巧用轉化法解題

劉華榮

(江蘇省泰州市溱潼中學，225508)

轉化法指在處理問題時,把待解決或難解決的問題通過某種方式轉化為一類已解決或比較容易解決的問題的一種思維方式.常見的轉化有:常量與變量的轉化、一般與特殊的轉化、正與反的轉化、相等與不等的轉化、實際問題與數(shù)學模型的轉化、平面幾何與立體幾何的轉化、數(shù)與形的轉化、數(shù)學各個分支間的轉化等.下面分類舉例說明.

一、常量與變量的轉化

例1對任意的|m|≤2,函數(shù)f(x)=mx2-2x+1-m恒為負,求x的取值范圍.

評注本題如果以x為主元,正面處理是含參的一次、二次函數(shù)問題，難度較大.以m為主元,問題轉化為線性問題,數(shù)形結合可輕松求解，體現(xiàn)了常量與變量之間的轉化關系.

二、一般與特殊的轉化

評注解法1為常規(guī)思路，采用角化邊使問題解決，對三角運算有一定的要求；解法2以特殊代替一般，在定值問題中可起到事半功倍的作用.

三、正與反的相互轉化

例3已知函數(shù)f(x)=2x2-ax+lnx在定義域內為單調函數(shù),則a的取值范圍為______.

分析正面直接處理時，問題等價于f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,+∞)內恒成立，解題過程較復雜.采用間接法,可以先考慮函數(shù)不是單調函數(shù)的情況,求得a的范圍,再取補集.

令u(x)=4x2-ax+1,則

解得a>4.再取補集，得所求a的取值范圍是(-∞,4].

評注一般含有否定性詞語的命題,或含有“至多”、“至少”等詞的命題,如果正面的解題的情況較多的話,我們可以嘗試從反面考慮,最后取答案的補集,也是我們常說的“正難則反”.

四、相等與不等的轉化

評注由已知向量等式挖掘隱含條件(點P既在圓M上又在圓N上)，再由兩圓的位置關系得到關于t的不等關系，體現(xiàn)了綜合分析處理問題的能力要求.

五、立體問題與平幾問題的轉化

例5如圖2,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E、F分別是AB、CD的中點,點G是EF上的動點.記?A1B1G、?C1D1G的面積分別為S1、S2,求S1+S2的最小值.

如何突破雙根號問題的最值？聯(lián)想平面上兩點間距離公式，可得

評注將立體幾何問題轉化為平面幾何問題屢見不鮮,降維是解決立幾問題的常規(guī)策略.

六、數(shù)與形的轉化

解由|f(x)+g(x)|=1等價于f(x)=-g(x)±1，可知所求方程實根的個數(shù)等于函數(shù)f(x)與-g(x)±1圖象交點的個數(shù).作出f(x)與-g(x)±1圖象,根據(jù)圖象可知有4個交點.

評注利用函數(shù)考察方程根的個數(shù)，是數(shù)形結合思想的具體應用，考查學生綜合分析解決問題的能力.