經(jīng)由脈沖式爆炸連接的復(fù)合式張弛振蕩*

宋錦 魏夢可 姜文安 張曉芳 韓修靜 畢勤勝

(江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院, 鎮(zhèn)江 212013)

張弛振蕩現(xiàn)象普遍存在于自然科學(xué)以及工程技術(shù)的各個領(lǐng)域, 探索張弛振蕩的可能路徑是張弛振蕩研究的重要問題之一.最近, 一種名為“脈沖式爆炸”(pulse-shaped explosion, PSE)的可以誘發(fā)張弛振蕩的新機制被相繼報道.PSE意味著平衡點和極限環(huán)表現(xiàn)出了與參數(shù)變化相關(guān)的脈沖式急劇量變, 這導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)急劇轉(zhuǎn)遷現(xiàn)象, 進而誘發(fā)張弛振蕩.本文以多頻激勵Mathieu-van der Pol-Duffing系統(tǒng)為例, 探討了復(fù)合式的張弛振蕩現(xiàn)象.當(dāng)參數(shù)激勵和外部激勵存在相位差時, 快子系統(tǒng)包含了兩個不同的向量場部分, 由此得到了系統(tǒng)的雙穩(wěn)定特性.特別地, 在狹小的參數(shù)范圍內(nèi), 分岔會隨著PSE的產(chǎn)生而產(chǎn)生, 這使得PSE更具復(fù)雜性.基于此, 揭示了兩種復(fù)合式的張弛振蕩, 其特征是每一周期的演化過程包含了由PSE連接的兩個張弛振蕩簇.我們的研究深化了對PSE及張弛振蕩復(fù)雜動力學(xué)行為的理解.

1 引 言

從生物到化學(xué), 從物理到大氣科學(xué), 多尺度耦合效應(yīng)問題[1?4]普遍存在, 例如神經(jīng)元系統(tǒng)的信息傳遞[5]、生物代謝過程中的變構(gòu)效應(yīng)[6]、輸電塔與塔線之間的耦合振動問題[7]以及減速器系統(tǒng)的復(fù)雜振動問題[8]等.一般地, 多尺度耦合作用下的非線性系統(tǒng)往往能夠表現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)特性, 如張弛振蕩.張弛振蕩是一類復(fù)雜的振蕩模式, 其特征是在每一周期的演化過程中可以觀測到大幅振蕩和小幅振蕩的相互交替.

張弛振蕩的動力學(xué)機理問題是張弛振蕩研究的重要問題之一.從1963年諾貝爾獎獲得者Hodgkin和Huxley[9,10]在研究神經(jīng)元放電過程建立的數(shù)學(xué)模型開始, 張弛振蕩就逐漸受到了學(xué)者們的關(guān)注,而后Rinzel提出的快慢分析法[11,12]為研究張弛振蕩提供了理論框架.快慢分析法在使用時需將多尺度系統(tǒng)分解為維數(shù)較低的快、慢子系統(tǒng).然而, 在系統(tǒng)降維分解的過程中, 通常會涉及到信息損失,損失的信息可采用雙尺度數(shù)學(xué)[13]加以分析.基于快慢分析法, 諸如 Canard 現(xiàn)象[14?16], Shilnikov 同宿軌的失穩(wěn)[17?20], Hopf分岔[21?24]以及經(jīng)由延遲分岔的慢通道效應(yīng)[25?27]等多種路徑先后被揭示與張弛振蕩的產(chǎn)生有關(guān).

