借助幾何直觀認識圓錐曲線本質的途徑與方法

岳儒芳 張強

摘 ? 要：解析幾何問題研究基本思路是，從幾何直觀分析研究對象，再從代數(shù)與幾何兩個角度認識、分析問題，尋求解決問題的途徑與方法，為此，充分發(fā)揮幾何直觀在解析幾何學習過程中的作用，對提升學生認識解析幾何本質、培養(yǎng)學生幾何直觀核心素養(yǎng)具有重要作用.本文試圖在解析幾何教學中，尋求培養(yǎng)學生幾何直觀核心素養(yǎng)的途徑與方法，讓學生從整體上提升對圓錐曲線本質認識，把握解析幾何基本方法，讓學生獲得能力，提升數(shù)學素養(yǎng)。

關鍵詞：高中數(shù)學;幾何直觀;圓錐曲線

中圖分類號：G633.4 ? ?文獻標識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2020）02-0025-05

數(shù)學教育家徐利治認為：直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產(chǎn)生對數(shù)量關系的直接感知，解析幾何是利用解析式來研究幾何對象之間的關系和性質的一門幾何學分支。圓錐曲線作為解析幾何的經(jīng)典內容，在高中數(shù)學中占有重要地位。它是培養(yǎng)學生“幾何直觀”核心素養(yǎng)的重要載體。同時，由于解析幾何綜合性比較強，對學生的邏輯推理能力、數(shù)學運算能力、數(shù)學抽象等也都要求比較高，因此，圓錐曲線的學習非常有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，

通過直觀與想象的有機結合，提升學生對圓錐曲線本質認識，把握解析幾何基本方法。很多圓錐曲線的問題都是以平面上的點、直線、曲線這三大類幾何元素為基礎構成的圖形問題。 為此，從幾何直觀出發(fā)，利用解析法研究圓錐曲線問題，是解析幾何問題解決的基本思路。下面，筆者將通過對幾個典型的解析幾何問題的分析，探究借助幾何直觀認識圓錐曲線本質的途徑與方法。

一、建立起數(shù)與形的聯(lián)系，借助空間形式認識位置關系

解析幾何問題解決過程中，需要充分挖掘并利用研究對象的幾何特性，并結合其代數(shù)特點，從而簡化思維過程和運算量。例如，在涉及圓錐曲線與直線或三角形組成的復雜圖形問題中，可以利用圓錐曲線幾何圖形的對稱特性，使問題化難為易，事半功倍。

【反思】幾何直觀的本質是將相對復雜、抽象的問題“圖形化”，利用圖像描述問題，進而借助圖形分析、解決問題。解析幾何的任務之一是研究圖形的特點，而圓錐曲線本身都具有很好的對稱性。通過例1使學生體會并感受圖形對稱性的本質就是點的對稱性，抓住了點的對稱性就可以抓住圖形的對稱性。在實際解題過程中，如果這種對稱性能被巧妙地利用，那么就可以簡化解題步驟，找到解決問題的捷徑。因此，在用代數(shù)方法研究圓錐曲線問題的同時，充分利用好圖形本身所具有的平面幾何性質，?？傻玫胶喗荻鴥?yōu)美的解法。

在思考數(shù)學問題，尤其是圓錐曲線問題時，要有畫圖、識圖以及用圖的意識與習慣。第一，問題解決過程中，要想到畫圖（即代數(shù)問題圖形化），即能畫圖則首先畫圖，目的是把抽象的東西直觀地表示出來，把本質的東西顯現(xiàn)出來。當然，在平時學習中，要熟練掌握一些基本圖形的畫法是非常有必要的。在弄清題意后，先畫圖，然后再梳理解題思路。畫圖其實就是把題中文字語言轉化為圖形語言的過程。第二，要學會觀察圖形，在觀察時，要結合圖形自身的幾何特征，以及題中條件與圖形的有機結合，去尋求問題解決的思路。第三，“用圖形說話”。利用圖形生動形象地描述數(shù)學問題，直觀地反映和揭示思考、尋求解決問題的思路，有利于發(fā)現(xiàn)和提出問題。

在數(shù)學學習時， 要“心中有圖”，圖形可以畫出，也可以根據(jù)“心中的圖形”，利用直觀的圖形語言，刻畫、思考問題。同時，幾何直觀更有助于學生理解數(shù)學，常常成為分析和解決問題的重要手段。這是一種基本的數(shù)學素質，也是新教材中對提高學生數(shù)學素質提出的要求。

