錯(cuò)解不是無情物 化作春泥更護(hù)花
——一道“任意”與“存在”混搭問題的解法辯析

梁寶同

(安徽省潁上第一中學(xué)，236200)

在最近筆者所在學(xué)校參與的一次高三聯(lián)考中,出現(xiàn)了如下一道關(guān)于函數(shù)中雙變量的任意與存在混搭的等式問題.

題目已知函數(shù)

f(x)=alnx+x2+x-2(a∈R).

(1)若f(x)在[1,+∞)單調(diào)增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)當(dāng)a=2時(shí),對(duì)于任意的λ∈[1,2],存在正實(shí)數(shù)x1、x2,使得f(x1)+f(x2)=λ(x1+x2),求x1+x2的最小值.

一、解法展示

解法1 (參考答案)(1)略.

(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=2lnx+x2+x-2,由f(x1)+f(x2)=λ(x1+x2),整理得(x1+x2)2-(λ-1)(x1+x2)-4=2x1x2-2ln (x1x2).

由此可得(x1+x2)2-(λ-1)(x1+x2)-4≥2,即(x1+x2)2-(λ-1)(x1+x2)-6≥0對(duì)任意λ∈[1,2]恒成立.

解得x1+x2≥3,所以x1+x2的最小值為3.

有學(xué)生給出如下解答.

解法2(1)略.

(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=2lnx+x2+x-2.由f(x1)+f(x2)=λ(x1+x2)，整理可得-λ(x1+x2)+(x1+x2)2+(x1+x2)-2x1x2+2ln (x1x2)-4=0.

對(duì)任意λ∈[1,2],存在正實(shí)數(shù)x1、x2,使得f(x1)+f(x2)=λ(x1+x2).設(shè)g(λ)=-λ(x1+x2)+(x1+x2)2+(x1+x2)-2x1x2+2ln (x1x2)-4，則對(duì)任意λ∈[1,2],g(λ)=0有解.

(x1+x2)2-2x1x2+2ln(x1x2)-4≥0,

①

(x1+x2)2-(x1+x2)-2x1x2+2ln(x1x2)-4≤0.

②

設(shè)x1x2=t>0,F(t)=2t-2lnt,同解法1可知,F(t)的最小值為F(1)=2.

二、正誤辯析

兩種解法看似都正確,但答案卻不一樣.其中參考答案提供的是解法1，看似無懈可擊,實(shí)則偷換概念：題目敘述的是對(duì)任意的λ∈[1,2],存在正實(shí)數(shù)x1、x2,使得f(x1)+f(x2)=λ(x1+x2),而解法1正好顛倒了,變成了先存在正實(shí)數(shù)x1、x2,再對(duì)任意的λ∈[1,2],都有f(x1)+f(x2)=λ(x1+x2)成立.顯然這樣做題目意思就變了,但是當(dāng)筆者在分析題目時(shí),發(fā)現(xiàn)學(xué)生并不理解,相反大多數(shù)同學(xué)都認(rèn)為解法1是正確的.當(dāng)然,對(duì)于“任意”和“存在”出現(xiàn)順序的辨析,本來就是個(gè)難點(diǎn)(不少老師也沒有注意到位置的調(diào)換對(duì)邏輯關(guān)系的影響),這里筆者通過對(duì)周期函數(shù)定義的辨析,讓學(xué)生悟出它們的區(qū)別.具體教學(xué)片段如下:

師:周期函數(shù)的定義:一般地,對(duì)于函數(shù)y=f(x),x∈D,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)任意的x∈D,都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)y=f(x)稱作周期函數(shù),非零常數(shù)T稱作這個(gè)函數(shù)的周期.

師:如果改為如下描述:一般地,對(duì)于函數(shù)y=f(x),x∈D,如果對(duì)任意的x∈D,存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x),那么函數(shù)y=f(x)稱作周期函數(shù),非零常數(shù)T稱作這個(gè)函數(shù)的周期.請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)體會(huì)兩者的區(qū)別.

生1:定義中先有非零常數(shù)T,再對(duì)任意的x∈D,都有f(x+T)=f(x),這里的非零常數(shù)T是確定的,不變的；然而，調(diào)換“任意”與“存在”的順序后,在變更描述中，非零常數(shù)T是不確定的、可變的.因此，兩種定義方式含義不一樣.

生2:我舉個(gè)例子,比如y=sin|x|,顯然不是周期函數(shù),但是對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都可以找到非零常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x),所以在函數(shù)周期的定義中，不能調(diào)換“任意”與“存在”的位置.

師:很好!兩位同學(xué)的思考非常正確.由此可見，“任意”與“存在”的邏輯順序?qū)斫忸}意的重要性可見一斑.那么，同學(xué)們,現(xiàn)在再來看看本次考試的試題,對(duì)于解法1和解法2哪個(gè)正確呢?

生:(齊聲說)解法2是正確的.

通過對(duì)錯(cuò)解的辨析,不僅讓同學(xué)們認(rèn)清了錯(cuò)誤的原因,也進(jìn)一步使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)語言敘述的嚴(yán)謹(jǐn)性.有道是錯(cuò)解不是無情物,化作春泥更護(hù)花.雖然上述錯(cuò)解看似合理,但隱藏了典型的邏輯錯(cuò)誤.由此展開教學(xué),更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神,對(duì)于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和核心素養(yǎng)的提升,有著舉足輕重的作用.通過與學(xué)生的交流和反思達(dá)到了教學(xué)相長(zhǎng)、師生共贏之佳境!