“脈沖式爆炸”(pulse-shaped explosion, PSE)是最近報道的一種可以誘發(fā)張弛振蕩的新機制, 其特征是在平衡點/極限環(huán)的解支上出現(xiàn)了與參數(shù)的變化相關(guān)的脈沖狀的急劇量變[28].現(xiàn)有的研究表明, PSE的產(chǎn)生通常與不同激勵的頻率關(guān)系有關(guān);特別地, 激勵頻率比增加能夠?qū)е翽SE數(shù)量的增加[29].本文考慮一個由 Mathieu[30,31]和 van der Pol-Duffing 振蕩器[32?35]耦合的非線性方程, 即Mathieu-van der Pol-Duffing 方程 (MVD):

其中 β1cos(ωt) 和 β2cos(ωt+ θ) 為系統(tǒng)的參數(shù)激勵和外部激勵, 且激勵頻率 ω 遠小于系統(tǒng)的固有頻率ω0.系統(tǒng)(1)是一類典型的非線性振動方程, 可采用同倫攝動法[36]、變分迭代法[37]以及指數(shù)函數(shù)法[38]等等多種解析方法加以分析.特別地, 幅頻關(guān)系問題是非線性振動研究的重要問題, 系統(tǒng)(1)的振動頻率可以采用文獻[39]提出的最簡方法加以估算.此外, 注意到系統(tǒng)(1)含有多個參數(shù), 參數(shù)的變化往往會引起系統(tǒng)行為的定性變化[40], 而不同參數(shù)之間的耦合作用關(guān)系可以考慮采用雙參數(shù)同倫攝動法[41]加以探討.

本文焦注于系統(tǒng)(1)的PSE及其誘導(dǎo)的張弛振蕩.我們發(fā)現(xiàn), 在一定的條件下系統(tǒng)會產(chǎn)生復(fù)合式的張弛振蕩(見圖1).我們分析系統(tǒng)在相位差作用下的雙穩(wěn)定性和PSE現(xiàn)象, 由此揭示復(fù)合型張弛振蕩的產(chǎn)生機制.研究表明, 系統(tǒng)在每個周期的演化過程中, 先后產(chǎn)生了由PSE連接的兩個張弛振蕩簇, 由此形成了所謂的復(fù)合式的張弛振蕩.

2 相位差下的雙穩(wěn)定性和PSE現(xiàn)象

注意到本文所考慮的激勵頻率遠遠小于系統(tǒng)的固有頻率.因此, 系統(tǒng)的激勵項 c os(ωt) 和cos(ωt+ θ)在較慢的尺度上演化, 而原系統(tǒng)在較快的尺度上演化, 即系統(tǒng)(1)是一個典型的含有兩個慢變量的快慢系統(tǒng).根據(jù)文獻[42]提出的分析方法, 即頻率轉(zhuǎn)換快慢分析法, 可將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為僅含一個慢變量的快慢系統(tǒng).然后, 通過分析轉(zhuǎn)化后的快慢系統(tǒng),進而可以揭示原系統(tǒng)中張弛振蕩的動力學(xué)機制.

下面, 采用頻率轉(zhuǎn)換快慢分析法對系統(tǒng)(1)進行分析.令外部激勵 c os(ωt+ θ)= ω 為基準(zhǔn)慢變量.對于固定的相位差 θ =?π/2 , 可得cos(ωt+ θ)=sin(ωt)= ω.另一方面, 注意到故轉(zhuǎn)化后的快慢系統(tǒng)的快子系統(tǒng)可以表示為:

顯然, 快子系統(tǒng)(2)的平衡點可以表示為E(x,0), 其中 x 由方程

的實根決定.在本文的研究中, 取定參數(shù) δ >0 和β1>0.在方程 (3a)中, 注意到關(guān)系式

恒成立, 因此子系統(tǒng)(2a)始終存在一個平衡點.而對于方程 (3b), 當(dāng)時,

恒成立.此時, 子系統(tǒng) (2b)存在唯一的平衡點.特別地, 當(dāng)時, 快子系統(tǒng)(2b)不存在平衡點.

