用四面體的余弦定理求解二面角大小

張 東

(貴州省六盤水市第二中學，553401)

數(shù)學家波利亞曾說過:“類比是一個偉大的引路人,求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題”.四面體的余弦定理出現(xiàn)在普通高中課程標準實驗教科書選修2-2(A版)“合情推理與演繹推理”后閱讀與思考的內(nèi)容，它是把四面體與三角形作類比推理.本文沿用三角形的余弦定理證明方法,類比給出四面體的余弦定理證明方法，利用四面體中已知的面與面所成的二面角,通過轉(zhuǎn)化思想求出未知的二面角大小,并以例題的形式介紹該定理在2019年高考試題中的應用.

一、四面體中的余弦定理

四面體余弦定理如圖1,在四面體V-BCD中，設二面角V-BC-D,V-CD-B,V-BD-C,C-VB-D,B-VC-D,B-VD-C的大小依次為α1,α2,α3,β1,β2,β3,記四個三角形的面積分別為S?BCD=S1,S?VCD=S2,S?VBD=S3,S?VBC=S4.則有

S21=S22+S23+S24-2S2S3cosβ3

-2S2S4cosβ2-2S3S4cosβ1，

(*)

S22=S21+S23+S24-2S1S3cosα3

-2S1S4cosα1-2S3S4cosβ1，

S23=S21+S22+S24-2S1S2cosα2

-2S1S4cosα1-2S2S4cosβ2，

S24=S21+S22+S23-2S1S2cosα2

-2S1S3cosα3-2S2S3cosβ3.

證明這里僅以證明(*)為例.如圖1,作VO⊥面BCD，由面積射影定理，得S?COD=S2cosα2，S?BOD=S3cosα3，S?BOC=S4cosα1.

三式相加，得

S1=S2cosα2+S3cosα3+S4cosα1.

①

同理可得

S2=S1cosα2+S3cosβ3+S4cosβ2，

②

S3=S1cosα3+S2cosβ3+S4cosβ1，

③

S4=S1cosα1+S2cosβ2+S3cosβ1.

④

由①×S1,得

S21=S1S2cosα2+S1S3cosα3

+S1S4cosα1.

⑤

把 ② ③ ④ 代入⑤,得

S21=S2(S2-S3cosβ3-S4cosβ2)+S3(S3-S2cosβ3-S4cosβ1)+S4(S4-S2cosβ2-S3cosβ1)=S22+S23+S24-2S2S3cosβ3-2S2S4cosβ2-2S3S4cosβ1.

同理可以證明上述其他關(guān)系式.

用四面體的余弦定理求解二面角的大小,適用于定義法不易作出二面角的平面角的情形,關(guān)鍵在于構(gòu)造出求解的二面角所在的一個四面體,尋找四面體中其余側(cè)面所成的二面角的平面角,再用幾何知識求出四個面的面積,問題迎刃而解.

二、應用舉例

下面以2019年高考部分立體幾何解答題為例,用四面體余弦定理求解二面角大小.

例1(2019年全國高考題)如圖2,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BCD=60°,E、M、N分別是BC、BB1、A1D的中點.

(1)證明:MN∥平面C1DE;

(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.

解(1) 略.

(2)如圖3,分別延長AB、DE交于點F,連結(jié)MF,易知A1,M,F三點共線,則DF∥MN,A1F為平面AMA1與平面MA1N的交線.

例2(2019年全國高考題)如圖4,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點E在棱AA1上,BE⊥EC1.

(1)證明:BE⊥平面EB1C1;

(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.

解(1)略.

例3(2019年全國高考題)如圖5,(a)圖是由矩形ADEB、Rt?ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB、BC折起使得BE與BF重合,連結(jié)DG,如(b)圖.

(1)證明:(b)圖中的A、C、D、G四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

(2)求(b)圖中的二面角B-CG-A的大小.

解(1)略.

(2)如圖5中的(b)圖,連結(jié)AG、BG,取BG的中點為M,過點C作CN⊥AG于點N,連結(jié)MN,則CM⊥BG.

(1)求證:CD⊥平面PAD;

(2)求二面角F-AE-P的余弦值;

(3)略.

解(1)略.

三、感悟

通過上面例題的解析,不難發(fā)現(xiàn)用四面體余弦定理求解二面角大小,總會有一個二面角是直二面角,這也解釋了求解二面角大小可以用向量法的緣故;如今的課堂教學,用向量法求解二面角的大小是一種趨勢,向量法能快速地求解出答案,但也潛移默化地弱化了學生的空間想象能力,導致很多學生害怕立體幾何主觀題的解答.本文相對向量法而言,看似繁瑣復雜, 但旨在提供一種新的解題思路,拓寬學生的空間想象能力,提升數(shù)學素養(yǎng),讓學生更好地用數(shù)學眼光去觀察世界.

四面體余弦定理是由平面到空間的演繹推理,同理可以類比到五面體(四棱錐)余弦定理,以及類比到n面體余弦定理,限于篇幅,不再贅述.