高三數(shù)學(xué)綜合測(cè)試

一、填空題(本大題共有14小題,每小題5分,共計(jì)70分)

1.已知集合A={x∈N|x2-6x+8≤0},集合B={x|2x≥8},則A∩B=______.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2,則復(fù)平面內(nèi)表示z的點(diǎn)位于第______象限.

3.某學(xué)校共有學(xué)生3 000人,其中高一年級(jí)800人,高二年級(jí)1 200人,高三年級(jí)1 000人.為了了解該校學(xué)生的健康狀況,用分層抽樣的方法從中抽取樣本,若從高一年級(jí)抽取了160人,則應(yīng)從高二年級(jí)抽取______人.

4.從高三年級(jí)隨機(jī)抽取200名學(xué)生,將他們的某次考試數(shù)學(xué)成績(jī)繪制成頻率分布直方圖.由圖中數(shù)據(jù)可知成績(jī)?cè)赱130,140)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為______.

5.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體),觀察向上的點(diǎn)數(shù),則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為______.

6.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S11=22,a7=1,則數(shù)列{an}的公差等于______.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x2+(y-3)2=2,點(diǎn)A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AP、AQ分別切圓C于P、Q兩點(diǎn),則線段PQ長(zhǎng)的取值范圍為______.

二、解答題(本大題共6小題，共計(jì)90分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

(1)求cosA; (2)求c邊的值.

16.(本小題滿分14分)如圖,在四面體ABCD中,平面BAD⊥平面CAD,∠BAD=90°.M、N、Q分別為棱AD、BD、AC的中點(diǎn).

(1)求證:CD∥平面MNQ;

(2)求證:平面MNQ⊥平面CAD.

(1)求橢圓C的方程;

18.(本小題滿分16分)在長(zhǎng)為20 m,寬為16 m的長(zhǎng)方形展廳正中央有一圓盤形展臺(tái)(圓心為點(diǎn)C),展廳入口位于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊的中間.在展廳一角B點(diǎn)處安裝監(jiān)控?cái)z像頭,使點(diǎn)B與圓C在同一水平面上,且展臺(tái)與入口都在攝像頭水平監(jiān)控范圍內(nèi)(如圖陰影所示).

(2)若監(jiān)控?cái)z像頭最大水平攝像視角為60°,求圓盤半徑的最大值.

(注:水平攝像視角指鏡頭中心點(diǎn)水平觀察物體邊緣的視線的夾角)

19.(本小題滿分16分)設(shè)f(x)=exsinx+ax,x∈[0,2π](a為常數(shù)).

(1)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若f(x)在區(qū)間(0,2π)的極大值、極小值各有一個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

20.(本小題滿分16分)若數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列,則稱{an}為“等比源數(shù)列”.

(1)若數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an-1.

(i)求{an}的通項(xiàng)公式;

(ii)試判斷{an}是否為“等比源數(shù)列”,并證明你的結(jié)論.

(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且a1≠0,an∈Z(n∈N*).求證:{an}為“等比源數(shù)列”.

附加題

23.(本小題滿分10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(1,a)(a>0)是拋物線C上一點(diǎn),且AF=2.

(1)求p的值;

(2)若M、N為拋物線C上異于A的兩點(diǎn),且AM⊥AN.記點(diǎn)M、N到直線y=-2的距離分別為d1、d2,求d1d2的值.

(1)求棱CC1的長(zhǎng);

參考答案

一、填空題

1.{3,4}；2.四；3.240；4.60；

二、解答題

16.(1)因?yàn)镸、Q分別為棱AD、AC的中點(diǎn),所以MQ∥CD.又CD?平面MNQ,MQ?平面MNQ,故CD∥平面MNQ.

(2)因?yàn)镸、N分別為棱AD、BD的中點(diǎn),所以MN∥AB.又∠BAD=90°,故MN⊥AD.

因?yàn)槠矫鍮AD⊥平面CAD,平面BAD∩平面CAD=AD, 且MN?平面ABD,所以MN⊥平面ACD. 又MN?平面MNQ,故平面MNQ⊥平面CAD.

(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0.

20.(1)(i)由an+1=2an-1,得an+1-1=2(an-1),且a1-1=1,所以數(shù)列{an-1}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.可得an-1=2n-1，an=2n-1+1.

(ii) 數(shù)列{an}不是“等比源數(shù)列”.用反證法證明如下:

假設(shè)數(shù)列{an}是“等比源數(shù)列”,則存在三項(xiàng)am、an、ak(m

因?yàn)閍n=2n-1+1,所以am

所以,數(shù)列{an}中不存在任何三項(xiàng)按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列.

綜上可得,數(shù)列{an}不是“等比源數(shù)列”.

(2)不妨設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≥0.

當(dāng)d=0時(shí),等差數(shù)列{an}為非零常數(shù)數(shù)列,數(shù)列{an}為“等比源數(shù)列”.

當(dāng)d>0時(shí),因?yàn)閍n∈Z,則d≥1,且d∈Z,所以數(shù)列{an}中必有一項(xiàng)am>0.

為了使得{an}為“等比源數(shù)列”,只需要{an}中存在第m、n、k項(xiàng)(m

當(dāng)n=am+m,k=2am+amd+m時(shí),上式成立.所以{an}中存在am、an、ak成等比數(shù)列.

所以,數(shù)列{an}為“等比源數(shù)列”.

(2)由(1)得拋物線方程為y2=4x.因?yàn)辄c(diǎn)A(1,a) (a>0)是拋物線C上一點(diǎn),所以a=2.

因?yàn)?y1-2) (y2-2)≠0,所以(y1+2) (y2+2)=-16, 從而d1d2=|(y1+2) (y2+2)|=16.

又平面ABB1與y軸垂直,所以平面ABB1的一個(gè)法向量為n2=(0,1,0).