復(fù)習(xí)課主題教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐與思考
——以“不同背景下的切線問題解決”主題教學(xué)為例*

吳 茹 孔德鵬

(江蘇省南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)，210000)

華羅庚先生曾說過,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有兩個(gè)過程:其一由薄到厚,其二是由厚到薄.在新授課學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生逐個(gè)學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn),可以看作是一個(gè)由薄到厚的過程；而復(fù)習(xí)課由專項(xiàng)數(shù)學(xué)知識(shí)的整合,將零碎知識(shí)進(jìn)行提煉、概括、整合,尋找知識(shí)間的聯(lián)系,將數(shù)學(xué)本質(zhì)挖掘出來,以便從宏觀、整體的角度去看問題,形成解決一個(gè)主題的方法則是由厚變薄的過程[1].基于上述理論，本文以“不同背景下的切線問題解決”主題教學(xué)為載體,談?wù)剰?fù)習(xí)課主題教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐與思考.

一、課標(biāo)分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)選擇性必修課程主題一“函數(shù)”中要求:學(xué)生經(jīng)歷平均變化到瞬時(shí)變化，理解導(dǎo)數(shù)概念,知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá),并要求通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,從幾何背景幫助學(xué)生加深對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解;主題二“幾何與代數(shù)”要求:能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系,能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題;能夠根據(jù)不同的情境,運(yùn)用代數(shù)的方法研究曲線之間的基本關(guān)系；能夠運(yùn)用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實(shí)際問題[2].因此,導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線與圓及圓錐曲線的位置關(guān)系很有研究價(jià)值,在不同單元中均出現(xiàn)“切線問題”,所以可由點(diǎn)及面,從整體把握復(fù)習(xí)內(nèi)容.

二、整體設(shè)計(jì)理念及線路圖

把握數(shù)學(xué)本質(zhì),啟發(fā)思考,改進(jìn)教學(xué)是新課標(biāo)的基本理念.倡導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地探索知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展,但必須在教師的引領(lǐng)下,否則學(xué)生很容易誤入歧途.本節(jié)課的課堂教學(xué)采取學(xué)生“獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作探究”等多種學(xué)習(xí)方式,教師的角色是學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和服務(wù)者.為了讓學(xué)生的探究活動(dòng)積極有效,主要以“問題串”為明線,以“方法論”為暗線,強(qiáng)調(diào)結(jié)合明線布暗線,形成基本的數(shù)學(xué)思想和方法.圍繞在不同背景之下切線問題的探究,滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.為了突出課標(biāo)的基本理念,采用如圖1的線路圖進(jìn)行設(shè)計(jì),并按此順序開展主題教學(xué).

三、教學(xué)片斷

1. 基礎(chǔ)鋪墊,掌握基本方法

例1(必修2習(xí)題改編) 從圓(x-1)2+(y-1)2=1外一點(diǎn)P(2,3)向圓引切線l,求切線l的方程.

師:如圖2,通過作圖,我們發(fā)現(xiàn)過P(2,3)向圓引切線有兩條,而以上學(xué)生解題結(jié)果只有一條,為什么會(huì)出現(xiàn)少解、漏解的情況呢?哪里出現(xiàn)問題了呢?

生1:第一步中直接設(shè)直線點(diǎn)斜式,而直線點(diǎn)斜式方程的前提是斜率存在,所以在第一步中就出現(xiàn)問題,應(yīng)該注意斜率不存在的情形,判斷它是否符合題意,最后發(fā)現(xiàn)x=2符合題意.

解當(dāng)切線l垂直于x軸時(shí),直線l:x=2與圓相切,滿足條件.

綜上,所求直線l的方程是x=2或3x-4y+6=0.

通過教師引導(dǎo),師生對(duì)話,復(fù)習(xí)了求圓切線的基本思路,同時(shí)也強(qiáng)化了過點(diǎn)設(shè)點(diǎn)斜式方程需要考慮斜率是否存在.

在例1的解答之后,緊接著給出變式1,將曲線變?yōu)闄E圓,學(xué)生可以通過聯(lián)立直線與橢圓方程,利用“Δ=0”解決問題.

師:直線l與橢圓C相切,能不能用例1的解法呢?

生2:不能,橢圓不是圓.

師:那該怎么解決呢?