2.1 相位差下的雙穩(wěn)定性

當(dāng)系統(tǒng)僅含一個吸引子時, 系統(tǒng)表現(xiàn)出所謂的單穩(wěn)定性; 而當(dāng)兩個或兩個以上吸引子共存時, 便得到了雙穩(wěn)定性或多穩(wěn)定性[43,44].對于本文所考慮的系統(tǒng)來說, 在相位差的作用下, 其快子系統(tǒng)被分解為由方程(2a)和(2b)決定的兩個部分.而每個向量場部分都可能會產(chǎn)生吸引子, 因此相位差的存在可能會誘發(fā)快子系統(tǒng)的雙穩(wěn)定性.

為了揭示相位差下的雙穩(wěn)定性, 作出快子系統(tǒng)(2)關(guān)于 ( ω,α) 參數(shù)平面的分岔集(見圖2), 系統(tǒng)參數(shù)的取值與圖1相同.此外, 為了清晰地展示各向量場部分的穩(wěn)定性和分岔行為, 將分岔集切分為對應(yīng)于子系統(tǒng)(2a)和(2b)的兩個部分, 并分別繪制于圖2(a)和圖2(b)中.

如圖2所示, 參數(shù)平面 ( ω,α) 被直線α=0.466和 α =0.333 劃分為 A, B, C 三個區(qū)域.首先, 考慮參數(shù) α 屬于區(qū)域A的情形(即 α >0.466 ).以α=1.5時的情形為例, 當(dāng)w從–1開始逐漸增大時(對應(yīng)圖2(a)), 系統(tǒng)僅含唯一的一個吸引子, 即極限環(huán)吸引子(見圖3(a1)), 且該吸引子無分岔行為的發(fā)生.當(dāng)w增大到1之后, 便逐漸減小.此時, 系統(tǒng)從向量場(2a)切換到(2b).隨著w的逐漸減小, w將依次穿越8條分岔曲線, 發(fā)生8次分岔(見圖3(a2)).

圖1 系統(tǒng) (1) 中典型的復(fù)合式張弛振蕩 (a) α =1.5 ; (b) α =0.4 ; (c) α =0.2.其他參數(shù)固定在 γ =4 , δ =1.00 , β1=0.99 ,β2=1, ω =0.01 和 θ=?π/2Fig.1.Typical compound relaxation oscillations in system (1): (a) α =1.5 ; (b) α =0.4 ; (c) α =0.2.Other parameters are fixed at γ =4 , δ =1 , β1=0.99 , β2=1 , ω =0.01 and θ =?π/2.

圖2 (a)子系統(tǒng) (2a)和 (b)子系統(tǒng) (2b)在參數(shù)平面 ( w,α) 上的分岔集.其中 GH 為廣義 Hopf分岔 SubH 為亞臨界 Hopf分岔,SupH為超臨界Hopf分岔, LPC為極限環(huán)的分岔.系統(tǒng)參數(shù)的取值與圖1相同F(xiàn)ig.2.Bifurcation sets of the subsystem (2a) (a) and (2b) (b) in the parameter plane ( w,α).Here GH represent the generalized Hopf bifurcation, SubH represent the subcritical Hopf bifurcation, SupH represent the supercritical Hopf bifurcation, LPC represent the limit point cycle bifurcation.The values of system parameters are the same as those in Fig.1.

然后 , 以 α =0.4 為例, 考慮參數(shù) α 屬于區(qū)域B時(即 0.333<α<0.466 )的情形.當(dāng)w從–1逐漸增大時, 系統(tǒng)將先后產(chǎn)生4次分岔, 即極限環(huán)的fold分岔, 亞臨界 Hopf分岔, 亞臨界 Hopf分岔, 極限環(huán)的 fold 分岔 (見圖3(b1)).隨后, w 開始減小, 系統(tǒng)切換到了向量場(2b).接著, 與區(qū)域B中的4條分岔曲線相關(guān)的4種分岔行為依次發(fā)生(見圖3(b2)).