二、借助基本幾何圖形特征，凸顯研究對象的關系與結構

把研究對象圖形化，通過對研究對象的觀察，可以發(fā)現(xiàn)許多隱含條件。例如，直線與圓錐曲線是最重要的位置關系。這也構成了解析幾何的核心部分。直線與圓錐曲線的位置關系問題，反映在代數(shù)上就是它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解的問題。方程組有幾組解，直線與圓錐曲線就有幾個公共點;方程組沒有實數(shù)解，直線與圓錐曲線就沒有公共點。

直線與曲線位置關系有相切、相交及相離，要從運動變化觀點認識三種位置關系。相交關系中重點關注特殊點和特殊線，如交點、弦長、中點弦等，同時會從復雜圖形中分離出基本的、簡單的圖形，例如，很多解析幾何問題，涉及到以弦為其中一邊的三角形，需要將三角形中各元素之間的幾何關系代數(shù)化，再對代數(shù)結果做出幾何解釋。

解法2：如圖3所示，在同一坐標系下分別作出直線l與曲線C的圖象。直線l是過定點（0，1）的一條動直線，曲線C是等軸雙曲線。觀察圖形可知：當直線l從與曲線C相切①開始（此時有一個交點），繞著定點（0，1）順時針旋轉（此時有兩個交點），當旋轉到與曲線C的一條漸近線平行時②（此時又變成只有一個交點），直線繼續(xù)繞定點旋轉（此時仍然只有一個交點），當旋轉到③時（此時沒有交點），直線l與曲線C相離。再結合選項與圖形可排除A、B、D.故選C.

【反思】本題蘊藏著非常豐富的信息，并由此可以演變出許多不同的問題。如，可把題中的條件“左支”改為“右支”或“兩支”，交點個數(shù)也可改為“零個”“一個”“兩個”;當然，在求直線與雙曲線兩支公共點個數(shù)時，還可以利用圖形的對稱性來考慮。

解法1主要是從“數(shù)”的角度，把問題轉化為由它們的方程組成的方程組的解的問題，而解法2關鍵是從“形”的角度，通過觀察直線與曲線位置關系，再將幾何關系代數(shù)化，充分應用數(shù)形結合的思想方法解決問題，體現(xiàn)了幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合。

三、代數(shù)問題圖形化、模型化，簡化思維過程

由于幾何研究的對象是圖形，而圖形的直觀性會幫助我們發(fā)現(xiàn)問題，啟發(fā)思路，找出解決問題的有效方法，所以在解決圓錐曲線問題時，應做到“心中有圖”，分析圖形中幾何元素的位置關系，尋求解題思路。例如，三角形是最基本的幾何圖形，充分挖掘三角形中蘊藏的信息，有利于問題解決。

【反思】在解析幾何中，運動是曲線的靈魂，運動是無條件的、絕對的，靜止是有條件的、相對的。例如，解析幾何中點或線的運動過程中，會產(chǎn)生幾何元素位置關系的變化，同時形成對應的變量關系，而變量的變化過程中，又有不變量，圓錐曲線中的定點、定值問題就體現(xiàn)了從幾何變化到代數(shù)變化，而代數(shù)變化中的定值就是幾何關系中的定點。直線過定點問題，需要借助幾何直觀并產(chǎn)生聯(lián)想，做出猜想，進而發(fā)現(xiàn)結論。這類問題一般計算量較大，關鍵是利用基本量思想，找出與問題有關的關鍵點或關鍵直線，充分利用解析幾何的思想，設出直線方程，最終解決問題。數(shù)學思維不是總在抽象層面展開，往往需要借助幾何直觀。

總之，幾何直觀的本質就是將相對復雜、抽象的問題“圖形化”，利用圖像描述問題，進而借助圖形分析、解決問題。借助幾何直觀進行思考，是一種很重要的研究策略。幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學本質的有力工具，有助于形成科學正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，依托情境去感悟事物的本質，揭示研究對象的性質和關系，使思維更容易轉向更高級更抽象的空間形式，使學生體驗數(shù)學創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質。

參考文獻：

[1]秦德生，孔凡哲.關于幾何直觀的思考[J].中學數(shù)學教學參考，2005，10.

[2]徐利治.談談我的一些數(shù)學治學經(jīng)驗[J].數(shù)學通報，2000，5.

[3]普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）.

[4]數(shù)學課程標準研制組.普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）解讀[M].江蘇教育出版社，2004.