生3:直線與橢圓相切,即直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),公共點(diǎn)的問題可以通過聯(lián)立橢圓與直線的方程得到.

消去y并整理，得

(4k2+1)x2-8k(k-2)x+4k2-16k+12=0.

①

師:在例1中,直線與圓相切可以利用“Δ=0”嗎?

生4:可以,因?yàn)橹本€與圓相切也是只有一個(gè)公共點(diǎn),但是還是用d=r比較簡單.

教師:直線與雙曲線、拋物線的相切問題可以利用“Δ=0”嗎?

生5:可以,道理一樣.

通過例1與和變式1，學(xué)生學(xué)習(xí)了直線與圓、圓錐曲線相切問題，均可以利用“Δ=0”.提示學(xué)生從條件中尋找題目的主要障礙點(diǎn),正確地理解運(yùn)算對(duì)象,探究合適的運(yùn)算方向,選擇簡單的運(yùn)算方向,從而得到正確的結(jié)果.

變式2(選修1-1習(xí)題改編)求過點(diǎn)(0,-1)作曲線y=xlnx的切線l的方程.

在復(fù)習(xí)階段,知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用較綜合,學(xué)生在處理問題時(shí),容易張冠李戴.以下就是其中一例:當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不符合題意,舍;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx-1,xlnx=kx-1,只有一解(放棄).

師:本題中,有個(gè)別學(xué)生在求解圓的切線方程的經(jīng)驗(yàn)上,習(xí)慣上按照切線的斜率是否存在討論得到結(jié)果,學(xué)生沒有進(jìn)行下去,這里面需要討論斜率是否存在嗎?

生6:不需要,因?yàn)橹酪粋€(gè)可導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)(x0,f(x0))處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)均存在,而f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率.所以不需要討論斜率是否存在.

師:這種方法可以進(jìn)行下去嗎?大家不妨嘗試一下.

生7:其實(shí)，可以這樣繼續(xù)解下去:

師:生7利用的是切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率和切點(diǎn)既在切線上又在曲線上.也就是從曲線與切線的聯(lián)系點(diǎn)——切點(diǎn)導(dǎo)入,利用f(x)在x=x0處的切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)解決此題.

解設(shè)切點(diǎn)為(x0,x0lnx0),因?yàn)閥′=lnx+1,所以y′|x=x0=lnx0+1,所以切線方程為y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0).又因?yàn)閘過點(diǎn)(0,-1),則有-1-x0lnx0=(lnx0+1)(0-x0),解得x0=1,所以切線方程為x-y-1=0.

由以上兩題,發(fā)現(xiàn)圓、圓錐曲線與函數(shù)的切線問題的處理方式不同.對(duì)于圓的切線問題利用“d=r”處理;對(duì)于圓錐曲線利用“Δ=0”處理;對(duì)于函數(shù)圖象的切線問題處理是利用“f′(x0)是曲線y=f(x)在x=x0處切線的斜率”.

2. 綜合運(yùn)用,強(qiáng)化優(yōu)選方法意識(shí)

本題中出現(xiàn)函數(shù)的切線,通過設(shè)切點(diǎn),即公共點(diǎn)來解決,而圓的切線與例1有所區(qū)別,過的點(diǎn)正好在圓上,此時(shí)的點(diǎn)更加特殊,學(xué)生可以利用數(shù)形結(jié)合思想,畫出圖形,容易發(fā)現(xiàn)切點(diǎn)與圓心的連線與切線垂直,進(jìn)而直接求出圓在A點(diǎn)處的斜率.

師:大家基本上已經(jīng)有了思路,部分學(xué)生已經(jīng)寫完,我們一起理順本題的解答,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,y0),代入兩曲線方程，得

若C1在A處的切線與C2在A處的切線互相垂直,這個(gè)條件該怎么使用呢?

③

教師:利用所有的條件建立了三個(gè)等量關(guān)系,這個(gè)方程組該如何解呢?

生9:將③ 代入① 得

解得x0=1,再代入① 得y0=-a;代入②,得1+a2=5(a>0)，則a=2.

解決切線問題,本節(jié)課介紹了三種不同背景下的解答,要根據(jù)問題,合理選擇方法.在遇到問題時(shí),善于畫圖,利用“形”的知識(shí)來解題；同時(shí),也要做到建立解析幾何模型，利用“數(shù)”解題,讓思維達(dá)到多元化、靈活化.