最后, 考慮參數(shù) α 屬于區(qū)域C時(即 α <0.333 )的情形.以 α =0.2 為例, 當(dāng)系統(tǒng)由向量場 (2a) 支配時, w將兩次穿越超臨界Hopf分岔值(見圖3(c1));而當(dāng)系統(tǒng)由向量場(2b)支配時, w也將兩次穿越超臨界Hopf分岔值(見圖3(c2)).

綜上, 相位差的存在使得快子系統(tǒng)被切割為(2a)和 (2b)兩部分.圖3給出了子系統(tǒng) (2a)和(2b)在各參數(shù)區(qū)域中典型的穩(wěn)定性和分岔行為.可以發(fā)現(xiàn), 不論是子系統(tǒng) (2a), 還是 (2b), 它們均表現(xiàn)出了單穩(wěn)態(tài)的動力學(xué)特性.另一方面, 注意到子系統(tǒng)(2a)和(2b)聯(lián)合構(gòu)成了快子系統(tǒng)(2), 因此快子系統(tǒng)(2)呈現(xiàn)出了因相位差的存在而誘發(fā)的雙穩(wěn)定性.

2.2 相位差下的PSE現(xiàn)象

考慮到系統(tǒng)(2b)中, β1在1附近時存在臨界峰值.為了更加深入地揭示系統(tǒng)的PSE行為, 固定參數(shù) α =1.5 , 其他系統(tǒng)參數(shù)同圖1(a).對轉(zhuǎn)換后的快子系統(tǒng)(2b)作關(guān)于 ( ω,β1) 參數(shù)平面的分岔集(如圖4 所示), 的確, 當(dāng) β1在 1 附近時系統(tǒng)會產(chǎn)生不同的分岔行為.為了定性分析快子系統(tǒng)(2b)的分岔行為, 固定其他參數(shù), 僅改變 β1, 分別取定β1分別為 1.1, 1, 0.99 作關(guān)于 ( ω,x) 相平面的分岔圖,如圖5(a),圖5(b)和圖3(a2)所示.

3 復(fù)合型張弛振蕩

已經(jīng)分析了相位差下系統(tǒng)的雙穩(wěn)定性和PSE現(xiàn)象.本部分探討與此相關(guān)的張弛振蕩的產(chǎn)生.兩類復(fù)合式的張弛振蕩模式, 即“subHopf/fold-cycle”型和“subHopf/subHopf”型將被揭示.

圖4 子系統(tǒng) (2b)在參數(shù)平面 ( w,β1) 上的分岔集.其他參數(shù)的取值與圖1(a)相同F(xiàn)ig.4.Bifurcation sets of the subsystem (2b) in the parameter plane ( w,β1).The values of other parameters are the same as those in Fig.1(a).

圖5 為子系統(tǒng) (2b)的分岔圖 (a) β1=1.1 ; (b) β1=1.其他參數(shù)的取值與圖1(a)相同F(xiàn)ig.5.Bifurcation diagrams of the subsystem (2b): (a) β1=1.1; (b) β1=1.The values of other parameters are the same as those in Fig.1(a).

3.1 復(fù)合式subHopf/fold-cycle型

由于快子系統(tǒng)被劃分為對應(yīng)于不同動力學(xué)行為的三個參數(shù)區(qū)域, 因此當(dāng)參數(shù)取在不同的區(qū)域時可能會產(chǎn)生不同的張弛振蕩模式.本部分探討復(fù)合式 subHopf/fold-cycle 型張弛振蕩, 它與參數(shù) α 取在區(qū)域A和B有關(guān).首先考慮 α 取在區(qū)域A的情形, 即情形 A.

情形 A為了便于分析, 固定 γ =4 , δ =1 ,ω=0.01, β1=0.99 , β2=1 , 圖2 給出了 ( ω,α) 參數(shù)平面上的分岔集.如圖2 所示, 當(dāng) α >0.466 時,在所考慮的參數(shù)間隔內(nèi)不同的 α 不會產(chǎn)生定性的變化.因此取定 α =1.5 為情形A.通過數(shù)值模擬可得到時間歷程圖, 如圖1(a)所示, 在每個周期內(nèi),此時系統(tǒng)表現(xiàn)為: 在兩個大幅振蕩簇之間存在一個正負雙向PSE.

