例析整體換元在導(dǎo)數(shù)題中的應(yīng)用

王興衛(wèi)

(陜西省西安市西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)， 710072)

對利用導(dǎo)函數(shù)解題的相關(guān)問題,學(xué)生普遍感覺難．特別是既含有指數(shù)式又含有對數(shù)形式的綜合題,學(xué)生無從下手．本文對此類問題提供一種簡單而有效的解法,通過整體換元避開指數(shù)式與對數(shù)式同時出現(xiàn)的情境，從而降低問題求解難度.希望對學(xué)生們有所幫助．

例1已知f(x)=xeax-1-lnx-ax,若f(x)的最小值恰好為0,求a的最小值.

解令t=xeax-1,則lnt=lnx+ax-1.

解依題意，λeλx≥lnx，即λxeλx≥xlnx=(lnx)eln x，亦即λxeλx≥(lnx)eln x在(0,+∞)恒成立.

設(shè)f(x)=xex,x∈(0,+∞),則f(λx)≥f(lnx).

分析本題按常規(guī)思路求解，較為繁瑣,特別是零點的限定討論要求極高．但是轉(zhuǎn)換一個思路,進(jìn)行一次簡單的構(gòu)造,則可以快速獲得如下解答,容易掌握．

設(shè)t=xex,則lnt=x+lnx,有xex-1=t-1≥lnx+(b-1)x.由于t-1≥lnt,故只需lnt=x+lnx≥lnx+(b-1)x，即bx≤2x,亦即b≤2可以使原不等式恒成立.

下證b>2時原不等式不成立.

若xex-1≥lnx+(b-1)x恒成立,則當(dāng)t=xex>0時，t-1≥lnx+(b-1)x=lnx+x+(b-2)x=lnt+(b-2)x恒成立.

當(dāng)t=1時,t-1=lnt=0,此時?x0>0使得t=x0ex0=1,且由上式可得(b-1)x0≤0,矛盾.故b>2時原不等式不成立.

綜上，得b≤2.