球來(lái)說(shuō)，事件A=“不放回地逐個(gè)取k個(gè)球”與事件B=“一次任取k個(gè)球”的概率相等,即有P(A)=P(B).因此，不放回摸球通?？刹豢紤]摸球順序,按“一次任取k個(gè)球”的概率計(jì)算(如正解2).

評(píng)注 放回摸球是指每次摸出一球后再放回袋中,下次再摸球時(shí)袋內(nèi)球的總數(shù)不變;放回摸球可以按等可能事件的概率來(lái)計(jì)算(如正解1);放回摸球各次摸取是相互獨(dú)立的,故可按獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算(如正解2);或按n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率來(lái)計(jì)算(如正解3)．

六、“某事件發(fā)生k次”與“某事件在指定的k次發(fā)生”混淆

例7 一袋中裝有大小完全相同的紅球3個(gè),白球6個(gè),從袋中有放回地摸球,每次摸出一個(gè),共摸5次,求:

(1)有3次摸到紅球的概率;

(2)第一次、第三次、第五次摸到紅球的概率．

(2)記“第一次、第三次、第五次摸到紅球”為事件B.當(dāng)?shù)谝淮?、第三次、第五次摸到紅球時(shí),第二次、第四次摸到白球,故

分析 對(duì)問(wèn)題(1)，錯(cuò)解是當(dāng)成“有指定的3次摸到紅球”與“有指定的2次摸到白球”來(lái)處理．實(shí)際上有3次摸到紅球是“5次中的任意3次”與“指定的3次”是有本質(zhì)上的區(qū)別．對(duì)問(wèn)題(2)，錯(cuò)解是把“第二次、第四次指定為摸到白球”來(lái)處理．實(shí)際上第二次、第四次摸到的球可以是白球,也可以是紅球,這兩次可視為必然事件．

(2)記“第一次、第三次、第五次摸到紅球”為事件B,則