為了更好地揭示該系統(tǒng)的動力學(xué)行為, 對系統(tǒng)(1)進行快慢分析并引入轉(zhuǎn)換相圖, 令cos(ωt+ θ)=sin(ωt)= ω, 由于在該多頻激勵系統(tǒng)中, 慢變參數(shù)均可以用關(guān)于w的代數(shù)式表示.從而原系統(tǒng)又可以表示為快子系統(tǒng)(2).將 s in(ωt)= ω 作為分岔參數(shù), 在 ( ω,x) 相平面上作分岔圖與慢子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換相圖的疊加圖, 由于在該多頻激勵系統(tǒng)中還存在著參數(shù)激勵 c os(ωt) , 在用含有w的參數(shù)表示時, 原系統(tǒng)的分岔圖及轉(zhuǎn)換相圖應(yīng)由兩部分組成, 如圖6所示.在系統(tǒng) (2) 中, α =1.5 為對應(yīng)的情形 A.

結(jié)合單周期時間歷程圖6(c)可知, 在系統(tǒng)(2a)中, 當(dāng)慢變量 s in(0.01t) 從–1 到 1 逐漸增大時,對應(yīng)時間歷程圖6(c)左側(cè), 軌線始終被穩(wěn)定的極限環(huán)吸引產(chǎn)生大幅振蕩(見圖6(a)).如圖6(b)所示, 當(dāng)慢變量 s in(0.01t) 達到其最大值 1 時, 慢變量開始減小, 對應(yīng)時間歷程圖5(c)右側(cè).結(jié)合圖6(b)所示, 即在圖6(b)中最右側(cè), 軌線仍舊被穩(wěn)定的極限環(huán)吸引產(chǎn)生大幅振蕩.當(dāng)慢變量減小到LPC1分岔點時, 極限環(huán)失穩(wěn)脫離原來的軌道, 隨著軌線繼續(xù)運動, 運動到SubH1分岔點, 軌線由極限環(huán)吸引子轉(zhuǎn)遷到平衡點吸引子.極限環(huán)吸引子消失, 從而導(dǎo)致了大幅振蕩的消失和小幅振蕩的開始, 即系統(tǒng)由激發(fā)態(tài)向沉寂態(tài)轉(zhuǎn)遷.特別地, 分析結(jié)果表明,此時平衡點類型為結(jié)點, 故系統(tǒng)軌線向極限環(huán)收斂的速度非常快, 之后軌線沿著穩(wěn)定的平衡點運動,根據(jù)數(shù)值模擬的分岔情況可知, 軌線應(yīng)該在SubH1分岔點沿著穩(wěn)定的平衡線向左運動后應(yīng)該接著運動到SubH2分岔點時, 開始沿著不穩(wěn)定的極限環(huán)起振直至運動到LPC2分岔點產(chǎn)生極限環(huán)的fold分岔.吸引子變成穩(wěn)定的極限環(huán), 繼續(xù)向左運動.當(dāng)慢變繼續(xù)減小軌線運動到LPC3分岔點,經(jīng)由LPC3分岔點產(chǎn)生不穩(wěn)定的極限環(huán), 隨后跳向SubH3分岔點, 系統(tǒng)由激發(fā)態(tài)向沉寂態(tài)轉(zhuǎn)遷.軌線應(yīng)脫離極限環(huán)繼續(xù)向左運動.然而由于SubH2分岔點及SubH3分岔點間隔時間非常短, 軌線還未來得及跳上極限環(huán), 軌線就已經(jīng)穿過該區(qū)域, 又迅速轉(zhuǎn)遷到平衡線上.即系統(tǒng)產(chǎn)生了正負雙向PSE.平衡線急劇轉(zhuǎn)遷, 直接越過該區(qū)域到達SubH3分岔點, 并運動到穩(wěn)定的平衡線上.隨著慢變量的繼續(xù)減小, 軌線運動到 SubH4處開始起振, 經(jīng)由LPC4點后, 產(chǎn)生極限環(huán)的fold分岔, 軌線跳到穩(wěn)定的極限環(huán)上, 但由于“慢通道效應(yīng)”, 軌線并沒有立刻起振, 而是繼續(xù)運動一段時間后起振到極限環(huán)上, 到 s in(0.01t) 最小值時, 完成一次循環(huán), 開始下個周期.也可以說正負雙向脈沖式爆炸連接了subHopf/fold cycle型脈沖式爆炸.

