恒成立問(wèn)題的三種常用解法

郭 維

(甘肅省張掖中學(xué)，734000)

在恒成立問(wèn)題背景下求參數(shù)的取值范圍是一種常見(jiàn)題型.本文以一道高三數(shù)學(xué)模擬試題為例，引出三種常見(jiàn)解法,彰顯三種思想在解題中的應(yīng)用，幫助同學(xué)們熟悉和熟練掌握此類(lèi)問(wèn)題的解法.

(1) 當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2) 若f(x)≥-1在[1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解 (1)略.

(2)解法1 類(lèi)比法

當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)≤0,f(x)在[1,+∞)單調(diào)減,且f(1)<-1,不合題意.

評(píng)注 類(lèi)比第(1)問(wèn),延續(xù)第(1)問(wèn)的做法循規(guī)滔距,順應(yīng)自然,這往往是最直接,最容易想到的一種做法.

解法2 分離參數(shù)法

而φ(1)=1>0,φ(4)=ln 4-2<0,存在x0∈(1,+∞),使得φ(x0)=lnx0-x0+2=0,即lnx0=x0-2，則f(x)在(1,x0)單調(diào)增，在(x0,+∞)單調(diào)減.故

評(píng)注 分離參數(shù)思路清晰、有章可循、操作性強(qiáng)、易于掌握.

解法3 換元轉(zhuǎn)換法

思路2 向量法