一道課本習題的多種證明與推廣

楊瑞柯

(安徽省蕪湖市安徽師范大學附屬中學高一(13)班，241000)

題目(人教A班選修4-5(不等式選講)第29頁習題4)設x、y為正數(shù),且x+y=1,證明:

①

一、證法展示

證法1基本不等式法

評注基本不等式是不等式證明的最基本工具，合理拼湊是使用該工具的基本技能.

證法2倒代換法

評注通過倒代換將分式轉化為整式，再結合條件簡化整理，是降低不等式證明難度的有效途徑.

證法3“1”代換法

原不等式成立．

評注巧用“1”代換與配對原理解題，激發(fā)了我們創(chuàng)作的靈感，增強了解題的趣味性.

證法4三角換元法

由x+y=1聯(lián)想到sin2θ+cos2θ=1,可設x=sin2θ,y=cos2θ,則

從而原不等式成立．

評注用三角換元進行證明，讓我們感受到了數(shù)學不同知識模塊之間存在著廣泛的聯(lián)系，彰顯了數(shù)學知識的博大精深.

二、問題的推廣

1.指數(shù)推廣

推論1設x、y為正數(shù),且x+y=1,則有

②

推論2設x、y為正數(shù),且x+y=1,n∈N*(n≥2),則有

③

(a+b)n-(an+bn)≥22n-2n+1.

④

不等式(4)即為1988年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題,用數(shù)學歸納法易證明結論成立.(限于篇幅，此處從略)

2.項數(shù)推廣

推廣3設x1,x2,…,xn均為正實數(shù),且x1+x2+…+xn=1,n∈N*,n≥2,則有

≥(n2-1)n.

⑤

將上述n個不等式相乘，即得不等式⑤,故結論成立．