圖6 圖1(a)中的張弛振蕩的快慢分析 (a)張弛振蕩的轉(zhuǎn)換相圖與圖3(a1)中的分岔圖的疊加(與子系統(tǒng)(2a)相關(guān)); (b)張弛振蕩的轉(zhuǎn)換相圖與圖3(a2)中分岔圖的疊加(與子系統(tǒng)(2b)相關(guān)); (c)一個完整周期下的張弛振蕩.這里 α =1.5 , 而其他參數(shù)與圖1相同F(xiàn)ig.6.Fast-slow analysis of the relaxation oscillations in Fig.1(a): (a) Overlay of the transformed phase diagram of the relaxation oscillations and the bifurcation diagram in Fig.3(a1) (related to the subsystem (2a)); (b) overlay of the transformed phase diagram of the relaxation oscillations and the bifurcation diagram in Fig.3(a2) (related to the subsystem (2b)); (c) a whole period of the relaxation oscillations.Here α =1.5 and other parameters are the same as those in Fig.1.

情形B當(dāng)參數(shù) α 取在區(qū)域B時, 即其他參數(shù)同情形A僅改變 α =0.4 時, 在參數(shù)變化范圍內(nèi),改變 α 的取值不會產(chǎn)生定性的變化.通過數(shù)值模擬得到了系統(tǒng)分岔圖與轉(zhuǎn)換相圖的疊加, 如圖7所示.

情形B與情形A相似但不同, 相似點表現(xiàn)在,情形B定性分析與情形A均為subHopf/foldcycle型復(fù)合式張弛振蕩.不同點具體表現(xiàn)為以下兩個方面: 一方面, 當(dāng) s in(0.01t) 從–1 到 1 逐漸增大的過程中, 從圖7(a)可知, 軌線沿著穩(wěn)定的平衡線運動, 經(jīng)由“慢通道效應(yīng)”導(dǎo)致的延遲后, 就已經(jīng)發(fā)生并完成了subHopf/fold-cycle分岔.不同的是,在情形A圖6(a)中, 軌線僅僅沿著穩(wěn)定的極限環(huán)運動, 系統(tǒng)的穩(wěn)定性并沒有發(fā)生任何改變, 直到sin(0.01t)從1到–1逐漸減小的過程中才產(chǎn)生分岔,然后發(fā)生了PSE現(xiàn)象; 另一方面, 從圖2就可看出, 當(dāng)w從–1到1增大的過程中, 在情形A中并沒有產(chǎn)生任何分岔, 而情形B中已經(jīng)產(chǎn)生了4次分岔行為, 從單個周期時間歷程圖6(c)和圖7(c)中也可以很明顯發(fā)現(xiàn), 在每個周期內(nèi), 情形B中經(jīng)由PSE連接的大幅振蕩簇的起振范圍及起振區(qū)域比情形A都更小.

3.2 復(fù)合式supHopf/supHopf型

由圖2可知, 當(dāng)參數(shù) α 落在區(qū)域C(即 α <0.333 )時, 慢變量可以穿越不同的分岔曲線, 由此誘發(fā)不同的分岔模式和復(fù)雜動力學(xué)行為.本部分探討與此相關(guān)的張弛振蕩.當(dāng)參數(shù) α 落在區(qū)域C時, 不同的α不會導(dǎo)致定性不同的分岔行為.因此, 不失一般性, 在下面的討論中固定參數(shù) α =0.2.

