2014年天津卷理科壓軸題命題手法探究*

楊蒼洲

(福建省泉州第五中學，362000)

一、緣起

筆者在朋友圈發(fā)布了一篇關于“定比分點與壓軸題命制”的小文,恩師許銀伙老師竟認真看完全文,并對試題解法提出了自己的看法．對此,我與他交流了此類函數零點問題的解題方法．其間，許老師談及2014年高考天津卷理科的壓軸試題,談及試題的解法及對學生的講法,實在難以解釋參考答案中的神來之筆．受其啟發(fā),我打算從試題的命題角度揭示試題的解法,從而理順解題思路．

試題呈現 設函數f(x)=x-aex(a∈R),x∈R,已知函數y=f(x)有兩個零點x1、x2,且x1

(1)求a的取值范圍;

(3)證明:x1+x2隨著a的減小而增大.

二、命題手法探究

我們知道,“函數零點”問題可以轉化為“方程的根”問題,也可以轉化為“兩條曲線的交點”問題．既然如此,我們轉化一下視角,來研究曲線g(x)與動直線y=a的交點問題．

問題1 已知函數f(x)=x-aex有且只有兩個不等實根,求a的取值范圍．

繼續(xù)觀察圖象,設這兩個實根為x1、x2,且x1

①x1<1

③ 隨著a的增大,x2變小的速度較快,x1增大的速度較慢,因此x1+x2在減?。?/p>

于是可設置如下問題2.

綜合上述問題1、2,即可得2014年高考天津卷理科的壓軸試題．

三、解題手法探究

試題(1)的求解較為簡單,此處不再贅述．

①

因此,由①式可得x1+x2隨著t的增大而增大.而由(2),t隨著a的減小而增大,所以x1+x2隨著a的減小而增大.

四、新題命制

采用這種命題手法,筆者命制如下兩個新題,共讀者賞析．

題1 已知函數f(x)=lnx-ax有兩個零點x1、x2,且x1

(1)求實數a的取值范圍;

題2 已知函數f(x)=x2ex-ax有三個零點．

(1)求實數a的取值范圍;