圖7 圖1(b) 中的張弛振蕩的快慢分析Fig.7.Fast-slow analysis of the relaxation oscillations in Fig.1(b).

圖8 圖1(c)中的張弛振蕩的快慢分析Fig.8.Fast-slow analysis of the relaxation oscillations in Fig.1(c).

當(dāng) α =0.2 時, 作關(guān)于 ( ω,x) 相平面的分岔圖與轉(zhuǎn)換相圖疊加圖(見圖8(a)和圖8(b)).在圖8(a)中, 當(dāng)慢變量 s in(0.01t) 逐漸增大時, 從時間歷程圖8(c)可知, 軌線從最左側(cè)沿著穩(wěn)定的平衡線運動, 然后運動到 SupH1分岔點, 由于“慢通道效應(yīng)”, 軌線并未沿著穩(wěn)定的平衡線運動, 而是接著沿著平衡線運動很長一段時間后才開始起振, 形成穩(wěn)定的極限環(huán), 然后運動到SubH2分岔點后, 再經(jīng)過一段時間后從穩(wěn)定的極限環(huán)上下來, 運動到平衡線上.然后到最右側(cè)當(dāng)慢變量 s in(0.01t) 達到其最大值1時, 結(jié)合時間歷程圖8(c)可知, 慢變量開始減小, 即軌線從圖7(b2)最右端沿著穩(wěn)定的平衡線向左運動.一直向左運動到SubH3分岔點和SubH4分岔點, 與區(qū)域A和區(qū)域B相同, 由于兩點之間間隔非常短, 軌線還未來得及起振就已經(jīng)跳到SupH4分岔點左側(cè)的平衡線處, 沿著穩(wěn)定的平衡線向左運動, 當(dāng) s in(0.01t) 達到其最小值–1 時, 完成一次循環(huán).即正負雙向脈沖式爆炸連接了subHopf/subHopf型張弛振蕩.

4 結(jié) 論

探討張弛振蕩的動力學(xué)機制是張弛振蕩研究的重要問題之一.PSE作為一種誘發(fā)張弛振蕩的新路徑, 吸引著許多科研工作者.在以往的研究中,不同激勵的頻率關(guān)系被認為是誘發(fā)PSE的重要因素, 例如頻率關(guān)系的改變會導(dǎo)致系統(tǒng)向量場的變化, 這使得極速逃逸現(xiàn)象的數(shù)量增多, 進而導(dǎo)致PSE數(shù)量的增加, 并由此誘發(fā)復(fù)雜的張弛振蕩.本文的研究表明, 當(dāng)頻率相等的兩個激勵存在相位差時, 會導(dǎo)致快子系統(tǒng)由兩個不同的向量場部分組成, 這誘發(fā)了系統(tǒng)的雙穩(wěn)定性和PSE現(xiàn)象.特別地, 其中一個向量場部分展現(xiàn)了關(guān)于PSE對稱的兩組分岔行為, 且每組分岔行為可以誘發(fā)一個張弛振蕩簇.基于此, 得到了經(jīng)由PSE連接的復(fù)合式的張弛振蕩模式.本文的研究基于一個特定的非線性系統(tǒng).然而, 由本文的分析可知, 當(dāng)兩個慢變激勵存在相位差時, 必然會導(dǎo)致快子系統(tǒng)包含兩個不同的向量場部分.因此, 對于其他系統(tǒng)來說, 有可能也會誘發(fā)雙穩(wěn)定性和PSE現(xiàn)象.綜上所述, 本文報道的相位差下的雙穩(wěn)定性、PSE現(xiàn)象以及基于此而產(chǎn)生的復(fù)雜的張弛振蕩模式也可能在其他系統(tǒng)中被觀測到.